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函数的单调性和奇偶性复习课讲义版教案


函数的单调性和奇偶性复习 讲义 Ι、例题讲解 例 1. 已知函数 f ( x) = A. ? 1 C. 1

a ? 2x + a ? 2 2x +1

( x ∈ R) 是奇函数,则 a 的值为(
B. ? 2 D. 2 )



例 2.已知偶函数 f (x ) 在 [0, π ] 上单调递增,则下列关系式成立的是( A. f ( ?π ) > f ( ?

π
2

) > f ( 2)

B. f ( 2) > f ( ? D. f ( ?

π
2

) > f (?π )

C. f ( ?π ) > f ( 2) > f ( ?

π
2

)

π
2

) > f (2) > f (?π )

例 3、若函数 y = f (x ) 是奇函数, f (1) = 3 ,则 f ( ?1) 的值为____________ . 例 4、已知 f (x ) 是定义在 [ ?2, 0 ) ∪ ( 0, 2] 上的奇函数,当 x > 0 图所示,那么 f (x) 的值域是 .
y 3 2

时, f (x ) 的图象如右

O

2

x

例 5、已知分段函数 f (x ) 是奇函数,当 x ∈ [0,+∞) 时的解析式为 y = x 2 ,求 f (x ) 例 6、判断函数 y = x ? 2 x + 1 的奇偶性,并指出它的单调区间.
2

例 7、 (难度题)设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (?∞,0) 上是增函数,则 f ( ?2 ) 与

f ( a 2 ? 2a + 3) ( a ∈ R )的大小关系是(
A. f ( ?2 ) < f a 2 ? 2a + 3 C. f ( ?2 ) > f a 2 ? 2a + 3

) B. f ( ?2 ) ≥ f a 2 ? 2a + 3 D.与 a 的取值无关若函数

(

)

(

)

(

)

例 8、已知 f (x ) 是奇函数, g (x ) 是偶函数,且在公共定义域 {x | x ∈ R, x ≠ ±1} 上有

f ( x) + g ( x) =
Ⅱ、课堂练习

1 ,求 f (x ) 的解析式. x ?1


1、在区间 (0,+∞) 上不是增函数的是(

1

A. y = 2 x + 1

B. y = 3 x + 1
2

y=
C.

2 x

2 D. y = 2 x + x + 1

2、设 f (x ) 是 R 上的减函数,则下列关系成立的是( A、 f ( a ) > f ( 2a )
2 C、 f ( a + a ) < f ( a ) 2



B、 f ( a ) < f ( a )
2 D、 f ( a + 1) < f ( a )

3、如果奇函数 f (x ) 在区间 [ a , b] (b > a > 0) 上是增函数,且最小值为 m ,那么 f (x ) 在 区间 [ ?b , ? a ] 上是( ) B、增函数且最大值为 ? m D、减函数且最大值为 ? m

A、增函数且最小值为 ? m C、减函数且最小值为 ? m
2

4、如果函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(- ∞ ,4 ( ) B. (? ∞,?3] C. A. [? 3,+∞ )

] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

(? ∞,5]

D. [3,+∞ )

5、设函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在 (0,+∞ ) 上是减函数,若 x1 < 0, 且 x1 + x 2 > 0 ,则 A、 f ( x1 ) > f (? x 2 ) B、 f ( ? x1 ) = f ( ? x 2 ) C、 f ( ? x1 ) < f (? x 2 ) D、不能确定

1 ) ∞) 上为减函数,若 f( 2 ﹥0﹥f( 3 ),则方程 f(x)=0 6、已知函数 f(x)为偶函数,在(0,+
的根的个数是 ( ) A2 B2或1 C3 D 2或3

7、设定义在 [ ?2 ,2] 上的偶函数 f (x ) 在区间 [0 , 2] 上单调递减,若

f (1 ? m ) < f ( m) ,实数 m 的取值范围是___________
8、下列命题中不正确的是___________(填上所有不正确命题的序号)

①因为函数

y=

1 1 (? ∞,0), (0,+∞ ) 内都是减函数,所以函数 y = x 在整个定义域内是 x 分别在

单调递减的。

②函数

y=

1 x + 1 在 [? 1,+∞ ) 上是减函数。

③有些函数没有单调区间,或者它的定义域根本就不是区间。

x f ( ) = f ( x) ? f ( y ) y 9、设 f (x ) 的定义域为 (0,+∞ ) ,且在 (0,+∞ ) 上为增函数,

2

(1)求证 f (1) = 0 , f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) ;

(2)设 f ( 2) = 1 ,解不等式 Ⅲ、作业

f ( x) ? f (

1 )≤2 x?3

1、 已知偶函数 f(x)的定义域为 R, 且在[0, +∞) 上是减函数, 试比较 f ( ? ) 与 f (a 2 ? a + 1) 的大小。 2.已知函数 f ( x ) = ( m ? 2) x + ( m ? 1) x + 3 是偶函数,求该函数的最大值并写出它的单
2

3 4

调递增区间。 3、设 f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,又 f(-2)=0,求不等式 f(x-1)<0 的解 集。

4、已知 f ( x ) =

ax 2 + 1 (a,b,c∈Z)是奇函数,且 f(1)=2,f(2)<3. bx + c

(1) 求 a,b,c 的值 (2)当 x∈(0,+∞)时,讨论函数 f(x)的单调性。 5、求下列函数的单调区间 (1)y= 5 ? 4 x ? x
2

2 (2) y = log 2 ( ? x ? 2 x + 3)

(3)

y=

2 ? 3x 4+ x

6、 定义在 R 上的函数 y = f ( x ) , f (0) ≠ 0 , x > 0 时, f ( x ) > 1 , 当 且对任意的 a , b ∈ R , 有 f ( a + b ) = f ( a ) · f ( b) (1)证明: f (0) = 1 ; (2)证明:对任意的 x ∈ R ,恒有 f ( x ) > 0 ;
2 (3)证明 f ( x ) 是 R 上的增函数; (4)若 f ( x ) · f ( 2 x ? x ) > 1 ,求 x 的取值范围

3


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