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河南省中原名校2014届高三高考仿真模拟统一考试 数学理 (含解析)


河南省中原名校 2014 届高三高考仿真模拟统一考试理科数学试 卷(带解析)
2 2 2 1.已知集合 M ? y ? R | y ? x N ? x ? R | x ? y ? 2 ,则 M

?

?

?

?

N?
D. ?0, 2 ?

A

?(?1,1),(1,1)?

B.{1}

C.[0,1]

?

?

【答案】D 【解析】 试题分析:由题知 M=[0,+ ? ) ,N=[- 2 , 2 ],所以 M 考点:二次函数值域,圆的性质,集合运算 2. z(3 ? 4i ) ? A.

N ? [0,

2 ],故选 D.

12 5

5 ? 12i ,则 z ? i 13 B. 5

C.

5 12

D.

5 13

【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 知 z=

5 ? 12i (5 ? 12i)(?3i ? 4) 16 ? 63i 5 ? 12i = = = ,所以 3i ? 4 25 (3i ? 4)(?3i ? 4) (3 ? 4i)i

162 ? (?63)2 13 |z|= = ,故选 B. 5 25
考点:复数的运算,复数的模 3.如图,在程序框图中输入 n=14,按程序运行后输出的结果是

A.0 B.2 【答案】C 【解析】

C.3

D.4

试题分析:运行第一次 n=14,是奇数,否, n ? 运行第二次 n=7,是奇数,是, n ?

n =7, i ? i ? 1 =1,n=7=1 否,循环, 2

n ?1 =3, i ? i ? 1 =2,n=3=1 否,循环, 2 n ?1 运行第三次 n=3,是奇数, n ? =1, i ? i ? 1 =3,n=1=1 是,输出 i=3,故选 C. 2
考点:程序框图 4.一只蚂蚁从正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路 线爬行到达顶点 C1 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是
1

A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】C 【解析】 试题分析:由点 A 经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点 C1 位置,共有 6 种展开方式, 若把平面 ABA1B1 和平面 BCC1 展到同一个平面内,在矩形中连接 AC1 会经过 BB1 的中点,故此 时的正视图为②. 若把平面 ABCD 和平面 CDD1C1 展到同一个平面内,在矩形中连接 AC1 会经过 CD 的中点,此时 正视图会是④. 其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了, 故选 C. 考点:空间几何体的展开图,三视图 5.等差数列

?an ? 的前项

n 和为 Sn ,满足 S35 ? S3992 , a ? (1, an ), b ? (2014,a 2014 ) ,则

a ? b 的值为
A.2014 【答案】A 【解析】 B.-2014 C.1 D.0

试题分析:由等差数列性质“若 Sm ? Sn ,则 Sm? n =0”知,∵ S35 ? S3992 ,得 S4017 =0,∴

a1 ? a4027 =2 a2014 =0,所以 a2014 =0.∴ a ? b = 2014+ an a2014 = 2014 ,故选 A.
考点:等差数列性质,平面向量数量积

x2 y 2 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点在 a b
抛物线 y ? 48 x 的准线上,则双曲线线的方程为
2

A.

x2 y 2 ? ?1 36 108

B.

x2 y 2 ? ?1 9 27

C.

x2 y2 ? ?1 108 36

D.

x2 y 2 ? ?1 27 9

【答案】A 【解析】 试题分析:由题知

b ? 3 , c =12,所以 b ? 3a ,所以 a 2 ? 122 ? 3a 2 ,解得 a 2 =36,所 a

以 b =108,所以双曲线的标准方程为

2

x2 y 2 ? ? 1 ,故选 A. 36 108

考点:双曲线的标准方程与几何性质,抛物线的性质

2

7.设随机变量 ? 服从正态分布 N (?, ? 2 ),(? ? 0) 若 p(? ? 0) ? p(? ? 1) ? 1 ,则 ? 的值 为 A.-1 【答案】D 【解析】 试题分析:由 p(? ? 0) ? p(? ? 1) ? 1 知, p(? ? 1) =1- p(? ? 0) = p(? ? 0) ,由正态分布曲 线的对称性知 ? ? 考点:正态分布 B.l C. ?

1 2

D.

1 2

1? 0 1 = ,故选 D. 2 2

?x ? y ? 4 ? 0 ? 8.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z= 2 x ? 3 y ? 1 的最大值为 ?x ? 0 ?
A.11 【答案】D 【解析】 B.10 C.9 . D.13

试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 ,平移直线 l0 ,由 图可知,直线 l :z= 2 x ? 3 y ? 1 过点 A(0,4)时,z 取最大值 13,故选 D.

考点:简单线性规划解法 9.设 a, b 为单位向量,若 c 满足 c ? (a ? b) ? a ? b ,则 c 的最大值为 A. 2 2 【答案】A 【解析】 试题分析:由若 c 满足 c ? (a ? b) ? a ? b 知, a ? b = c ? (a ? b) ≥ | c | ? | a ? b | ,当且 仅当 c 与 a ? b 同向且| c |≥| a ? b |时,取等号,所以| c |≤ | a ? b | ? | a ? b | ,而有基本 不 等 式 知 , ( B.2 C. 2 D.1

| a ?b | ? | a ?b |

)

2



3

所以 | a ? b | ? | a ? b | 2(| a ? b |2 ? | a ? b |2 ) = 2(| a |2 ?2a ? b? | b |2 ? | a |2 ?2a ? b? | b |2 ) =8, ≤ 2 2 ,当且当 | a ? b |?| a ? b | 即 a ? b 时,取等号,故| c |的最大值为 2 2 ,故选 A. 考点:向量加法的平行四边形法则,基本不等式 10.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,满足 xf '( x) ? 2 f ( x) ?

ln x 1 ,且 f (e) ? ,则 x 2e

f ( x) 的单调性情况为
A.先增后减 【答案】C 【解析】 B 单调递增 C.单调递减 D 先减后增

试 题 分 析 : 由 xf '( x) ? 2 f ( x) ?

ln x 知 , x2 f ?( x) ? 2 xf ( x) ? ( x2 f ( x))? ? ln x , 故 x ln x 1 c 1 e ? ? 2 ,因为 f (e) ? ,所以 c= ,所以 x 2 f ( x) = x ln x ? x ? c ,所以 f ( x) = x x x 2e 2 ln x 1 e 1 ? ln x 1 e 2 x ? x ln x ? e ? ? 2 , 所 以 f ?( x ) = ? 2? 3 = , 设 f ( x) = 2 x x 2x x x x x3

h( x) = 2 x ? x ln x ? e ,所以 h?( x) = 1 ? ln x ,
当 0< x < e 时, h?( x) >0,当 x > e 时, h?( x) <0,则 h( x) 在(0,e )是增函数,在( e , + ? )上是减函数,所以当 x ? e 时, h( x) 取最大值 h(e) =0,所以当 x >0 时, h( x) ≤0, 即 f ?( x ) ≤0,所以 f ( x ) 单调递减,故选 C. 考点:常见函数的导数,导数的运算法则,导数的综合运用 11 . 已知 函数

f ( x) ? 2x2 ? bx ? c(b, c ? R) 的 值域 为

?0, ??? , 若关 于
D.-50

x 的不 等式

f ( x) ? m 的解集为 (n, n ? 10) ,则实数 m 的值为
A.25 【答案】C 【解析】 B.-25 C.50

试题分析:由函数 f ( x) ? 2 x ? bx ? c(b, c ? R) 的值域为
2

?0, ??? 知, ? = b2 ? 8c ? 0 ,

所以 c =

b2 b2 b2 2 ? m ,即 2 x 2 ? bx ? ? m ? 0 的解集为 ,不等式 f ( x) ? m ,即 2 x ? bx ? 8 8 8
2

b2 b2 m b ? m =0 的两根为 x1 ,x2 , 设方程 2 x ? bx ? 则 x1 ? x2 ? ? , (n, n ? 10) , xx = ? , 2 1 2 16 2 8
所 以 10=|n+10-n|=| x1 - x2 |=

b b2 m ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = (? )2 ? 4( ? ) = 2m , 所 以 2 16 2
4

m =50,故选 C.
考点:二次函数性质,二次函数与不等式的关系,根与系数关系 12.过原点的直线交双曲线 x2 ? y 2 ? 4 2 于 P,Q 两点,现将坐标平面沿直线 y= -x 折成 直二面角,则折后 PQ 长度的最小值等于 A. 2 2 【答案】B 【解析】 试题分析:∵双曲线 x2 ? y 2 ? 4 2 是等轴双曲线,以直线 y=±x 为渐近线 B.4 C. 4 2 D. 3 2

∴将双曲线按逆时针方向旋转 45°角,可得双曲线 y ?

m 的图象 x

∵双曲线 x2 ? y 2 ? 4 2 的顶点( 4 32 ,0),逆时针方向旋转 45° 变为点( 4 8 , 4 8 ) ∴点( 4 8 , 4 8 )在 y ?

m 的图象上,可得 m= 2 2 , x

即双曲线按逆时针方向旋转 45°角,得到双曲线 y ?

2 2 的图象 x

问题转化为:过原点的直线交双曲线 y ?

2 2 于 P、Q 两点 x

将坐标平面沿直线 y 轴折成直二面角,求折后线段 PQ 的长度的最小值 设 P(t,

2 2 )(t>0),过点 P 作 PM⊥y 轴于 M,连结 MQ, t 2 2 2 2 ),Q(-t,), t t

可得 M(0,

|MQ|= (0 ? t )2 ? (

32 2 2 2 2 2 ? ) = t 2 ? 2 ,在折叠后的图形中,Rt△PMQ 中,|PM|=t, t t t
5

2 得|PQ| =|PM| +|MQ| = 2t ?
2 2 2

32 32 2 ≥ 2 2t ? 2 =16, 2 t t

当且仅当 t =4,即 t=2 时等号成立, ∴当 t=2 时,即 P 坐标为(2, 2 )时,|PQ|的最小值为 16 =4. 综上所述,折后线段 PQ 的长度的最小值等于 4,故选 B. 考点: 两点间的距离公式、面面垂直的性质、勾股定理,基本不等式求最值,逻辑推理能 力,运算能力,转化与化归思想,数形结合思想

2

13. ( x2 ? x ? 2)7 的展开式中 x3 的系数是_________(用数字作答) 【答案】-784 【解析】 试题分析:因为 ( x2 ? x ? 2)7 = (2 ? x)7 (?1 ? x)7 ,所以 x3 的系数为当 (2 ? x)7 展开式分别取 常数项, x, x2 , x3 而 (?1 ? x)7 展开式分别取 x3 , x2 , x ,常数项对应项系数乘积的和,即为
3 1 6 2 2 5 1 3 4 0 27 C7 (?1)7?3 ? C7 2 C7 (?1)7?2 ? C7 2 C7 (?1)7?1 ? C7 2 C7 (?1)7 =-784.

考点:二项式定理,分类整合思想 14.己知 a ? R,sin a ? 3cos a ? 5 ,则 tan 2a=_________. 【答案】 ? 【解析】
2 2 试题分析:由 sin a ? 3cos a ? 5 得, sin ? = 5 ? 3cos ? ,代入 sin ? ? cos ? ? 1 整理

4 3

得, 5cos

2

? ? 3 5 cos ? ? 2 ? 0 ,解得 cos? =

5 2 5 或 cos ? = , 5 5

当 cos ? =

2 tan ? 4 5 2 5 时, sin ? = ,所以 tan ? =2,所以 tan 2? = =? ; 2 1 ? tan ? 3 5 5 1 2 tan ? 4 2 5 5 时, sin ? =,所以 tan ? = ? ,所以 tan 2? = =? , 2 2 1 ? tan ? 3 5 5 4 . 3

当 cos ? =

综上所述, tan 2? 的值为 ?

考点:同角三角函数基本关系式,二倍角公式,分类整合思想 15.已知 ? ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且 cos A ?

2 2 ,BC=1,AC=3,三 3

6

棱锥 O- ABC 的体积为

14 ,则球 O 的表面积为__________。 6

【答案】 16? 【解析】 试题分析:设球的半径为 R, ? ABC 的外接圆半径为 r,球心 O 到截面 ABC 的距离为 d ,由

cos A ?

2 2 3





s

A

i

=

n

1 3



12 ? BC 2 ? AC 2 ? AB2 ? 2 AC ? AB cos A = 9 ? AB 2 ? 2 ? 3 AB ?

2 2 , 解得 AB= 2 2 , 所 3

以 S?ABC =

1 1 1 14 7 AB ? AC sin A = 2 , 所以 VO? ABC = S ?ABC d = ? 2 ? d = , 解得 d = , 2 3 3 6 2 BC 1 3 2 2 = =3,所以 r= ,由球的截面性质知, R ? r ? d =2,所以 sin A 1 2 3

由正弦定理知,2r=

球 O 的表面积为 4? R 2 = 16? . 考点:球的截面性质,球的表面积公式,棱锥的体积公式,正弦定理,余弦定理,运算求解 能力 16. 已知数列

?an ? 的前 n 项和为
1 4
1007

n 满足 S n ? ( ?1) an ? Sn ,

1 , ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn , 2n

则 T2014 ? _________. 【答案】 3(1 ? 【解析】

)

1 1 ,所以 a1 = , 2 4 1 n 当 n ? 2 时, Sn = (?1) ( S n ? S n ?1 ) ? n , 2 1 1 * 当 n ? 2k ( k ? N )时, S 2 k = S 2 k ? S 2 k ?1 ? 2 k ,即 S2 k ?1 = 2 k , 2 2 1 1 * 当 n ? 2k ? 1 ( k ? N )时, S2 k ?1 = ? S 2 k ?1 ? S 2 k ? 2 ? 2 k ?1 ,所以 S2 k ?2 = 2 S 2 k ?1 ? 2 k ?1 =0, 2 2 1 1 (1 ? 1007 ) 1 1 1 1 1 4 所以 Tn = S1 ? S2 ? S3 ? ? S2014 = +0+ 2 +0+ + 1007 +0= 4 = (1 ? 1007 ) . 1 4 4 3 4 4 1? 4
试题分析:当 n=1 时, a1 = S1 = ?a1 ? 考点:数列第 n 项与前 n 项和的关系,递推数列,分组求和思想,等比数列前 n 项和公式

17.在△ABC 中,己知 AB ? AC ? 9 ,sinB= sinCcos A ,又△ABC 的面积为 6(Ⅰ)求△ABC
7

的三边长;(Ⅱ)若 D 为 BC 边上的一点,且 CD=1,求 tan ?BAD . 【答案】(Ⅰ) 3,4,5;(Ⅱ) 【解析】 试 题 分 析 : ( Ⅰ ) 由 sin B ? sin( A ? C ) 及 sinB= sinCcos A 得 sinCcos A = sin( A ? C ) = sin A cos C ? cos A sin C ,所以 sin A cos C =0,因为 sin A ? 0 ,所以 cos C ? 0 ,所以

9 13

a , 2 b 4 求出 a , b , 代入三角形面积公式求出 a , b , 利用勾股定理求出 c; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 tan∠BAC= , 3 1 由三角函数定义知 tan∠DAC= ,利用两角差的正切公式可求得 tan∠BAD. 3 C?
, 由平面向量数量积及三角形面积公式即可求出 tanA 的值, 在 Rt△ACB 中, tanA= 试题解析:(Ⅰ)设三边分别为 a, b, c

?

∵ sinB ? sinC cos A ,∴sin(A+C)=sinCcosA, 化为 sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA, ∴sinAcosC=0,可得 cos C ? 0 ? C ?

?
2

? AB ? AC=| AB || AC | cos A=9 ? 又? 1 AB || AC |sinA ? 6 ?S= | ? 2
两式相除可得 tan A ?

4 a ? 3 b

令 a ? 4k , b ? 3k (k ? 0) 则S ?

1 ab ? 6 ? k ? 1 2

(8 分) ? 三边长分别为 3,4,5, 4 1 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 tan∠BAC= ,由三角函数定义知 tan∠DAC= , 3 3

tan ?BAC ? tan ?DAC 所 以 tan ? BAD =tan( ∠ BAC- ∠ DAC)= = 1 ? tan ?BAC tan ?DAC
(12 分)

4 1 ? 3 3 = 9 4 1 13 1? ? 3 3

8

考点:三角变换,平面向量数量积,三角形面积公式,运算求解能力 18.在乒乓球比赛中,甲与乙以“五局三胜”制进行比赛,根据以往比赛情况,甲在每一局 胜乙的概率均为

3 .已知比赛中,乙先赢了第一局,求: 5

(Ⅰ)甲在这种情况下取胜的概率; (Ⅱ)设比赛局数为 X,求 X 的分布列及数学期望(均用分数作答) 。 【答案】(Ⅰ)

297 (Ⅱ)见解析 625

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 由题知,在乙先赢了第一局的情况下,甲取胜是两个互斥事件的和,其概 率用互斥事件的和概率公式计算,其中一个事件,比赛四局,第一局乙赢的条件下,后三局 甲赢,因甲每局胜的概率相同,其概率按独立重复试验计算,另一事件为,比赛五局,在第 一局乙胜的条件下,中间三局甲胜二局,其概率按独立重复试验计算,与最后一局甲胜是相 互独立事件,用相互独立事件的积概率公式计算;(Ⅱ)由题意知找出 X 的所有可能取值,分 析 X 取每个值时的情况,将其分解成若干个互斥简单事件的和,利用和概率公式计算,分析 每个简单事件分成若干个相互独立事件的积,利用积概率公式计算其概率,列出分布列,求 出期望.
3 2 2 试题解析:(Ⅰ)甲取胜的概率为 P( A) ? ( ) ? C3 ( ) ?

3 5

3 5

2 3 297 ? = 5 5 625

(4 分)

(Ⅱ) 由题意知 X=3,4,5,

2 4 P( X ? 3) ? ( ) 2 ? 5 25 2 3 2 3 51 1 P( X ? 4) ? C2 ? ? ? ( )3 ? 5 5 5 5 125 3 2 3 2 3 54 1 2 P( X ? 5) ? C3 ? ( ) 2 ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125 ? X 的分布列为: 3 4 X 51 4 P 125 25 534 ? EX ? .12 分 125

5

54 125

考点:独立重复试验,互斥事件的和概率公式,相互独立事件的积概率公式,离散型随机变 量分布列及其期望,应用意识 19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是等腰梯形, AD//CD, ?DAB ? 60 , FC ? 平面 ABCD, AE ? BD,CB =CD=-CF.

9

(Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 AED; (Ⅱ)直线 AF 与面 BDF 所成角的余弦值 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)

2 5 5

【解析】 试题分析:(Ⅰ)通过计算可证得 AD⊥BD,又因为 AE⊥BD,由线面垂直的判定定理得,BD⊥ 面 ADE,由面面垂直的判定定理得,面 ADE⊥面 ABCD; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AD⊥BD,同理可证 AC ⊥BC,因为 CF⊥面 ABCD,所以以 CA,CB,CF 分别为 x, y, z 建立空间直角坐标系,设 BC=1, 求出 A、B、D,F 点的坐标,求出 AF 的坐标和平面 BDF 法向量的坐标,利用空间向量夹角 公式计算出这两个向量夹角的余弦值, 利用同脚三角函数基本关系求出向量夹角的正弦值即 为线面夹角的余弦值. 试题解析:(Ⅰ)∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, ∴∠ADC=∠BCD=120°, 又 CB=CD,∴∠CDB=30°,∴∠ADB=90°,AD⊥BD, 又 AE⊥BD,且 AE∩AD=A,AE,AD?平面 AED, ∴BD⊥平面 AED,∴平面 ABCD⊥平面 AED. (Ⅱ)连结 AC,由(Ⅰ)知 AD⊥BD,∴AC⊥BC,

又 FC⊥平面 ABCD,∴CA,CB,CF 两两垂直, 以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系,设 CB=1, 则 A( 3 , 0 , 0 ),B(0,1,0),D(

1 3 , ? ,0),F(0,0,1), 2 2
10

∴ BD =(

3 3 , ? ,0), BF == (0 , ? 1 , 1) , AF =(- 3 ,0,1), 2 2

? 3 3 x? y ?0 ? m ? BD ? 设平面 BDF 的一个法向量为 m = (x ,y ,z) ,则 ? ,取 z=1,则 m = 2 2 ? m ? BF ? ? y ? z ? 0 ?
( 3 ,1,1), 所以 cos ? AF , m ? = ?

5 2 5 ,∴直线 AF 与面 BDF 所成角的余弦值为 . (12 分) 5 5

考点:空间线面垂直的判定,空间面面垂直的判定,线面角的计算,推理论证能力,运算求 解能力 20.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

2 ,且过点 (2, 2) 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ? (i)求 OA ? OB 的最值: (i i)求证:四边形 ABCD 的面积为定值. 【答案】(Ⅰ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 由离心率为

b2 . a2

x2 y 2 ? ? 1. (Ⅱ) (ⅰ)2, (i i)见解析 8 4

c 2 2 知 = ,将点 (2, 2) 代入椭圆方程,又可得到 a 2 2

2 2 2 关于 a,b 的方程,结合 a ? b ? c 即可求出 a , b 的值,得到椭圆方程;(Ⅱ) (ⅰ)设出

点 A,B 的坐标及直线 AB 的方程,将直线 AB 的方程代入椭圆方程,化为关于 x 的二次方程, 利用点 A、B 的横坐标分别为该二次方程的解,则判别式大于等于 0,且利用韦达定理,将 横坐标之和和之积用参数表示出来,利用直线的斜率公式将直线 OA、OB 的斜率用参数表示

11

出来, 在利用条件 k AC ? k BD ? ?

b2 找出参数的关系式, 利用向量数量积坐标公式将 OA ? OB a2

用参数表示出来, 将其化为函数的最值问题, 利用函数求最值的方法 OA ? OB 的最值; (i i) 由椭圆的对称性知四边形 ABCD 为平行四边形,故四边形 ABCD 的面积化为 4 个△OAB,利用 点到直线距离公式距离公式和弦长公式求出△AOB 为定值,就证明了四边形 ABCD 的面积为 定值.

e?
试题解析:(Ⅰ)由题意

c 2 4 2 ? , 2 ? 2 ? 1, 2 2 2 a 2 a b 又a ?b ?c ,

x2 y2 ? ? 1. 4 解得 a ? 8, b ? 4 ,故椭圆的标准方程为 8
2 2

(4 分)

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为

y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),

联立

? y ? kx ? m ? 2 2 ?x ? 2 y ? 8

,得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0,
2 2 2

? ? (4km)2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0, ①
?4km ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 . ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
k AC ? kBD ? ? yy b2 1 1 ?? , ? 1 2 ?? , 2 2 2 a x1 x2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? . 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) = k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 = k 2
m2 ? 8k 2 , 1 ? 2k 2

2m 2 ? 8 ?4km ? km ? m2 = 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

m2 ? 4 m2 ? 8k 2 ? , ? ?(m2 ? 4) ? m2 ? 8k 2 , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 4k 2 ? 2 ? m 2 . ??
( ⅰ

(8 分) )

12

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4 k 2 ? 2 ? 4 4 ? 2? , ? ? ? 2 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k

??2 ? 2 ? 4 ? OA ? OB ? 2.
2 当 k ? 0 (此时 m ? 2 满足①式) ,即直线 AB 平行于 x 轴时,

OA ? OB 的最小值为-2.
又直线 AB 的斜率不存在时, OA ? OB ? 2 ,∴ OA ? OB 的最大值为 2. (ⅱ)设原点到直线 AB 的距离为 d ,则

S ?AOB ?

1 |m| 1 |m| | AB | ?d = ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 2 2 1? k

=

| m | ?4km 2 2m2 ? 8 | m | 64k 2 16(m2 ? 4) 2 2 = = 2 4k ? m ? 4 = 2 2 , ( ) ? 4 ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 m2 m2

∴S 四边形 ABCD = 4SΔ AOB = 8 2 , 即四边形 ABCD 的面积为定值. . (12 分) 考点:椭圆的标准方程与几何性质,直线与椭圆的位置关系,平面向量的数量积,设而不求 思想,运算求解能力 21.设函数 f ( x) ? a ln x ? bx(a ? 0), g ( x) ? x
2

(Ⅰ)若 f (1) ? g (1), f ?(1) ? g ?(1) ,是否存在 k 和 m,使得 f ( x) ? kx ? m , g ( x) ? kx ? m , 若存在,求出 k 和 m 的值,若不存在,说明理由 (Ⅱ)设 G( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2 有两个零点 x1, x2 ,且 x1 , x0 , x2 成等差数列, G?( x) 是 G (x)的导函数,求证: G?( x0 ) ? 0 【答案】(Ⅰ) 存在 k=2,m=-1;(Ⅱ)见解析 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 先求 f ?( x ) ,然后根据条件很容易求出 a,b,此时会发现 f ( x ) 和 g ( x) 图 象有一个公共点 (1, 1) , 根据问题: 是否存在 k 和 m, 使得 f ( x) ? kx ? m ,g ( x) ? kx ? m , 也就是找到一条直线要同时满足这两个不等式. 根据存在的公共点可以想到是否是过这一点 的直线,故先求出还 g ( x) 在(1,1)的切线,然后去验证它是否同时满足 f ( x) ? kx ? m ,

g ( x) ? kx ? m 即可.(Ⅱ)先求出 G ( x) ,根据条件 x1,x2 是它的两个零点,所以 x12?alnx1?

13

bx1+2=0 且 x2 ?alnx2?bx2+2=0.根据所要证的结论: G?( x0 ) ? 0 ,所以需要求 G?( x) ,利
2

用 x1+x2=2x0,将 G?( x0 ) 用 x1,x2 表示出来,然后判断它是否大于 0 即可. 试题解析:(Ⅰ) f ?( x ) =

a ? ? g(1) ? 得:a+b=2, b= ? b , g ?( x ) = 2 x ,由 f (1) ? g(1), f (1) x

1,解得,解得 a=b=1.∴ f ( x ) = ln x ? x . 因 f ( x ) 与 g ( x) 有一个公共点(1,1),易求得函数 g ( x) = x 2 在点(1,1)的切线方程为

y ? 2x ?1 .
下面验证 f ( x) ? kx ? m , g ( x) ? kx ? m 都成立即可. 设 h(x)=lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1,所以 h?( x) =

1 1? x ?1= . x x

x∈(0,1)时, h?( x) >0;x∈(1,+∞)时, h?( x) <0,∴x=1 时, h( x) 取最大值 h(1) =0; ∴lnx+x≤2x-1 恒成立,即 f ( x ) ≤ 2 x ? 1 2.
2 2 由于 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 2 x ? 1,∴ g ( x) ≥ 2 x ? 1 恒成立.

故存在这样的 k,m,且 k=2,m=-1.

6分

2 (Ⅱ) 因为 G ( x) = g ( x) ? f ( x) ? 2 = x ? a ln x ? bx ? 2 ,有两个零点 x1,x2,

则 x1 ?alnx1?bx1+2=0 且 x2 ?alnx2?bx2+2=0, 2 2 两式相减得,x1 ? x2 -a(lnx1? lnx2)-b(x1?x2)=0, 所以 x1 ? x2 ? b =

2

2

a(ln x1 ? ln x2 ) ,又因为 x1+x2=2x0, x1 ? x2
G?( x)
=





2x ?

a ?b x







G?( x0 ) = 2 x0 ?

a(ln x1 ? ln x2 ) 2a a 2a = ? b = x1 ? x2 ? b ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x0 x1 ? x2

x2 ? 1) x2 x1 a x2 2( x2 ? x1 ) a [ln ? ], = [ln ? ]= x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x1 x1 ? x2 x1 ? x1 2(
当 0< x1 < x2 时,令

x2 a 2(t ? 1) = t ,则 t >1,且 G?( x0 ) = [ln t ? ], x1 x2 ? x1 1? t

14

设 m(t ) = ln t ? 上是增函数,

(1 ? t )2 1 4 2(t ? 1) (t>1) , 所以 m?(t ) = ? = >0, 所以 m(t ) 在[1, +?) 1? t t (1 ? t ) 2 t (1 ? t )2
2(t ? 1) >0, 1? t

所以当 t>1 时, m(t ) > m(1) =0,即 ln t ?

又因为 a>0, x2 ? x1 >0,所以 G?( x0 ) >0, 当 x1 ? x2 ? 0 时,同理可证 G?( x0 ) >0, 综上所述 G?( x0 ) >0, 12 分

考点:常见函数的导数,导数的运算法则,函数的切线,函数零点,导数的综合运用,运算 求解能力,推理论证能力,转化与化归思想 22.如图,四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直 径的半圆 O 交于点 C、F,连接 CF 并延长交 AB 于点 E.

(Ⅰ)求证:E 是 AB 的中点。 (Ⅱ)求线段 BF 的长. 【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)

5 a 5

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,所以 DA⊥AE,所以 EA 2 为圆 D 的切线,依据切割线定理,得 EA =EF?EC,又圆 O 以 BC 为直径,所以 OB⊥BE,所以 2 EB 是圆 O 的切线,同样依据切割线定理得 EB =EF?EC,故 AE=EB,E 是 AB 中点. (Ⅱ)根据两个角对应相等,得到两个三角形相似,得到对应边成比例,根据所给的长度,代 入比例式,得到要求的线段。 试题解析:(Ⅰ) 由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线, 2 依据切割线定理,得 EA =EF?EC (2 分) 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 2 同样依据切割线定理得 EB =EF?EC (4 分) 故 AE=EB,故 E 是 AB 中点 (5 分)

15

(Ⅱ)连接 BF,∵∠BEF=∠CEB,∠ABC=∠EFB ∴△FEB∽△BEC,得

BF CB ? , BE CE

∵ABCD 是边长为 a 的正方形, 所以 BF =

5 a 5

( 10 分 )

考点:切割线定理,三角形相似的判定与性质,弦切角定理 23 .在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半辐为极轴建立极坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 过点 P(-2, -4)的直线 l 的参数方程为:? C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) , ? y ? ?4 ? ? ?
为参数) ,直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值 【答案】(Ⅰ) y ? 2ax , x ? y ? 2 ? 0 ;(Ⅱ)1
2

2 t 2 (t 2 t 2

【解析】 试题分析:(Ⅰ) 将

? sin 2 ? ? 2a cos? 两 边 乘 以 ? 得 , ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? , 将

??y ?? s i n 代入上式得曲线 C 的直角坐标方程, 消去直线 l 的参数方程中的参数 t 得直线 l ? ??x ?? c o s
普通方程; (Ⅱ)将将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中,整理关于 t 的二次方程, 设 M,N 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,利用一元二次方程根与系数将 t1 ? t2 , t1t2 用 a 表示出 来,由 PM , MN , PN 成等比数列,知 MN
2

? PM ? PN ,利用直线参数方程中参数 t

的几何意义,将上式用 t1 , t2 表示出来,再转化为关于 t1 ? t2 与 t1t2 的方程,利用前面 t1 ? t2 ,

t1t2 关于 a 的表示式,将上述方程化为关于 a 的方程,即可解出 a 的值.
试题解析:(Ⅰ) 将 ? sin
2

? ? 2a cos? 两边乘以 ? 得, ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? ,

16

将?

? ? sin ? ? y 代入上式得曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2ax , ? cos ? ? x ?

消去直线 l 的参数方程中的参数 t 得直线 l 普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ; (3 分) (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 2ax 中,得 t 2 ? 2 2(4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 , 设 M,N 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,则有 t1 ? t2 = 2 2(4 ? a) , t1t2 = 8(4 ? a) , (6 分) 因为 PM , MN , PN 成等比数列,所以 MN ∴ (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? t1t2 , 即 [2 2(4 ? a)]2 = 5 ? 8(4 ? a) ,解得 a =1 或 a =-4(舍) .(10 分) 考点:极坐标方程与直角坐标互化,参数方程与普通方程互化,直线与抛物线的位置关系, 直线的参数方程中参数 t 的几何意义,设而不求思想 24.已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? a (Ⅰ)a=-3 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围 【答案】(Ⅰ) [-1,2] ;(Ⅱ) (- ? , 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 当 a=-3 时, f ( x ) ? 6 即为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ≤ 6 ,将 x 分成 x ?
2

? PM ? PN ,

1 ] 2 3 , 2

?

1 3 1 ? x ? 和 x ? ? 三种情况,通过分类讨论去掉绝对值,将原不等式等价转化为三个 2 2 2

一元一次不等式组,解这些不等式组即可得到原不等式的解集; (Ⅱ)利用绝对值不等式性 质 : | a | ? |b ? | |a ? b 求 | 出 | 2x ? 1 |? | 2 x ?a 的 | 最 小 值 | 1? a |, 由 关 于 x 的 不 等 式

f ( x) ? a 恒成立及不等式恒成立的知识知,a < |1 ? a | ,解这个不等式,即可得到实数 a 的
取值范围.

3 ? ?x ? 试题解析: (Ⅰ) 当 a=-3 时,f ( x) ? 6 为 2x ? 1 ? 2 x ? 3 ≤6, 等价于 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 6 3 1 ? 1 ? 3 1 3 ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? ,解得 ? x ? 2 或 ? ? x ? 或 2 2 2 2 2 ? ? ?2 x ? 1 ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6

17

?1 ? x ? 2 ,
所以不等式 f ( x) ? 6 的解集为[-1,2];(5 分) (Ⅱ) 因为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | ? 2x ?1 ? (2x ? a) = |1 ? a | ,

1 2 1 实数 a 的取值范围(- ? , ].(10 分) 2
所以 a < |1 ? a | ,解得 a ? 考点:含绝对值不等式解法,绝对值不等式性质,恒成立问题

18


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