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烟台市2016年高考适应性测试(一)文数


文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题 CADCB BBDAB

二、填空题 11. x 2 ? ? y ? 1? ? 13
2

12.

6

13.

? 3

14.

? 8

1

5. ?1, 2 ?

三、解答题 16.(1)由题设可知, 50 ? 0.1 ? 500 ,所以共有 500 人参加活动.

a ? 500 ? 0.4 ? 200 , b ?

150 ? 0 .3 500

…………2 分

(2) 因为第 1,2,3 组共有 50+50+200=300 人, 利用分层抽样在 300 名义工中抽取 6 名员工,每组抽取的人数分别为:

50 50 ? 1 , 第 2 组的人数为 6 ? ? 1, 300 300 200 ?4. 第 3 组的人数为 6 ? 300
第 1 组的人数为 6 ? 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. ………6 分 (3)设第 1 组的 1 位义工为 A ,第 2 组的 1 位义工为 B ,第 3 组的 4 位义工为

C1 , C2 , C3 , C4 ,则从六位义工中抽两位义工有: ( A, B),( A, C1 ),( A, C2 ),( A, C3 ),( A, C4 ), ( B, C1 ),( B, C2 ),( B, C3 ),( B, C4 ), (C1 , C2 ), (C1 , C3 ), (C1, C4 ),(C2 , C3 ),(C2 , C4 ), (C3 , C4 ),
共 15 种可能. 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有: ( A, B), 共 1 种可能, 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 1 ? …………10 分

1 14 ? . 15 15

…………12 分

17. 解: (1)由

f ? x ? ? 2sin 2x cos ? ? 2cos 2x sin ? ? m

? 2sin ? 2x ? ? ? ? m ,
因为函数图象上有一个最低点 M ( 所以 m ? 2 ? ?1 , m ? 1

………2 分

2? , ?1) , 3
……………………3 分

2?

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

(k ? Z )

,

解得 ? ?

?
6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.

………5 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1.

……………………………6 分

? 1 ? 1 ? 1 (2)由f ( ) ? , 得2 sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? ? . 2 3 6 3 6 3
?0 ? ? ? ? , ?

………7 分

?
6

?? ?

?

7 ? ? ? 又 sin(? ? ) ? 0 6 6 , 6 ,
………9 分

? ? 2 2 ? cos(? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? ? . 6 6 3
? cos ? ? [cos(? ?
=

?
6

)?

?
6

] ? cos(? ?

?
6

) cos

?
6

? sin(? ?

?
6

) sin

?
6

………11 分

?

2 2 3 1 1 1? 2 6 ? ? ? ?? . 3 2 3 2 6

………12 分

18. (1)证明:连结 BD,交于点 F, ∵ABCD 是平行四边形,∴F 是 BD 的中点, 又∵点 E 是 SB 的中点,∴EF∥SD, ∵SD?平面 ACE,EF?平面 ACE, ∴SD∥平面 ACE. ……………………4 分

(2)AB=AS,点 E 是 SB 的中点,? AE ? BS ∵平面 ABS ? 平面 CBS ,

AE⊥平面 SBC,CE?平面 SBC,∴AE⊥BS,
? ? SBC 是正三角形,点 E 是 SB 的中点,
∴CE⊥BS,AE ? CE=E, ∴BS⊥面 AEC, Ac ? 面 AEC. ∴BS⊥AC. …………8 分

(3):又 AB⊥AS,BC=2,AE⊥BS, ∴AB= 2 ,AE=1,

S?SBC ?

3 3 BC 2 ? ?4 ? 3 , 4 4
……………………12 分

1 1 3 . VS ? BCD ? ? AE ? S?SBC ? ?1? 3 ? 3 3 3

19. 解: (1)当 n ? 1 时,

1 ? 1 即 a1 ? 0 a1 ? 1

……………1 分

1 2 3 n ? ? ??? ? n, ……………① a1 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1
当 n ? 2 时,

1 2 3 n ?1 ? ? ??? ? n ? 1, ② a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an?1 ? 1
由① ? ②得

……………3 分

n ? 1 ,即 an ? n ? 1 ?n ? 2? an ? 1

……………5 分

所以 an ? n ? 1 n ? N ? . (2)数列 ?an ? 是等差数列,

……………………………………6 分

? Sn ?

n?n ? 1? 2

……………8 分

?

1 2 1? ? 1 ? ? 2? ? ? (n ? 2) S n n?n ? 1? ? n ?1 n ?
1 1 1 1 ? ? ??? Sn?1 Sn? 2 Sn?3 S2 n

……………10 分

Tn ?

1 1 1 1 1 ? ?1 ? 2? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 1 2 n ? ? n n ?1 n ?1 n ? 2
= 2?

?1 1 ? 1 ? ?= ? n 2n ? n

要存在整数 m ,使得对任意 n ? N? ,使 关于 n 的不等式 Tn ? m 恒成立,即 ?Tn ?max ? m

Tn ?

1 单调递减,当 n ? 1 时, Tn 取得最大值 1 n

m ? 1 时关于 n 的不等式 Tn ? m 恒成立……………………12 分

20. (Ⅰ)依题意,得 c ? 3 ,即 F1 - 3, 0 .…………………1 分 又由题意可得 e ?

?

?

bc c ? ,所以 b ? 1 …………………分 a a

所以 a ? 2 ,…………………3 分

x2 ? y 2 ? 1 .…………………4 分 所以所求椭圆 C 的方程为 4
(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,则可设直线 l 的方程为 y ? k x ? 3 ,

?

?

?y ? k x ? 3 ? 联立 ? x 2 消去 y 得 4k 2 ? 1 x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 4

?

?

?

?

设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? , 则由韦达定理可得 x1 ? x2 ?

? 8 3k 2 12k 2 ? 4 , x x ? ……………7 分 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

设点 M ?m,0? ,则 AM ? ?m ? x1 ,? y1 ?, BM ? ?m ? x2 ,? y2 ?

AM ? BM ? ?m ? x1 ??m ? x2 ? ? y1 y2 ? m2 ? m?x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? k 2 x1 ? 3 x2 ? 3
? m2 ?
? m2 ?

?

??

?

? 3k
?

2

? m ?x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 x1 x2 ? 3k 2

?

?

?

3k 2 ? m

?

?4m

? ?48 k
2

3k 2 12k 2 ? 4 2 ? k ? 1 ? 3k 2 2 2 ?1 4k ? 1

?

?

? 8 3m ? 11 k 2 ? m 2 ? 4 , 4k 2 ? 1
4m2 ? 8 3m ? 11 4 ? , m2 ? 4 1

?

……………………9 分

要使 AM ? BM 为定值,则 解得 m ? ?

13 9 3 ,即 AM ? BM = ? ……………………11 分 64 8

当直线 l 的斜率不存在时,则可知点 A? ? 3,? ?, B? ? 3, ? ,

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

???? ? ? ? ? 3 1 ? ???? 3 1? AM ? ? ? , , BM ? ? ? ? ? 8 2? ? 8 ,? 2 ? ? ? ? ? ?

AM ? BM = ?

13 , 64

即在 x 轴上存在定点 M ( ?

9 3 , 0) , 8

使 AM ? BM 为定值 ?

13 。 64

……………………13 分

21. 解: (1)∵ f ? (x)=4(ln x +1)+ ∴f ′(1)=4+ m ,g′(1)=2+ n ;

m ,g′( x )=2 x +n; x

又∵曲线 y= f ( x )与曲线 y=g( x )在点(1,0)处有相同的切线, ∴ f (1)=0=g(1)=1+ n ﹣5, f ? (1)=g′(1) ;

即?

?4 ? m ? 2 ? n ; ? n?4 ? 0

从而解得, m ? 2, n ? 4 , 所以 f ? x ? ? ? 4x ? 2? ln x ,g( x )= x +4 x ﹣5; ……………………4 分
2

(2)由题意 F( x )=(4 x +2)ln x ﹣ x ﹣4 x +5( x ? 0 ) ; ∴F′( x )=4ln x +

2

4x ? 2 2 ﹣2 x ﹣4=4ln x + ﹣2 x ;……………………5 分 x x

令 G( x )=F′( x ) ,

4 2 ?2 x2 ? 4 x ? 2 ?2 ? x ? 1? ∴G′( x )= ﹣ 2 ﹣2= ≤0 恒成立, ? x x x2 x2
2

∴F′( x )在(0,+∞)上单调递减,

……………………7 分

又∵F′(1)=0, ∴当 x ∈(0,1)时,F′( x )>0,当 x ∈(1,+∞)时,F′( x )<0; ∴F( x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,……………………9 分 (3)由题意知, k ? ? 0,1? ,2 x +1>0; ∴不等式(2k+1) f ( x ) ? (2 x +1)g( x ) ? 0 可转化为 (2k+1) ? 4x ? 2? ln x ? ? 2x ? 1? ( x +4 x ﹣5)=
2
2 ? ? 2 x ? 1? ? ?? 4k ? 2 ? ln x ? ? x ? 4 x ? 5 ?? ? 0 ,

令 H( x )=2(2k+1)ln x ﹣ x ﹣4 x +5, 即 x ∈(0, k ]时, H ? x ?max ? 0 恒成立. ……………………10 分

2

∴H′( x )=

?2 x 2 ? 4 x ? 4k ? 2 , x

2 2 令 h ? x ? =﹣2 x ﹣4 x +4k+2 中, h ? k ? =﹣2 k ﹣4 k +4 k +2=-2( k -1)( k +1)

当 0 ? k ? 1 , h ? k ? ? 0, H ? ? x ? >0,

H ? x ? 在 x ∈(0, k ]单调递增,……………………12 分 H ? x ?max ? H ? k ? =2(2 k +1)ln k ﹣ k 2﹣4 k +5,
又 F( x )=(4 x +2)ln x ﹣ x ﹣4 x +5 在(0,1)上单调递增,
2

H ? x ?max ? H ? k ? = F ? k ? ? F ?1? =0,满足题意。……………………14 分


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