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函数y=Asin(ωx+φ)的图象第一课时


在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6

4
2

o
-2
-4 -6

2<

br />
4

6

8

x

o
-2
-4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin(?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?

1.5 函数y=Asin(? x+? )的图象 (第一课时)

复习回顾

y ? sin x, x ?[0,2? ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.

? ,1), (?,0), ( 3? ,-1), (2?,0) . 关键点: (0,0), (

y
1

. . . 3?/2 2? ? .
x

o ?/2 -1

.

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响 .

?
用“五点法”在同一坐标系画出下列一组函数在一个周期 上的图象,并说明它们之间的关系:

? ( Ⅰ、 作函数 y ? sin x+ ) 、 3
与函数

? y ? sin x- ) ( 6

y ? sin x

在同一坐标系中的图像

1、列表
?
2

x

0
0

? 0

3? 2

2?

y ? sin x

1

-1

0

x

?

?
3

?
6

2? 3

7? 6
3? 2

5? 3
2?

X ? x?

?
3
?
3 )

0 0

?
2

?
0

y ? sin( x ?

1

-1

0

x
x-

?
6

?
6 ?
6 )

4? 6

0 0

? 2

7? 6

?
0

10? 6 3? 2

13? 6

2?

y = sin (x-

1

-1

0

2、描点 3、连线

y ? y ? sin( x ? ) 1
3

y ? sin x

?

?
2

O
?

? y ? sin( x ? ) 6

?
3

? ? 2
6 2 3

?

?

7? 6

3? 5? 2? 13? x 2 3 6

-1

y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy??sinsinsinxxxx yy??sinsinsinxx yy?sinsinsin yy??xsinsin y?sinx?xxx y?sinsin yy??xx y??x y
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

规律一、φ对y=sin(x +φ)的图象的影响 一 般 地 , 函 数 y=sin(x+φ),(φ≠0) 的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所 有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时) 平行移动|φ|个单位而得到.
? 口诀:左加右减

(二)探索?对y ? sin(?x ? ? )的图象的影响 .

作函数 y ? sin 2 x 的图象 ? 1.列表: x 0 4

2x sin 2 x
2. 描点: 2 y
y=sin2x
1 O

0 0

? 2

? 2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

各点横坐标缩短为原来的1/2倍

y=sinx
? 2
y=sinx
?

纵坐标不变

y=sin2x
3? x

2?

?1
?2

1 函数 y ? sin x 2 1. 列表:

x
1 x 2 sin 1 x 2

0

?
0
0
?
2




3? 2

4?

0

?

1

0

-1

2. 描点:
y 1 y=sinx

y=sinx

各点横坐标变为原来的2倍 纵坐标不变

y= sin 1 x 2
4?

2? O ?1 ?

3?

y=sin 1x 2

的图象间的变化关系。
y
2

1 y 函数 y ? sin2 x 、 ? sin x 与 y ? sinx 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

规律二、

? 对y=sin( ? x+?)的图象的影响

一般地,函数y=sin( ?x+ ? )的图象, 可以看作是把y=sin(x+ ? )的图象上所有 点的横坐标缩短(当 ? >1时)或伸长(当 0<? <1时)到原来的1/?(纵坐标不变)而得 到的.
?

口诀:小伸大缩

?

练习一:

Ⅰ、作函数y=sin(x+

?
3

)和y=sin(2x+

?
3

)的图象

x
X ? x?

?
?
3
?
3 )

?
3

?
6

2? 3

7? 6
3? 2

5? 3
2?

0 0
x

?
2

? 0
?

y ? sin( x ?

1
?
6

-1
?
12

0
?
3 7? 12
3? 2

5? 6
2?

X ? 2x ?
y ? sin(2 x ?

?
3
?
3 )

0 0

?
2

? 0

1

-1

0

y
3 2 1

o
?

2? 3
? ? 12 6

?
3

?

?
6

? 3

7? 12

5? 6

7? 6

-1

-2
-3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3

5? 3

x

y=3sin(x+

1 为了得到y=3sin( 2 ?
5

? x+ )的图象,只需将函数 5
A
)而得到.

)的图象上各点的(

A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.

1 B.横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变.
1 C.纵坐标伸长到原来的 倍,横坐标不变. 2
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.

参数φ, ω对图象的影响
? :沿x轴平移 |? |个单位
口诀: “左加” “右减” ω: 横坐标伸长或缩短为原来的 ?
?

1

口诀:小伸大缩

1 ? 如何由y=sinx的图象得到y=sin( 2 x- 4 )的图象?

解法一:
向右平移

?
4

个单位长度

第1步: y=sinx 的图象

? y=sin(x - )的图象 4

? ? 各点的横坐标伸长到原来的2倍 1 第2步: y=sin(x - 4 )的图象 y=sin( 2 x - )的图象 4
(纵坐标不变)

解法二:
1 ? 利用“五点法”画函数 y=sin( x- )在一个周期上的 2 4

图像。(略)

如何由y=sinx的图象得到
? y= sin(2x- 4 )的图象?

作正弦型函数y=Asin(?x+ ? ) 的图象的方法:
(1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图。

1、P57:A组

1题(1)、(2)做在书上

( 2、如何由y=sinx得到函数y=sin 1 x+ ? )的图像? 2 4


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