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双曲线的简单几何性质(3)


一、特征三角形:
双曲线

x

2

焦点到渐近线的距离为

a2

?

? 1 渐近线方程为y ? ? a x , b2 y
2

b

2

I

B A

b

.
C

O

O
-2

①如右图一,在△OAB中,|OA|=

? 直线与双曲线的位置关系(3) b a |AB|= .|OB|= .e= a cos ?AOB c 1
.
2

.

图一
B

I

ab , ②点B的坐标为 ( , ) c c
双曲线的准线 (如图二) 过B作x轴的垂线为: . ③如图三,A1A2为双曲线的实轴, B1B2为双曲线的虚轴,△OCD中,

a

2

A O
-2

O

图二
D C A2

2

B1

A1
-2

O B2

|OC|= a

.|CD|= b

.|OD|= C

.e= 同上 . 图三

二、弦长问题
例2.如图,过双曲线

x

2

倾斜角为 30?的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|。
练习: 1.过双曲线
x2 9 ? ? 1 的左焦点 F 1 作倾角为 4 16 y2

3

?

y

2

6

? 1 的右焦点 F , 2

?

的直线与双曲线

交于 A 、 B 两点,则| AB |=

192 7

.
x ? 2y ? 0

2.双曲线的两条渐进线方程为 所得弦长为 (A)
x2 2
2

,且截直线

x? y?3? 0

8 3 3

,则该双曲线的方程为( (B) x ?
2

? y ?1

y2 4

?1

(C) x ?
2

y2 2

D

) (D)
x2 4 ? y2 ? 1

?1

三、弦长中的最值问题:
焦半径:双曲线上的点到焦
点的线段(焦半径公式)。 A

y
M
C F1 o B D F2

焦点弦:过双曲线一个焦点的
直线截双曲线所得的线段。

x

通径:与实轴垂直的焦点弦。

请指出右图中的焦半径,焦点弦和通径.

例1.直线 l 过双曲线C: 16 ?

的左焦点, ①若 l 只与C的左支相交,弦长的最小值为 9/2 . ②若 l 与C的左右两支都相交,弦长的最小值为 8 .
9

x2

y2

?1

③设直线 l 截双曲线C所得的弦长为d:
若d<9/2,满足条件的直线 l 有 0 条 若d=9/2,满足条件的直线 l 有 1 条

y

若9/2<d<8,满足条件的直线 l 有 2 条
若d=8,满足条件的直线 l 有 3 条 若d>8,满足条件的直线 l 有 4 条
F1

A
C

D

o
B

F2

x

x2 y2 过双曲线C ? 2 ? 1 的右焦点F2作直线 l : a2 b

(1)若 l 只与C的右支相交,
2

①所得的弦长中通径最短(试证明),通径长 b 2 为 。 a 2 ②截得的弦长大于通径的直线 l 有 条。 ③截得的弦长小于通径的直线 l 有 (2)若 l 与C的左右两支都相交,
0

条。 。

①所得的弦长中实轴最短(试证明),为 2a

②截得的弦长大于2a的直线 l 有
③截得的弦长小于2a的直线 l 有
x2 4

2
0

条。
条。

练习:过双曲线

的右焦点作直线 l ,交双曲线于 A,B两点,若┃AB┃=5,则这样的直线 l 有 条。 4
? y2 ? 1

(与椭圆大同小异 ) 四、弦长及焦三角形面积的计算 ? x2 2 例2.经过双曲线 ? y ? 1的左焦点F1,作倾斜角为 3 的弦AB.

3

(1)求|AB|;

3

(2)求△F2AB的周长l(其中F2为双曲线的右焦点。) 6 3 3 (3)求△F2AB的面积S. ? y2 2 变式一:经过双曲线 x ? ? 1的左焦F1,作倾斜角为 的弦AB. 6 3 (1)求|AB|; 3 (2)求△F2AB的周长L(其中F2为双曲线的右焦点。) 3 3 ? 3
(3)求△F2AB的面积S.

3

小结:1.用弦长公式计算时与椭圆是一样的
2.过焦点的弦用定义计算时是有差异的:(若弦过F1) 如果弦端点A,B在不同支上,则有|AB|=┃|BF1|-|AF1|┃ 如果弦端点A,B在同一支上,则有|AB|=|BF1|+|AF1| (若弦过F2时,也可类似处理)

例3: 给定椭圆 2 x ? y ? 8 ,求和这椭圆有公共焦点的 双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大, 求出相应四边形各顶点的坐标。
2 2

解:已知椭圆为
设双曲线方程为

x2 4

?
y a
2 2

y2 8
?

? 1 ,焦点F1(0,2),
x2 4?a
2

F2(0,-2),

?1

由椭圆和双曲线关于坐标

轴的对称性知:以它们的交点构成的四边形为矩形,
? 2x2 ? y 2 ? 8 ?x2 ? 4 ? a2 其面积 S ? 4 xy ,由 ? y 2 x2 ? ? ? ? 1 ? y 2 ? 2a 2 ?a2 4 ? a2 ? ?

? xy ?

2 a ?4 ? a
2

2

??S ? 4?
? x2 2

2a 2 4 ? a 2

?

?

当且仅当 a 2 ? 4 ? a 2 ,即 a2=2时等号成立, S max ? 8 2 ∴双曲线方程为
y2 2

? a2 ? 4 ? a2 ? 4? 2?? ? 2 ?

? ? ?8 2 ? ?

2

?

2 ,2 ,

? ?

2 ,?2 , ? 2 ,2 , ? 2 ,?2

? ?

? 1 四边形四个顶点的坐标是

? ?

?

课后小结:
1、双曲线的2个特征三角形
2、几何法作双曲线的准线 3、过焦点的直线交双曲线所得的弦长中: 1)若直线只和双曲线的一支相交,通径最短 2)若直线和双曲线的两支都相交,实轴最短 4、弦长的求法: 1)用弦长公式计算时与椭圆是一样的 2)过焦点的弦用定义计算时和椭圆是有差异的:(若弦过F1) 如果弦端点A,B在不同支上,则有|AB|=┃|BF1|-|AF1|┃ 如果弦端点A,B在同一支上,则有|AB|=|BF1|+|AF1| (若弦过F2时,也可类似处理)

(备选)垂直与对称问题
1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. (1)当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点; (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称,

若存在,求a;若不存在,说明理由.

(1)当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点;
解:将y=ax+1代入3x2-y2=1 它有两个实根,必须△>0, 得(3-a2)x2-2ax-2=0,

? a ? ( ? 6, 6 ),
?2

又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

? x1 ? x 2 ?

2a 3?a
2

, x1 x 2 ?

3 ? a2

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上, ∴OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,

∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,

? (a +1)
2

+a ? +1=0 2 3?a 3?a
2

?2

2a

解得a=±1.

(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称, 若存在,求a;若不存在,说明理由.

例8、已知双曲线 x 2 ?

y2

3 l : y ? kx ? 4 对称的两点,求 k的范围.
解:当 k ? 0时,不满足条件
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 ), 中点坐标 ( x0 , y0 )
? x12 y12 ? ?1 ? ? 1 3 y1 ? y 2 3 x1 ? x 2 ? 2 ? ? x2 y 2 2 相减 : x1 ? x 2 1 y1 ? y 2 ? ? ?1 ? 1 3 ?

? 1,双曲线上存在关于直线
y
?

A

.
?

F1 O

.

B .

F2

x

??

1 k

?

3 x0 y0
? x0 ? ?

1 k

, y0 ? 3

又 y0 ? kx0 ? 4

? l AB : y ? 3 ? ?

? ?y ? 联立 ? y2 ?x2 ? ?1 ? 3 ? 1 2 2 1 1 2 ? (3 ? 2 ) x ? (3 ? 2 ) x ? (3 ? 2 ) ? 3 ? 0 k k k k
2 1 1 1 ? ? ? [ (3 ? 2 )] 2 ? 4(3 ? 2 )[( 3 ? 2 ) 2 ? 3] ? 0 k k k k

(x ? ) k k 1 1 ? ? x ?3? 2 k k

1

1

y
?

A

.
?

F1 O

.

B .

F2

x

?0?k ?
2

1 4
3

或k ?
2

1 3
1 3

? k ? ( ?? ,?

) ? ( ? ,0 ) ? ( 0, ) ? ( ,?? ) 3 2 2 3

1

典例讲评

例3、设两动点A、B分别在双曲线
x
2

|AB|=2,求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A M

4

- y = 1 的两条渐近线上滑动,且
2

x
x

2

4

+ 4y = 1

2

o
B

3 5 与双曲线的渐近线相交于C,D两点, 求证:|AC|=|BD|

例 .已知直线 L 与双曲线 C :

y2

?

x2

? 1相交于 A, B 两点.

分析:只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率,设L的方程为:y=kx+b
? y=kx+b ? 2 2 ? (5k 2 ? 3)x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 15 ? 0 ?y x ? ?1 ? 5 ? 3
2

? L与渐近线相交于C , D 两点,? 5k ? 3 ? 0,? x C ? x D ?
2

? L 与 C相交于 A, B 两点,? 5k ? 3 ? 0,? x A ? x B ? 3 ? 5k 2 ? y=kx+b ? 2 2 ? (5k 2 ? 3)x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 0 ?y x ? ?0 ? 5 ? 3

10kb

10kb

可见AB,CD的中点横坐标都相同,从而中点重合.

3 ? 5k 2

(2)若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.

3、设双曲线C:

x2
2

a 相交于两个不同的点A、B。

? y ? 1( a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1
2

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。
??? ? 5 ??? ? (2)设直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB , 求a的值。 12

所以

17 12 5 12

x2 ? ? x ??
2 2

2a 2a 2a
2

2 2

1? a
2

. . ? 289 60

1? a
2

2

1? a 17 由 a ? 0, 所以 a ? 13

消去 , x 2 , 得 ?

4、由双曲线

x

2

9 4 两焦点 F1、F2构成 ?PF1 F2 ,求 ?PF1 F2 的内切圆与

?

y

2

? 1上的一点P与左、右

边 F1 F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF1 | 、PF2 和 | F1 F2 | | | 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。


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