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2-4 离散型随机变量及其分布律


§2.4

分布函数

为了对离散型和连续型 r.v给出一种统 一的描述方法,引进分布函数的概念.
PK
0.6 0.3

f (x)

0.1

0

1

2

k

o

x

一、定义: 设 X 是一个 r.v,称 ( ?? ? x ? ??) F ( x) ? P ( X ? x) 为 X 的分布函数. 记作 X ~ F(x) 或 FX(x).

———|——> ?
x 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标, 那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
( ??, x ] 的概率.

X ?x

F ( x ) ? P( X ? x ), ? ? ? x ? ?
问: 在上 式中,X, x 皆为变量. 二者有什 么区别? x 起什么作用? F(x) 是不是概率?

X是随机变量, x是参变量.
F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.

F ( x ) ? P( X ? x ), ? ? ? x ? ?
由定义,对任意实数 x1<x2,随机点落 在区间( x1 , x2 ] 的概率为: P( x1<X ? x2 ) = P( X ? x2 )- P( X ? x1)

= F(x2)-F(x1)
因此,只要知道了随机变量X的分布函 数, 它的统计特性就可以得到全面的描述.

F ( x ) ? P( X ? x ), ? ? ? x ? ?
分布函数是一个普通的函数,正是 通过它,我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.

二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布为 P( X=xk )= pk , 则 F(x) = P(X ? x) =
xk ? x

k =1,2,3,…

?p

k

由于F(x) 是 X 取 ? x 的诸值 xk 的概率之和, 故又称 F(x) 为累积概率函数.

例1
解:

?0 ? X ~ ?1 ?3 ?

1 1 6

2? ? 1 ? ,求 F(x). 2? ?

F(x) = P(X ? x)




x<0 时,{ X ? x } =? , 故 F(x) =0
0 ? x < 1 时, 1 F(x) = P(X? x) = P(X=0) = 3

?0 1 2 ? ? ? 例1 X ~ ? 1 1 1 ? ,求 F(x). ?3 6 2 ? ? ? F(x) = P(X ? x) 解:
1 ? x < 2 时, 1 1 1 F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + = 3 6 2 当 x ?2 时, F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 当



x?0 ? 0, ?1 ? , 0 ? x ?1 ?3 F ( x) ? ? 1 ? , 1? x ? 2 ?2 ? 1, x?2 ?
下面我们从图形上来看一下.

注意右连续

? 0, ?1 / 3, ? F ( x) ? ? ?1 / 2, ? 1, ?

x?0 0? x ?1 1? x ? 2 x?2

?0 ? X ~ ?1 ?3 ?
画 分布函 数图

1 1 6

2? ? 1? 2? ?

分布函数图

P( X ? x ) F (x )
1
1 2

12 13 16
0
O

16
O

O

1

2

x

不难看出,F(x) 的图形是阶梯状的图形, 在 x=0,1,2 处有跳跃,其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).

F (x )
1
1 2

12 13 16
0
O

16
O

O

1

2

x

三、连续型 r.v的分布函数 若 X 是连续型r.v, X ~f (x) , 则 ~ F(x) = P(X ? x) =

?

x

??

f (t )dt

即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分. 由上式可得,在 f (x)的连续点,

dF ( x ) ? f ( x) dx

四、分布函数的性质 (1) F(x) 非降,即若 x1<x2,则F(x1) ? F(x2) ; (2) F(? ?) = lim F(x) = 0 F(? ?) = lim F(x) = 1
x ? ?? x ? ??

(3) F(x) 右连续,即 lim? F ( x ) ? F ( x0 )
x ? x0

如果一个函数具有上述性质,则一定是某 个r.v X 的分布函数. 也就是说,性质(1)--(3)是 鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分 必要条件.

例2 设

? x, 0 ? x ? 1 ? X ~ f ( x ) ? ? 2 ? x, 1 ? x ? 2 ? 0, 其它 ?
由于f(x)是分段 表达的,求F(x)时 注意分段求.

求 F(x).

F ( x ) ? ? f ( t )dt
??

x

F ( x ) ? ? f ( t )dt

? x, 0 ? x ? 1 ? X ~ f ( x ) ? ?2 ? x , 1 ? x ? 2 ? 0, 其它 ?
x

F(x) =

?

??

0

x?0
x 0 1

? tdt ? tdt ? ?
0

0 ? x ?1
x

1

(2 ? t )dt

1? x ? 2
x?2

1



x?0 ? 0, ? x2 , 0 ? x ?1 ? ? 2 F ( x) ? ? x2 ? 2x ?1? , 1 ? x ? 2 2 ? ? 1, x?2 ?

对连续型r.v,若已知F(x),我们通过求导 也可求出 f (x),请看下例.

例3 设r.vX的分布函数为 (1) 求X取值在区间 ? 0, x ? 0 ? 2 (0.3,0.7)的概率; F ( x) ? ? x , 0 ? x ? 1 (2) 求X的概率密度. ? 1, x ?1 ? 解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4

dF ( x ) ?2 x, 0 ? x ? 1 (2) f(x)= ?? dx ? 0, 其它
注意到F(x)在1处导数不存在,根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质,可以在 F ?( x ) 没意义的点处,任意规定 F ?( x ) 的值.

这一节我们介绍了r.v的分布函数.
分布函数 离散型r.v的 分布函数

分布函数 的性质

连续型r.v的 分布函数

概率分布 与分布函数 的关系

概率密度 与分布函数 的关系


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