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高中数学


高考数学 概率 易错题辨析
一、概念理解不清致错
例 1.抛掷一枚均匀的骰子,若事件 A: “朝上一面为奇数” ,事件 B: “朝上一面的点 数不超过 3” ,求 P(A+B) 错误解法:事件 A:朝上一面的点数是 1,3,5;事件 B:趄上一面的点数为 1,2,3, ∴P(A+B)=P(A)+P(B)=
3 6 ? 3 6 ? 1 2
<

br />错因分析:事件 A:朝上一面的点数是 1,3,5;事件 B:趄上一面的点数为 1,2,3, 很明显,事件 A 与事件 B 不是互斥事件。 即 P(A+B)≠P(A)+P(B) ,所以上解是错误的。实际上: 正确解法为:A+B 包含:朝上一面的点数为 1,2,3,5 四种情况 ∴P(A+B)=
4 6 ? 2 3

错误解法 2:事件 A:朝上一面的点数为 1,3,5;事件 B:朝上一面的点数为 1,2, 3,即以 A、B 事件中重复的点数 1、3 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B) =
1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 3 4 2 6

错因分析:A、B 事件中重复点数为 1、3,所以 P(A·B)=

;这种错误解法在于简

单地类比应用容斥原理 Card ( A ? B ) ? Card ( A ) ? Card ( B ) ? Card ( A ? B ) 致错 正确解答:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B) =
1 2 ? 1 2 ? 2 6 ? 2 3

例 2.某人抛掷一枚均匀骰子,构造数列 { a n } ,使 a n ? ?
S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n 求 S i ? 0 ( i ? 1, 2 , 3 , 4 ) 且 S 8 ? 2 的概率。

?1, (当第 n 次掷出偶数 ? ? 1, (当第 n 次掷出奇数

) )

,记

错解:记事件 A: S 8 ? 2 ,即前 8 项中,5 项取值 1,另 3 项取值-1 ∴ S 8 ? 2 的概率 P ( A ) ? C 85 ? ( ) 8
2 1

记事件 B: S i ? 0 ( i ? 1, 2 ,3 , 4 ) ,将 S i ? 0 ( i ? 1, 2 ,3 , 4 ) 分为两种情形: (1)若第 1、2 项取值为 1,则 3,4 项的取值任意 (2)若第 1 项为 1,第 2 项为-1,则第 3 项必为 1 第四项任意 ∴P(B)= ( ) 2 ? ( ) 3 ?
2 2 1 1 3 8 3 1

∴所求事件的概率为 P=P(A) ·P(B)= ? C 85 ? ( ) 8
8 2

错因分析: S i ? 0 且 S 8 ? 2 是同一事件的两个关联的条件,而不是两个相互独立事件。
S i ? 0 对 S 8 ? 2 的概率是有影响的,所以解答应为:

正解:∵ S i ? 0 ( i ? 1, 2 ,3 , 4 )

∴前 4 项的取值分为两种情形
1

①若 1、3 项为 1;则余下 6 项中 3 项为 1,另 3 项为-1 即可。即 P1 ? C 63 ? ( ) 8 ;
2

②若 1、2 项为正,为避免与第①类重复,则第 3 项必为-1, 则后 5 项中只须 3 项为 1,余下 2 项为-1,即 P2 ? C 53 ? ( ) 8 ,
2 1

∴所求事件的概率为 P ? ( C 63 ? C 53 ) ? ( ) 8 ?
2

1

15 2
7

二、有序与无序不分致错
例 3.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断 题 4 个,甲、乙依次各抽一题。 求: (1)甲抽到选择题,乙提到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有 1 人抽到选择题的概率是多少?
1 错误解法: (1)甲从选择题抽到一题的结果为 C 6

1 乙从判断题中抽到一题的结果为 C 4

2 而甲、乙依次抽到一题的结果为 C 10

∴所求概率为:

C 6C 4
2 C 10

1

1

?

8 15

2 错因分析:甲、乙依次从 10 个题目各抽一题的结果,应当是先选后排,所以应为 A10 。

1 为避免错误,对于基本事件总数也可这样做:甲抽取一道题目的结果应为 C 10 种,乙再抽取

1 余下的 9 道题中的任一道的结果应为 C 9 种,所以

正确解答:

C 6C 4
1 C 10

1

1 1 9

?

4 15

C

(2)错误解法:从对立事件考虑,甲、乙都抽到判断题的结果为 C 42 种,所以都抽到判 断题的概率为
C4
1 C 10 2 1 9

?

1 15

,所求事件的概率为 1 ?

1 15

?

14 15

C

错因分析:指定事件中指明甲、乙依次各抽一题,那么甲、乙都提到判断题的结果应为
C 4 C 3 种,所以所求事件概率应为 1 ?
1 1

C 4C 3

1

1

1 1 C 10 C 9

?

2 15

说明:对于第(2)问,我们也可以用这样解答:
1? C4
2

2 C 10

?

2 15

,这里启示我们,当基本事件是有序的,则指定事件是有序的(指定事件

包含在基本事件中) ;当基本事件是无序的,则指定事件也必无序。关键在于基本事件认识 角度必须准确。 例 4.已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支,求:A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率。 错解 1:将 8 支球队均分为 A、B 两组,共有 C 84 C 44 种方法:A、B 两组中有一组恰有两 支弱队的分法为: 先从 3 支弱队取 2 支弱队, 又从 5 支强队取 2 支强队, 组成这一组共有 C 52 C 32 种方法,其它球队分在另一组,只有一种分法。 ∴所求事件的概率为:
C5 C2
2 2

4 4 C8 C4

?

3 7



错因分析:从基本事件的结果数来看,分组是讲求顺序的,那么指定事件: “A、B 组 中有一组有 2 支弱队”应分为两种情形。即“A 组有”或“B 组有” ,所以正确解答为: 正解:
2C 5 C 2 C
4 4 8 C4 2 2

?

6 7


C

C5 C2
4 4 8 C4

2

2 2 A2

?

6 7

/

说明:这道题也可从对立事件求解:
1 1 3 支弱队分法同一组共有: C 5 ? C 5 种结果。

∴所求事件概率为 1 ?

C5 ? C5
1

1

C

4 4 8 C4

?

6 7

三、分步与分类不清致错
例 5.某人有 5 把不同的钥匙,逐把地试开某房门锁,试问他恰在第 3 次打开房门的概 率? 错误解法:由于此人第一次开房门的概率为 率应为
1 4 1 5

,若第一次未开,第 2 次能打开房门的概

;所以此人第 3 次打开房门的概率为

1 3



错因分析:此人第 3 次打开房门实际是第 1 次未打开,第 2 次未打开,第 3 次打开“这 三个事件的积事件” ,或者理解为“开房门是经过未开、未开、开”这三个步骤,不能理 解为此事件只有“开房门”这一个步骤,所以,正确解答应为: 正解:第 1 次未打开房门的概率为 的概率为
1 3 4 5

;第 2 次未开房门的概率为
? 1 5

3 4

;第 3 次打开房门

,所求概率为: P ?

4 5

?

3 4

?

1 3



例 5.某种射击比赛的规则是:开始时在距目标 100m 处射击,若命中记 3 分,同时停 止射击。若第一次未命中,进行第二次射击,但目标已在 150m 远处,这时命中记 2 分,同 时停止射击;若第 2 次仍未命中,还可以进行第 3 次射击,此时目标已在 200m 远处。若第

3 次命中则记 1 分,同时停止射击,若前 3 次都未命中,则记 0 分。已知身手甲在 100m 处 击中目标的概率为
1 2

, 他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比, 且各次射击都是独立

的。求:射手甲得 k 分的概率为 Pk,求 P3,P2,P1,P0 的值。 :设射手射击命中目标的概率 P 与目标距离 x 之间的关系 为P ?
k x
2

,由已知
1 2

1 2

?

k 100
2

? k ?5000

错误解法: P3 ?
P2 ? P1 ? 5000 150
2

? ?

2 9 1 8

5000 200
2

P0 ? (1 ?

1 2

)(1 ?

2 9

)(1 ?

1 8

)?

49 144

错因分析:求 P2 时,将第 150m 处射击命中目标的概率作为第 2 次命中目标的概率, 隔离了第 1 次射击与第 2 次射击的关系, 实际上, 2 次射击行为的发生是在第 1 次未击中 第 的前提下才作出的。 ∴P2 应为“第 1 次未击中,第 2 次击中”这两个事件的积事件的概率。求 P1 时也如此。 正解: P3 ?
1 2 1 2 1 2 1 2 )(1 ? )? 2 9 )(1 ? 2 9 2 9 ? 1 9 )? 1 8 )(1 ? ? 1 8 7 144 )? 49 144

P2 ? (1 ? P1 ? (1 ? P0 ? (1 ?

四、考虑不周致错
例 7.将 n 个球等可能地放入到 N(n×n)个有编号的盒子中(盒子中容纳球的个数不 限) 。求 A:某指定的 n 个盒子中恰有一球的概率。 错误解法:将 n 个球等可能地放入到 N 个盒子中,共有 Nn 种方法。 而指定的 n 个盆中各有一球的放法有:n!种,则所求概率: P ( A ) ?
n! N
m

错因分析:这种解法不全面,如果球是有编号的,则答案是对的。若球是不可辨认的, 则答案错了, 若球是不可辨认的, 则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球, 为此, 我们用“□”表示一个盒子;用“○”表示一个球,先将盒子按编号 1 2 3 4 5 n 把 n 个球放入 N 中盒子中, 形如: 1010011??10001, 正好看作 N+1 个 “1” n 个 和 “0”
n 的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有 C N ? n ?1 种;而指定的 n 个盒子中恰有一球的放

法只有 1 种,故 P ( A ) ?
C

1
n N ? n ?1

?

n ! ( N ? 1)! ( N ? n ? 1)!

五、混淆“互斥”与“独立”出错
例 8.甲投篮命中概率为 0.8,乙投篮命中概率为 0.7,每人投 3 次,两人恰好都命中 2 次的概率是多少? 错解:设“甲恰好投中 2 次”为事件 A, “乙恰好投中 2 次”为事件 B,则两人恰好投 中 2 次为 A+B。 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= C 32 0 . 8 2 ? 0 . 2 ? C 32 0 . 7 2 ? 0 . 3 ? 0 . 825 。 错因分析: 本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。 将 两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中 2 次”与“乙恰好投中 2 次”的和。 正解:设“甲恰好投中 2 次”为事件 A, “乙恰好投中 2 次”为事件 B,则两人恰好都 投中 2 次为 AB。 所以 P(AB)=P(A)×P(B)= C 32 0 . 8 2 ? 0 . 2 ? C 32 0 . 7 2 ? 0 . 3 ? 0 . 169

六.混淆有放回与不放回致错
例 9.某产品有 3 只次品,7 只正品,每次取 1 只测试,取后不放回,求: (1)恰好到第 5 次 3 只次品全部被测出的概率; (2)恰好到第 k 次 3 只次品全部被测出的概率 f ( k ) 的最大值和最小值。 错解: (1)P(A)= (2) P5 ( 3 ) ? C 53
3 10 3 10 ? (1 ? ? 2 9 3 10 ? 7 8 )
2

?

5 7

?

1 6

?

1 144

? 0 . 21 。

错因分析:错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不 独立的;而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球 的总数是变的(比前一次少一个) 。 正解: (1) P ?
C 3 ? C 7 ? A 44
1 2 4
3

A 10
3

5

?

1 20

(2) P ?

C

1
43 3

?C

k ?3
4 37

? A 4 k ?1
3

k ?1

?

1 240

( k ? 1)( k ? 2 ), ( 3 ? k ? 10 , k ? Z )

当 k ? 3 时, [ f ( k )] min ? f ( 3 ) ? 当 k ? 3 时, [ f ( k )] max ? f (10 ) ?

1 120 3 10

; 。


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