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【高考领航】2017届高三数学(理)大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时规范训练3


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2014· 高考大纲全国卷)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥ b,则|b|=( A.2 C.1 ) B. 2 2 D. 2

解析:利用向量的运算列式求解.
2 a=0, a=0, ① ??a+b?· ?a +b· 由题意知? 即? 将①×2-②得,2a2-b2 2 b=0, b+b =0, ② ??2a+b?· ?2a·

=0,∴b2=|b|2=2a2=2|a|2=2,故|b|= 2. 答案:B 2.(2015· 高考重庆卷)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( π A.3 2π C. 3 ) π B.2 5π D. 6

解析:∵a⊥(2a+b),∴a· (2a+b)=0, ∴2|a|2+a· b=0,即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0. ∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0, 1 2 ∴cos〈a,b〉=-2,∴〈a,b〉=3π. 答案:C 3. (2014· 高考重庆卷)已知向量 a=(k,3), b=(1,4), c=(2,1), 且(2a-3b)⊥c, 则实数 k=( 9 A.-2 C.3 ) B.0 15 D. 2

解析: 因为 a=(k,3), b=(1,4), 所以 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3, -6). 因

为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)· c=(2k-3,-6)· (2,1)=2(2k-3)-6=0,解得 k= 3.故选 C. 答案:C → → → → → 4.(2015· 高考湖北卷)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA· OB=__________. → → → → → → → → → → 解析:因为OA⊥AB,所以OA· AB=OA· (OB-OA)=OA· OB-OA2=0,所以 → → → → → → OA· OB=OA2=|OA|2=9,即OA· OB=9. 答案:9 → → π 5 . (2016· 洛阳统考 ) 若△ ABC 的面积为 2 3 ,且角 B = 3 ,则 AB · BC = __________. → → 1 3 解析: 依题意得 2 acsin B = 4 ac = 2 3 , ac = 8 , AB · BC =- cacos B =- π 8×cos3=-4. 答案:-4 → → ? AB → → → AC ? → + 6.(2016· 杭州质检)已知非零向量AB,AC和BC满足? · BC=0,且 → →? ?|AB| |AC|? → → AC BC 1 · = ,则△ABC 为________三角形. → → 2 |AC| |BC| → → ? AB AC ? → + 解析:∵? · BC=0,∴cos B=cos C. → →? ?|AB| |AC|? ∴△ABC 为等腰三角形. → → → → AC BC 1 1 又∵ · =2,∴cos〈AC· BC〉=2. → → |AC| |BC| → → ∴〈AC· BC〉=∠ACB=60° ,∴△ABC 为等边三角形. 答案:等边

7.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|和|a-b|. 解:(1)(2a-3b)· (2a+b)=61,解得 a· b=-6. a· b -6 1 2π ∴cos θ=|a||b|= =-2,又 0≤θ≤π,∴θ= 3 . 4×3 (2)|a+b|2=a2+2a· b+b2=13,∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· b+b2=37.∴|a-b|= 37. 8.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b), n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p 边长 c=2,角 C=3,求△ABC 的面积. 解:(1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B, a b 即 a· = b · 2R 2R,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, ∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S=2absin C=2×4×sin3= 3. [B 级 能力突破]

→ → 1.(2015· 厦门质检)已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且|OA|=|OB| → → → → → → → → → → =|OC|, NA+NB+NC=0, PA· PB=PB· PC=PC· PA, 则点 O, N, P 依次是△ABC 的( ) A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心

→ → → 解析:因为|OA|=|OB|=|OC|,所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等,

→ → → → → → → 所以 O 为三角形 ABC 的外心;由NA+NB+NC=0,得NA+NB=-NC=CN, 由中线的性质可知点 N 在三角形 AB 边的中线上, 同理可得点 N 在其他边的中线 → → → → → → → → → → 上, 所以点 N 为三角形 ABC 的重心; 由PA· PB=PB· PC=PC· PA, 得PA· PB-PB· PC → → =PB· CA=0,则点 P 在 AC 边的垂线上,同理可得点 P 在其他边的垂线上,所 以点 P 为三角形 ABC 的垂心. 答案:C → → 2.(2015· 高考四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若 → → → → → → 点 M,N 满足BM=3MC,DN=2NC,则AM· NM=( A.20 C.9 解析:如图所示,由题设知: B.15 D.6 )

→ → → → 3→ AM=AB+BM=AB+4AD, → 1→ 1 → NM=3AB-4AD, → → ? → 3 → ? ?1 → 1 → ? ? ? ∴AM· NM=?AB+ AD?· 4 ? ?3AB-4AD? ? 1→ 3 1→ → 1→ → =3|AB|2-16|AD|2+4AB· AD-4AB· AD 1 3 =3×36-16×16=9. 答案:C → → → → 3.(2016· 辽宁五校联考)在△ABC 中,若(CA+CB)· AB=|AB|2,则( A.△ABC 是锐角三角形 B.△ABC 是直角三角形 )

C.△ABC 是钝角三角形 D.△ABC 的形状不能确定 → → → → → → → → → 解析:依题意得,(CA+CB)· (CB-CA)= |AB|2,即CB2-CA2=|AB|2, |CB|2 → → =|CA|2+|AB|2,CA⊥AB,因此△ABC 是直角三角形. 答案:B → 1 → 4. (2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)已知 A, B, C 为圆 O 上的三点 , 若AO=2(AB → → → +AC),则AB与AC的夹角为________. → 1 → → 解析:∵AO=2(AB+AC), ∴点 O 是△ABC 中边 BC 的中点, → → ∴BC 为直径,根据圆的几何性质有〈AB,AC〉=90° . 答案:90° 5. (2014· 高考江苏卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5, → → → → → → CP=3PD,AP· BP=2,则AB· AD的值是________.

→ → → 1 → 1→ → → → → 1→ → → 解析: 由CP=3PD, 得DP=4DC=4AB,AP=AD+DP=AD+4AB,BP=AP → → 1→ → → 3→ → → ? → 1→? ? → 3→? ? ?= -AB=AD+4AB-AB=AD-4AB.因为AP· BP=2, 所以?AD+ AB?· 4 ? ?AD-4AB? ? → → → → → 1 → → 3 →2 2,即AD2-2AD· AB-16AB =2.又因为AD2=25,AB2=64,所以AB· AD=22. 答案:22 6.(2016· 衡阳八中质检)已知点 O 是锐角△ABC 的外心,AB=8,AC=12, → → π → A=3.若AO=xAB+yAC,则 6x+9y=________.

解析:如图,设 O 点在 AB,AC 上的射影是点 D,E,它们分别为 AB,AC → → → → → → 的中点, 连接 OD, OE.由数量积的几何意义, 可得AB· AO=|AB|· |AD|=32, AC· AO → → → → → → → =|AC|· |AE|=72,依题意有AB· AO=xAB2+yAC· AB=64x+48y=32,即 4x+3y= → → → → → 2,AC· AO=xAB· AC+yAC2=48x+144y=72,即 2x+6y=3,将两式相加可得 6x +9y=5. 答案:5 3 ? x? ? 3 ? x 7.已知向量 a=?cos2x,sin2x?,b=?cos2,-sin2?, ? ? ? ? ? π π? c=(1,-1),其中 x∈?-2,2?. ? ? (1)求证:(a+b)⊥(a-b); (2)设函数 f(x)=(|a+c|2-3)(|b+c|2-3),求 f(x)的最大值和最小值. x 3 x? ? 3 解:(1)证明:a+b=?cos2x+cos2,sin2x-sin2?, ? ? x 3 x? ? 3 a-b=?cos2x-cos2,sin2x+sin2?, ? ? ? 3 ? ? x? ? 3 ? ? x? (a+b)· (a-b)=?cos2x?2-?cos2?2+?sin2x?2-?sin2?2=0. ? ? ? ? ? ? ? ? ∴(a+b)⊥(a-b). 3 ? ? 3 (2)∵a+c=?cos2x+1,sin2-1?, ? ? x ? x ? b+c=?cos2+1,-sin2-1?. ? ? ? 3 ? ? 3 ? |a+c|2-3=?cos2x+1?2+?sin2x-1?2-3 ? ? ? ? 3 3 =2cos2x-2sin2x. x ? x ? ? ? |b+c|2-3=?cos2+1?2+?-sin2-1?2-3 ? ? ? ?

x x =2cos2+2sin2. ∴f(x)=(|a+c|2-3)(|b+c|2-3) 3 3 ?? x x? ? =?2cos2x-2sin2x??2cos2+2sin2? ? ?? ? x 3 x 3 x? 3 x ? 3 cos2+cos2x· sin2 -sin x· x· sin2?=4(cos 2x-sin x) =4?cos2x· 2 cos2-sin 2 ? ? =4(1-2sin2x-sin x)=4(-2sin2x-sin x+1), 1 1 ? 9 1 ? ∴当 sin x=-4时,y 最大值=4?-2×16+4+1?=2, ? ? ∴当 sin x=1 时,y 最小值=4(-2×1-1+1)=-8.


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