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汕头市2011—2012学年度普通高中教学质量监测高二理科数学试题答案


汕头市2011—2012学年度普通高中教学质量监测 高二理科数学试题答案
一.选择题:
题号 答案 解说: 6、利用排除法:首先由选项知道②必然正确。容易知道①显然错误,排除 C、D 选项,而④显然错误, 因此选 A 说明:③是本题的一个疑惑点,希望此题的考察引师生对概念教学的关注。本题若把各选 项改为 A.② 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C

B. ②④

C. ②③

D. ②③④,显然会增加学生答题的错误率

? 2? 8、 f ( x) ? log 3 ?1 ? ? ? a 在 (1, 2) 上是减函数,由题设有 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,得解 C. x? ?

二.填空题:
9.

? 220

10.

3

11.y ? ? 3 x (只写一条正确直线方程给 3 分) 13. Sn ? n(2n ? 1)

12.

?

1 8

14、

3

15.

6

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分)
5 3 -----------------------------------------------------------4 分 3 2 2? ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,故 f ( x) ? 5 sin( 2 x ? ) --------------------8 分 (2)因为 T ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (3) f ( ? ) ? 5 sin[ 2( ? ) ? ] ? 5 sin(? ? ) ? 5 cos ? ? 3 ,-----------10 分 2 12 2 12 3 2 3 4 2 所以 cos ? ? ,所以 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ---------------------------12 分 5 5 17. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:
解: (1) f (0) ? 5 sin

?

?

3 ?2 ? 5 xy ? 20 , ? ? ? 3 (1 ? x)(1 ? y ) ? 3 , ?5 40 ?

3 ? ?x ? 4 , ? 即? ?y ? 1. ? 2 ?



1 ? ?x ? 2 , ? (舍去)┅┅┅┅┅┅┅4 分 ? ?y ? 3. ? 4 ?

所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 (Ⅱ)因为 P (? ? 0) ?

3 1 、 . 4 2

┅┅┅┅┅┅┅6 分

3 40

P(? ? 3) ?
1

3 20

2 3 1 2 3 1 2 3 1 7 (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 5 4 2 5 4 2 5 4 2 20 17 P (? ? 2) ? 1 ? ( P0 ? P ? P3 ) ? 1 40 3 7 17 3 33 所以 E? = 0 ? ┅┅┅┅┅┅┅12 分 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 40 20 40 20 20 18. (本小题满分 14 分) P(? ? 1) ?
(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , BD ? DE ? D 从而 AC ? 平面 BDE . ……………………6 分 ……………………2 分

(Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 ,即 ?DBE ? 60? , 所以 ……7 分

ED ? 3 .由 AD ? 3 DB

可知 DE ? 3 6 , AF ?

6.
??? ?

……………8 分

则 A(3, 0, 0) , F (3, 0, 6) , E (0, 0,3 6) , B (3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0, ?3, 6) , EF ? (3, 0, ?2 6) ,

??? ?

………………9 分

??? ? ??3 y ? 6 z ? 0 ?n ? BF ? 0 ? ? 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ,即 ? , ? ?n ? EF ? 0 ?3 x ? 2 6 z ? 0 ? ?
令z ?

6 ,则 n ? (4, 2, 6) .

…………………11 分

因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3, 0) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? n ? CA 6 13 所以 cos? n, CA? ? . ? ??? ? ? 13 n CA 3 2 ? 26
因为二面角为锐角,所以二面角 F ? BE ? D 的余弦值为

……………13 分

13 . 13

…………14 分

19. (本小题满分 14 分)
解: (1)由 a n?1 ? 2S n ? 3 ,得 a n ? 2S n?1 ? 3(n ? 2) …………(1 分)
a n ?1 ?3 ? a n ? 2a n ,则 a n ……(3 分)

相减得: a n?1 ? a n ? 2(S n ? S n?1 ) ,即 a n?1

2

a2 ?3 a 2 ? 2a1 ? 3 ? 9 ,∴ a1 n ? 1 时, ∵当 …………(4 分)
∴数列 {a n } 是等比数列,∴
an ? 3 ? 3n?1 ? 3n …………(5 分)

(2)∵ b1 ? b2 ? b3 ? 15, b1 ? b3 ? 2b2 ,∴ b2 ? 5 …………(6 分)
a a a2 a a1 a ? b2 ) 2 ? ( 1 ? b1 )( 3 ? b3 ) ? 1, 2 ? 3, 3 ? 9 3 3 3 3 由题意 3 ,而 3 (

设 b1 ? 5 ? d , b2 ? 5, b3 ? 5 ? d ,∴ 64 ? (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) ,…………(8 分)
2 ∴ d ? 8d ? 20 ? 0 ,得 d ? 2 或 d ? ?10 (舍去)∴ bn ? 2n ? 1…………(10 分)

an ? bn ? (2n ? 1) ? 3n

…………(11 分)

Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n 3Tn ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1

? 2Tn ? 3 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n ? (2n ? 1)3n?1
9(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1)3 n ?1 1? 3 n ?1 ? ?2n ? 3 ? 9 ? 2?
20. (本小题满分 14 分)
(Ⅰ)解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 ∵m<3∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k ?1
2

∴ Tn ? n ? 3n?1

.

…(14 分)

? 5 .解得 k ?

11 1 , 或k ? . 2 2

……………… 4 分

当 k= 当 k=

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, 2 ∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F .
2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,b2=2. 椭圆 E 的方程为:
x2 y 2 ? ? 1. 18 2

…………………… 6 分

…………………… 8 分 ,

??? ? ??? ? (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? ,y ? ,Q x 3 ) 1

3

??? ???? ? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .


…………………… 10 分

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 ,而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 18 2

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].

x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].

??? ???? ? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0].
法 2 (1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 ∵m<3∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 ,设 F1(-c,0),则 PF1 y ?

…………………… 14 分

4 ( x ? c) 4?c

即 4 x ? (4 ? c) y ? 4c ? 0 .∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴.解得 C=4 ……………… 4 分

4 ? 4c 16 ? ?4 ? c ?
2

? 5

2a= AF ? AF2 = 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,b2=2. 1 椭圆 E 的方程为:
x2 y 2 ? ? 1. 18 2

……………… 6 分

(2)设 Q(3 2 cos? , 2 sin ? ) 则 AQ ? (3 2 cos? ? 3, 2 sin ? ? 1), AP ? (1,3) …………………… 8 分

AQ ? AP ?? 3 2 cos ? ? 3 ? 3 2 sin ? ? 3 ? 6 sin(? ?
由-1≤ sin(? ?

?
4

)?6

…………………… 10 分

?
4

) ≤1

? AQ ? AP ?[?12,0] …………………… 14 分
21. (本小题满分 14 分) 【命题意图】本题考查导数的求法及应用、不等式中在恒成立和存在解不同
状况下的参数范围的求法,考查学生运算能力、思维能力和解决问题的能力,难题. 解: (Ⅰ)由题意, x ? 0 , g ?( x) ? ?
1 1 x ?1 ? ? 2 ,∴当 0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , x2 x x

所以, g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数,故 g ( x)极小值 ? g (1) ? 1 . …………4 分
m mx2 ? 2x ? m ,由于 f ( x) ? g ( x) 在 [1, ??) 内为单调 ? 2ln x ,∴ f ( x) ? g ( x)]? ? [ x x2 2x 2x 在 [1, ??) 上恒成立,故 m ? ( )max ? 1 , 2 1? x 1 ? x2 …………8 分

(Ⅱ) ∵f ( x) ? g ( x) ? mx ?

增函数,所以 mx 2 ? 2 x ? m ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,即 m ? 所以 m 的取值范围是 [1, ??) . (Ⅲ)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ? 当 m ? 0 时,由 x ? ?1, e? 得, mx ?

m 2e ? 2ln x ? , x x

m 2e ? 0 , ?2ln x ? ? 0 ,所以在 ?1,e? 上不存在一个 x 0 ,使得 x x
4

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) .

…………………………………………10 分
m 2 2e mx2 ? 2x ? m ? 2e ,因为 x ? ?1, e? ,所以 2e ? 2x ? 0 , mx 2 ? m ? 0 ,所 ? ? ? x2 x x2 x2
m 所以要在 ?1,e? 上 ?4, e

当 m ? 0 时, F ?( x) ? m ?

以 F ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, F ( x) 在 ?1,e? 上单调递增,F ( x)max ? F (e) ? me ? 故 存在一个 x 0 ,使得 F ( x) ? 0 ,必须且只需 me ?
4e …………………14 分 , ??) . e2 ? 1 另法:(Ⅲ)当 x ? 1 时, f (1) ? g (1) ? h(1) . (

m 4e ,故 m 的取值范围是 ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 e e ?1

当 x ? (1, e] 时,由 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,得 m ?
G ?( x) ?

2e ? 2 x ln x 2e ? 2 x ln x , 令 G ( x) ? ,则 2 x ?1 x2 ? 1

(?2 x 2 ? 2) ln x ? (2 x 2 ? 4ex ? 2) 4e ? 0 ,所以 G ( x) 在 (1, e] 上递减, G( x)min ? G(e) ? 2 . ( x 2 ? 1) 2 e ?1

综上,要在 ?1,e? 上存在一个 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) ,必须且只需 m ?

4e . e ?1
2

5


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