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1.2.3直线与平面垂直2010.12.20


观察下列图片,寻找出其中 线面垂直的位置关系。

自主学习: 一、空间两条直线垂直
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一 点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直。
A’A┴ AB C’C┴ AB
A’
D’

C’ B’

D
A B

C

二、直线与平面垂直
如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O,并 且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直,我们就 说这条直线和这个平面垂直。
这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面。

交点叫做垂足,垂线上一点到垂足间的线段,叫做这个点到 这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。
A
A

.
l

A

l
B B

α

O

如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O,并 且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直,我们就 说这条直线和这个平面垂直。

线面垂直的性质: 如果一条直线垂直于一个平面,那么 它就和平面内的任意一条直线垂直。

符号表示: l ? ?,b ? ? ? l ? b
a

l b ?

如何判定线 面垂直?

课内探究:
三、直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直 线垂直,则这条直线与这个平面垂直。

符号表示: a ? ? , b ? ? , a b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ?

l b a

?

学以致用 如果一条直线垂直于一个平面内的: (1)三角形的两条边 (2)梯形的两条边
垂直
不一定垂直

(3)圆的两条直径

垂直

试问这条直线是否与平面垂直?为什么?

例1、过一点和已知平面垂直的直线只有一条。 已知:平面α 和一点P。 求证:过点P与平面α 垂直的直线只有一条。

β P A B

β

a
α A
B

a
α P

例2 有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂着两 条长10m的绳子,拉紧绳子,并把它的下端放 在地面上的两点C,D(和旗杆脚不在同一条直 线上),如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m, 那么旗杆就和地面垂直,为什么?
A

α

C

B

D

推论

合作探究一:

如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面, 也垂直于这个平面。 那么另一条直线和这个平面的位置关系如何?
l m

?

b a

问题:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两 条直线是什么位置关系?

平行

四、直线与平面垂直的性质
如果两条直线垂直于同一个平面, 那么这两条直线平行。
已知:l⊥α ,m⊥α ,垂足分别为A、B。 求证:l//m
证明:假设直线m不与直线l平行, 过直线m与平面α的交点B,作直线m’//l , 由直线与平面垂直的判定定理的推论可知 m’⊥α , 设m和m’确定的平面为β,α与β的交线为a, 因为直线m和m’都垂直于平面α. 所以直线m和m’都垂直于交线a. 因为在同一平面内,通过直线上一点与 已知直线垂直的直线不可能有两条。 所以直线m和m必重合,即l//m
?

l m
A

m’

?

a

B

例3 已知:直线l⊥平面α ,垂足为A,直线AP ⊥l. 求证:AP在α 内。
l

证明:设AP与l确定的平面为β
假设AP不在平面α内 因为l⊥α ,AM ?α 所以l⊥AM
α A

P M

则设平面β与平面α交于直线AM

又因为AP ⊥l, 所以在平面β内存在两条直线垂直于l,
这是不可能的,所以AP 在平面α内。

定义

课堂小结 线面垂直的判定方法

如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O,并 且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直,我们就 说这条直线和这个平面垂直。 判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则 这条直线与这个平面垂直。 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另 一条直线也和这个平面垂直。

线面垂直的性质
性质1 如果一条直线垂直于一个平面,那么它就 和平面内的任意一条直线垂直。 性质2 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这 两条直线平行.

当堂检测:
已知:空间四边形ABCD中,AB=AC, DB=DC. 求证:BC ⊥ AD

E

跟踪练习1
已知:

? ? ? ? CD, EA ? ?于 A, EB ? ? 于 B
.

求证: CD ? AB

证明: ? EA ? ? , CD ? ? , A ? EA ? CD ? 同理:EB ? CD C 又 ? EA ? EB ? E ? CD ? 平面EAB 又 ? AB ? 平面EAB ? CD ? AB

E
D

B ?


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