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重庆南开中学高2014级9月月考数学试题及解答


重庆南开中学高 2014 级高三 9 月月考 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ( 2,1) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?
? ?

?

?

) D. 0

1 2

B. ? 1

C. 5

2.函数 y ? A. (?4, ? 1)

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为(



B. (?4,1)

C. (?1,1)

D. (?1,1]

3.已知命题“ ?p 或 ?q ”是假命题,则下列命题:① p 或 q ;② p 且 q ;③ ?p 或 q ;④ ) ?p 且 q ;其中真命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

4.函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是(
x 3

) D.3

A.0

B.1

C.2

5.已知 a ? log 0.3 4, b ? log 4 3, c ? 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b

?2

) D. c ? a ? b

5 0 , , ? 6. 角 若 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a ? 1 b 1
A.

6? 0 A

?

, cos B ? 则 (



6 3

B. ?

6 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

共 4 页,第 1 页

7.函数 f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 10 (0 ? x ? 8) 的值域为( x ?1
B. [8,10] C. [



A. [ , ]

1 1 8 6

1 1 , ] 10 6

D. [6,10]

? 2?x 8.已知 f ( x) ? ? 2 ?x ? 6x ? 2
A. (?3,? 3 )

x?0 x?0

,则关于 x 的不等式 f (3 ? x ) ? f (2 x) 的解集为 (
2



B. (?3,1) D. (?3,1) ? (2 ? 3 ,??)

C. (??,2 ? 3 ) ? (2 ? 3 ,??)

9.已知 x1 , x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根,若 x1 ? 1 ? x2 ,则
2
2 ( x1 ? x2 )2 ? x12 x2 的取值范围是(

) C. ( , ??)

A. (5, ??)

B. (1, ??)

1 2

1 D. ( ,??) 4

10.已知函数 f ( x) ? 3 ln x( x ? 1) ,若将其图像绕原点逆时针旋转 ? ? (0, 图像仍是某函数的图像,则当角 ? 取最大值 ? 0 时, tan ? 0 ? ( )

?
2

) 角后,所得

A. 3

B.

3 3

C.

3 e

D.

e 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答 题卡相应位置上. 11.已知集合 A ? {x | log 1 ( x ? 1) ? ?1} , B ? { y | y ? 2 x } ,则 (C R A) ? B ? ___
2

__.

12.设 p : 2 x ? 1 ? m(m ? 0) , q : 取值范围为 13.已知函数 f ( x) ?

x ?1 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的 2x ? 1


x x ?1 x ? 2 x ? 3 5 5 ,则 f (? ? 3) ? f (? ? 3) ? ___. ? ? ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 2 2
共 4 页,第 2 页

考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.如图,圆 O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 P , CP = 则 ?DCB ? ______.

7 , PD = 5, AP = 1 , 5
A C P

D

O

B

1 ? ? x ? 2 cos ? ? 15.已知直线 l : mx ? ny ? 1 与曲线 C : ? ( ? 为参数)无公共点,则过点 (m, n) 的 ? y ? 1 sin ? ? 2 ? 36 直线与曲线 ? 2 ? 的公共点的个数为 . 2 4 cos ? ? 9 sin 2 ?
16. 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? a (a ? 0) , 若不等式 f ( x ) ? 6 的解集为 (??, ?2] ? [4, ??) , 则 a 的值为__________.

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题 13 分) 已知函数 f (x) 对任意 x ? R 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 , f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,若当 x ? [0,1) 时,

3 1 ,且 f ( ) ? . f ( x) ? a x ? b ( a ? 0 且 a ? 1 ) 2 2 (1)求实数 a, b 的值;
(2)求函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x) 的值域.

18. (本小题 13 分) 如图, AB 是圆的直径, PA 垂直于圆所在的平面, C 是圆上的点. (1)求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (2)若 AB ? 2, AC ? 1, PA ? 1 ,求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.

19. (本小题 13 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 5, a n ? 2a n ?1 ? 2 n ? 1 ( n ? 2, n ? N * ) . (1)求 a2 , a3 的值; (2)是否存在常数 ? ,使得数列 { 项公式;若不存在,请说明理由.

an ? ? 2n

} 是一个等差数列?若存在,求 ? 的值及 {a n } 的通

共 4 页,第 3 页

20. (本小题 12 分) 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,其准线与 x 轴的交点为 Q ,过 Q 点的直线 l 交抛物
2

线于 A, B 两点.

(1)若直线 l 的斜率为

2 ,求证: FA ? FB ? 0 ; 2

(2)设直线 FA, FB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求 k1 ? k 2 的值.

21. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x , a, b ? R . (1)若 a ? 0 且 b ? 2 ? a ,试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若对 ?b ?[?2, ?1] ,总 ?x ? (1, e) 使得 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) 满足对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1成立,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? ?1 , f (1) ? 0 .
(1)求 f (5) 的值; (2)判断 f ( x) 在 R 上的单调性,并证明; (3)若对于任意给定的正实数 ? ,总能找到一个正实数 ? ,使得当 | x ? x0 |? ? 时,

| f (x )? f (x0 ) ? ? ,则称函数 f ( x) 在 x ? x0 处连续。 |
试证明: f ( x) 在 x ? 0 处连续.

共 4 页,第 4 页

高 2014 级 9 月月考参考答案
一、选择题

数学(理)

DCCBA
二、填空题

ADDCB
12. (0,2] 13.8 14.45° 15.2 16.3

11.(0,1] ? [3,??)

三、解答题 17.(1)由题知, f (x) 是奇函数且周期为 2,所以 f (0) ? 0 即 b ? ?1

3 1 1 1 1 又 f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? 1 ? a ? ?a ? ; 2 2 2 2 4 1 3 3 (2) x ? [0,1] 时,f ( x) ? x ? 1?[? ,0] 由 f (x) 为奇函数知当 x ?[?1,0] 时,f ( x) ?[0, ] 当 4 4 4 3 3 1 1 1 21 ? g ( x) ? ( f ( x) ? ) 2 ? ? [ ? , ] . ?当 x ? R 时, f ( x) ?[? , ] 4 4 2 4 4 16
18.(1) PA ? 面 ABC ? PA ? BC 又 BC ? AC ?BC ? 面 PAC ?面 PBC ? 面 PAC ; (2)法一:过 C 作 CD ? AB 于 D , CE ? PA 于 E ,连结 DE .显然 CD ? 面 PAB ,由三 垂线定理可得 PB ? DE ,??CED 即为所求角. BC ? 3 , CD ?

3 , PC ? 2 , PB ? 5 , 2

?CE ?

6 5

? cos ?CED ?

DE 6 . ? CE 4

法二:以 C 为原点, CB, CA 所在的直线分别为 x, y 轴,直线 AP 所在方向为 z 轴。 则 C (0,0,0), B( 3 ,0,0), A(0,1,0), P(0,1,1) 于是 CB ? ( 3 ,0,0), CP ? (0,1,1), AB ? ( 3 ,?1,0),

AP ? (0,0,1) ,?面 PBC 的一个法向量为 m ? (0,?1,1) ,面 PBA 的一个法向量为 n ? (1, 3 ,0)

? cos ? m, n ??

? 3 2 ?2

??

6 4

由题知,所求二面角的余弦值为

6 . 4

19.(1) a 2 ? 13 , a3 ? 33 ; (2)假设存在满足条件的常数 ? ,则

an ? ? 2
n

?

a n?1 ? ? 2 n ?1
?

? 常数



an ? ? 2n
n

?

a n ?1 ? ? 2 n ?1

?

2a n ?1 ? 2 n ? 1 ? ? 2n

?

a n ?1 ? ? 2 n ?1

2n ? 1 ? ? 2n

?? ? ?1

此时

an ? 1 2

?

a n ?1 ? 1 2
n ?1

?1

?

an ? 1 2n

? n ?1

? a n ? (n ? 1)2 n ? 1 .

20. (1) l : y ?

p p2 2 ( x ? ) 与抛物线方程联立得 x 2 ? 3 px ? ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 2 2 4

共 4 页,第 5 页

p p p 3 3 )( x 2 ? ) ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? p 2 ? 0 ; 2 2 2 4 8 p (2)设直线 l : x ? ky ? 与抛物线联立得 y 2 ? 2 pky ? p 2 ? 0 2 y1 y2 y1 y2 2ky1 y 2 ? p( y1 ? y 2 ) 2kp2 ? p ? 2 pk k1 ? k 2 ? ? ? ? ? ? ?0. p p ky1 ? p ky2 ? p (ky1 ? p)(ky2 ? p) (ky1 ? p)(ky2 ? p) x1 ? x2 ? 2 2 FA ? FB ? ( x1 ?
21.(1) f ?( x) ? 2ax ? (2 ? a) ? 当?

1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (ax ? 1)(2 x ? 1) = ? x x x

1 1 1 1 1 1 ? ? a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 (? , ) ,减区间为 0, ) ,?) ( ? ( + , a 2 a 2 a 2 1 1 当 ? = ? a = ? 2 时, f ( x) 在 (0,?) + 单减 a 2 1 1 1 1 1 1 当 ? ? ? 0 ? a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 0,) ? ,?) ; ( ( , + a 2 2 a 2 a
(2)对 ?b? [ 2?1 都 ?x ? (1, e) ax ? bx ? ln x ? 0 成立,即 ax ? x ? ln x ? 0 在 (1, e) 内 ? , ]
2 2

有解,即 a ?

ln x ? x ln x ? x 在 (1, e) 内有解,即 a ? ( )max 2 x x2
x4

令 g ( x) ?

ln x ? x ,则 x2

g ?( x) ?

? x( x ? 1 ? 2 ln x)

? x ? (1, e)

? g ?( x) ? 0

? a ? g(1) ? 1 .

22. (1) f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 ? f (5) ? f (1) ? 4 ? 4 ; (2)设 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? ?1 ? f ( x2 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f (x) 在 R 上单调递增;
(3)令 y ? 0 ,得 f ( x) ? f ( x) ? f (0) ? 1

? f (0) ? ?1

对任意 n? N *

1 n ?1 1 n?2 1 1 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ?1? 2 f ( ) ? f ( ) ? 2 ? ? ? nf ( ) ? f (0) ? n ? nf ( ) ? n ? 1 n n n n n n 1 1 f (n) ? f (n ? 1) ? 1 ? f (n ? 2) ? 2? ? f (1) ? n ? 1 ? n ? 1 ? f ( ) ? ?1 n n 又 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1 ? f (? x) ? ?2 ? f ( x)
要证 | f ( x) ? f ( x0 ) |? ? ?| f ( x ? x0 ) ? 1 |? ? ? ?? ? 1 ? f ( x ? x0 ) ? ? ? 1 对任意 ? ? 0

① 当 ? ? N * 时,取 ? ? ? ,则当 | x ? x0 |? ? 即 ? ? ? x ? x0 ? ? 时,由 f (x) 单增可得

f (?? ) ? f ( x ? x0 ) ? f (? ) 即 ? 2 ? (? ? 1) ? f ( x ? x0 ) ? ? ? 1 ;
② 当 ? ? N * 时,必存在 m ? N , n ? N * 使得 m ?

1 1 1 取? ? m ? ,则当 ?? ?m? n ?1 n n ?1 1 1 1 1 时,有 f (?m ? ? x ? x0 ? m ? ) ? f ( x ? x 0 ) ? f (m ? ) | x ? x0 |? ? 即 ? m ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
共 4 页,第 6 页

而 f (m ?

1 1 )?m? ?1? ? ?1 n ?1 n ?1

f ( ?m ?

1 1 ) ? ?m ? ? 1 ? ?? ? 1 n ?1 n ?1

? ?? ? 1 ? f ( x ? x0 ) ? ? ? 1

综上, f (x) 在 x ? x0 处连续.

共 4 页,第 7 页


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