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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第2章 第5节 指数与指数函数


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北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
函数与基本初等函数

第二章

函数与基本初等函数

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第二章
第五节 指数与指数函数

第二章

函数与基本初等函数

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1

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3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

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第二章

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考纲要求
1.了解指数函数模 型的实际背景. 2.理解有理指数幂 的含义,了解实数指数 幂的意义,掌握幂的运 算. 3.理解指数函数的 概念,理解指数函数的 单调性,掌握指数函数 图像通过的特殊点. 4.知道指数函数是 一类重要的函数模型.

命题分析
通过对近三年高考试题的统计分 析可以看出,本节内容在高考中地位 并不非常突出,主要以选择题形式出 现(多以指数与指数函数为载体),考 查指数函数的图像和性质,尤以单调 性为主,如比较函数值的大小、解简 单的指数不等式求参数的取值范围 等. 预测2016年高考对本节内容的考 查仍以对概念的理解、指数的运算为 主,指数函数及由它复合而成的函数 的图像、性质等的综合应用,题型延 续选择题的形式,分值为5分.
第二章 函数与基本初等函数

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课前自主导学

第二章

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1.根式 (1)根式的概念
根式的概念 如果存在实数 x,使得________ xn=a 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个 符号表示 备注 a∈R,n>1 且 n∈N+

正数 ,负数的 n 次方根是一个 ________ 负数 ________
当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有

n

a

零的 n 次方根是零

两个 ,它们互为________. 相反数 ________

n ± a

负数没有偶次方根

第二章

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( 2 ) 两 个 重 要 公 式

a ?n为 奇 数 ?, ? n n ? ? a ,a≥0, ? ① a =? ?|a|=? ? ,a<0 ? -a ? a ②( a) =_ _ _ _ _ _ _ _ (
n

(n 为 偶 数 );

n

n>1 且 n∈N+)(注 意 a必 须 使

n

a有 意

义)

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2.有 理 数 指 数 幂 ( 1 ) 分 数 指 数 幂 的 表 示 ①正 数 的 正 分 数 指 数 幂 是
m an

n m =_ _ _ _ _ _ _ _ (a

a>0,m,n∈N+,n> 1 ) .
1

②正 数 的 负 分 数 指 数 幂 是 1 a
-n

m

m

=_ _ _ _ _ _ _ _ an

n m =_ _ _ _ _ _ _ _ ( a

a>0,m,n∈N+,n> 1 ) .

③0 的 正 分 数 指 数 幂 是

0 _ _ _ _ ,0 的 负 分 数 指 数 幂 无 意 义 .

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(2)有理数指数幂的运算性质 r+s r s a ①a a =______(a>0,r,s∈Q). ars ②(ar)s=______( a>0,r,s∈Q). arbr a>0,b>0,r∈Q). ③(ab)r=______(

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3.指数函数的图像和性质
函数 y=ax(a>0,且 a≠1) 0<a<1 图像 a>1

(0,1) 在 x 轴________ 上方 ,过定点________
图像特征 当 x 逐渐增大时, 图像 当 x 逐渐增大时,图 逐渐下降 像逐渐上升
第二章 函数与基本初等函数

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函 数 定 义 域 值 域 性 单 调 性

y=ax(a>0, 且 a≠1 ) _ _ _ _ _ _ _ _R

(0 ,+ _ _ _ _ _ _ _ _ ∞) 递减 在 R 上_ _ _ _ _ _ _ _ 递增 在 R 上_ _ _ _ _ _ _ _

质 函 数 值 变 化 规 律

y = 当 x=0 时 ,_ _ _ _ _ _ _ _1 y>1 当 x<0 时 ,_ _ _ _ _ _ _ _ 0< 当 x>0 时 ,_ _ _ _ _ _ _ _ y<1
; 当 x<0 时 ,

0< y<1 ; _ _ _ _ _ _ _ _ 当 x>0 y >1 时 ,_ _ _ _ _ _ _ _

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1.若点(a,9)在函数 y=3 的 图 像 上 , 则 A.0 C. 1 3 B. 3 D. 3

x

aπ a tn 6 的值为(

)

[ 答案]
[ 解析]

D
由 题 意 有 3a=9,则 a=2,

aπ π ∴a tn 6 =a tn 3= 3.

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2.(2015·杭州月考)函数y=a|x|(a>1)的图像是(

)

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[答案] B

[ 解析]

x ? a ? y=a|x|=? -x ? ?a

?x≥0? ,当 x≥0 时,与指数函数 ?x<0?


y=ax(a>1)的图像相同;当 x<0 时,y=a x 与 y=ax 的图像关于 y 轴对称,由此判断 B 正确.

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(理)(2015·郴州五校联考)函数f(x)=2|x-1|的图像是(

)

[ 答案]
[ 解析]

B
x 1 2 ,x≥1 ? ? f(x)=? 1 x-1 ? ? ,x<1.故选B. ? ?2


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3.化简 16x8y4(x<0,y< 0 ) 得( A.2x2y C.4x2y B.2xy

4

)

D.-2x2y

[ 答案]
[解 析]

D 4

1 6 x y =( 1 6
1 4

8 4

1 8 4 4 xy)

=[24· (-x)8· (-y)4] =2
1 4× 4

· ( -x)

1 8×4

· (-y)

1 4×4

=2 ( -x)2(-y)= - 2x2y.
第二章 函数与基本初等函数

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4.(文)设 指 数 函 数 确 的 是 ( )

f(x)=ax(a>0 且 a≠1 ), 则 下 列 等 式 不 正

A.f(x+y)=f(x)· f(y) f ? x? C.f(x-y)= f ? y? [ 答案] B

B.f[(xy)n]=fn(x)· fn(y) D.f(n x )=fn(x)

[ 解析]

由 f(x)=ax, 验 证 B 知,f[(xy)n] =a(xy)n,
+yn

fn(x)· fn(y)=(ax)n· (ay)n=axn· ayn=axn ∴f[(xy)n] ≠fn(x)fn(y), 而 验 证



A,C,D 都 正 确 .

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1x (理)已知 f(x)=(3) ,若 f(x)的 图 像 关 于 直 线 像对应的函数为 g(x),则 g(x)的 表 达 式 为 1x A.y=(3) ( )

x=1 对称的图

1 1 -x B.y=(3)

1 2+x C.y=(3) D.y=3x-2 [ 答案] D [解 析 ] 设 y=g(x)上 任 意 一 点 P(x,y),P(x,y)关 于 x=1
的 对 称 点 D.
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1x 1 2-x - P′(2-x,y)在 f(x)=(3) 上 , ∴y=(3) =3x 2.故 选

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5.当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域是________.
[ 答案] 5 [-3,1]

[ 解析] ∴3
-2+1

∵x∈[ -2,0] 时 y=3x 1-2 为增加的,


-2≤y≤3

0 +1

5 -2,即-3≤y≤1.

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6.函数
[ 答案]

? ?f?x+2?,x<2, f(x)=? -x ? ?2 ,x≥2,

则 f(-3)=__________.

1 8

[ 解析]

f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)
-3

1 =f( 1 ) =f(1+2)=f( 3 ) =2 =8.

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课堂典例讲练

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幂式的化简与求值

化简下列各式(其中各字母均为正数): 1 -1 (1)( ) 2 4
1; · -2 0.1 ?a3b-3?2

? 4ab-1?3

1 2 1 5 1 -2 - -1 -3 (2)6a3 · b · (-3a 2 b )÷ (4a3 · b )2 . [ 思路分析] (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数

幂,先化为分数指数幂以便用法则运算; (2)题目中给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法则 的条件,若符合用法则进行下去,若不符合再创设条件去求.
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1

3

[规 范 解 答 ]

42· 42 3 -3 -3 3 2 · 2 · 2 · 2 ( 1 ) 原 式 = 1 a b a b 0 0

4 0 0 4 =2 b =2 5a· 5.
2 1 5 -1 -3 -3 ( 2 ) 原 式 =-2a 6 b ÷ ( 4 a3 · b )2 1 3 5 -1 -3 - = - 4a 6 b ÷ (a 3 b 2 ) 3 5 -1 - = - 4a 2 b 2 .

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[方法总结] 指数幂的化简与求值
(1)化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正 指数幂;③化小数为分数;④注意运算的先后顺序. 提醒:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否 则不能用性质来运算.

(2)结果要求:①若题目以根式形式给出,则结果用根式表
示;②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂 的形式表示;③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能 既有分母又有负分数指数幂.

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计算下列各式: ( 1 ) ( 2
2 a3
x

1 b2

1 )(-6a2

1 b3

) ÷ (

1 -3a6

5 b6

);

-x a a ( 2 ) x x+ -x -x. a +b a +b

[ 解析 ] 4ab0=4A.

( 1 ) 原式= [2× (-6 ) ÷( - 3 ) ]

2 a3



1 2



1 6

1 b2



1 3



5 6



ax bx ( 2 ) 原式= x x+ x x=1. a +b a +b

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指数函数的图像及应用
设 f(x)=|3x-1|,c<b<a,且 f(c)>f(a)>f(b),则下 列关系式中一定成立的是( A.3c>3a C.3c+3a>2 ) B.3c>3b D.3c+3a<2

[ 思路分析]

用函数的图像比较大小.

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[规 范 解 答 ]

画 出 f(x)=|3x-1|的 图 像 如 图 :

要 使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成 立 , 则 有 c<0 且 a> 0 . 由 y=3x 的 图 像 可 得 0 < 3 c< 1 < 3a, ∵f(c)=1-3c, f(a)=3a-1,f(c)>f(a), ∴1-3c>3a-1,即 3c+3a< 2 .
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[答案] D
[方法总结] 像. (2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究,往 往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图

数型函数图像数形结合求解.

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( 2 0 1 4

年 沈 阳 质 检

)函 数 f(x)=ax b 的 图 像 如 图 所 示 , 其 中


a,

b为 常 数 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0

(

)

D.0<a<1,b<0 [ 答案] D [ 解析] 因 为 图 像 在 R 上 为 下 降 的 所 以

0<a<1,又因为 x

=0 时 y=a-b∈( 0 1 ,)

, 所 以 b< 0 . 故选 D.
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指数函数性质的考查 求下列函数的定义域和值域.

[ 思路分析]

指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的定义域为 R,所

以 y=af(x)的定义域与 f(x)定义域相同;值域则要应用其单调性 来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则.

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[规 范 解 答 ] 所 以

( 1 ) 定 义 域 为

R.因 为 - |x+1|≤0,

?2?- + ?2? |x 1| y=?3? ≥?3?0=1, ? ? ? ?

所 以 值 域 为

[1, + ∞) . R.

( 2 ) 因 为 2x+1 > 0 恒 成 立 , 所 以 定 义 域 为

2x 1 1 又 因 为 y= x =1- x , 而 0 < x <1, 2 +1 2 +1 2 +1 1 所 以 - 1 < - x <0, 解 得 0 < y<1, 2 +1 所 以 值 域 为 ( 0 1 ,) .
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( 3 ) 令 - x2-3x+4≥0, 解 得 - 4≤x≤1, 所 以 函 数
2

的 定 义 域 为

[ -4 1 ,] .

3 设 u= -x -3x+4(-4≤x≤1 ), 易 得 u 在 x= - 2时 取 最 5 大 值 2, 在 x= -4或1时 取 最 小 值 5 即 0≤u≤2.所 以 函 数 即 函 数 0,
5 [20,22

y=2u 的 值 域 为 的 值 域 为 [ 1 4 ,

],

2].

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[ 方法总结 ]

函数 y = af(x) 的值域的求解,先确定 f(x) 的值

域,再根据指数函数的单调性,确定y=af(x)的值域.

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1 -|x| (文)函数 y=(4) 的 值 域 为 ________.

[ 答案]
[ 解析]

[1,+∞)
1 -x -|x|≤0,∴(4) ≥1,即 y≥1.∴值域为[1,+∞).

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( 理) 设函数 f(x) =|2x- 1| 的定义域和值域都是 [a , b](b>a) ,

则a+b等于(
A.1 C.3 [答案] A
[ 解析]

)
B.2 D.4
因为 f(x)=|2x-1|的值域为[ a,b] ,所以 b>a≥0,

而函数 f(x)=|2x-1|在[0,+∞)内是单调递增函数,
a ? ?|2 -1|=a, 因此应有? b ? ?|2 -1|=b,

? ?a=0, 解得? ? ?b=1,

所以有 a+b=1.
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综合应用
a 已知 f(x)= 2 (ax-a-x)(a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[ -1,1] 时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

[ 思路分析]

(1)首先看函数的定义域,而后用奇偶性定义

判断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数解 决;(3)恒成立问题关键是探求 f(x)的最小值.
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[ 规范解答]

( 1 ) 函 数 定 义 域 为

R,关于原点对称.

a 又∵f(-x)= 2 (a-x-ax)=-f(x), a -1 ∴f(x)为 奇 函 数 .

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(2)当a>1时,a2-1>0,
y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数,∴f(x)为增函数. 当0<a<1时,a2-1<0, y=ax为减函数,y=a-x为增函数,

从而y=ax-a-x为减函数,∴f(x)为增函数.
故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调增加的.

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( 3 ) 由( 2 ) 知 f(x)在 R 上 是 增 函 数 , ∴在 区 间 [ -1 1 ,] 上 为 增 加 的 , ∴f(-1 ) ≤f(x)≤f( 1 ) . a ∴f(x)min=f(-1 )= 2 (a-1-a) a -1
2 1 - a a = 2 · = -1 . a -1 a

∴要 使 f(x)≥b 在[ -1 1 ,] 上 恒 成 立 , 则 只 需 故b的 取 值 范 围 是 (-∞, -1 ].

b≤-1 .

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[ 方法总结 ] 论.

1. 利用指数函数的性质解决相关的综合问题

时,要特别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨 2 .解决恒成立问题,一般需分离变量,通过转化为求函

数的最值来实现.

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a· 2x-1-a (文)若函数 y= 为奇函数. 2x-1 ( 1 ) 求a的 值 ; ( 2 ) 求 函 数 的 定 义 域 ; ( 3 ) 求 函 数 的 值 域 .

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[解 析]

a· 2x-1-a 1 ∵函 数 y= ,∴y=a- x . 2x-1 2 -1 f(-x)+f(x)=0,

( 1 ) 由 奇 函 数 的 定 义 , 可 得

1 1 即 a- -x +a- x =0, 2 -1 2 -1 1-2x 1 ∴2a+ =0,∴a= - 2. 1-2x 1 1 ( 2 ) ∵y= - 2- x ,∴2x-1≠0, 即 x≠0 . 2 -1 1 1 ∴函 数 y= - 2- x 的 定 义 域 为 2 -1 {x|x≠0}.
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( 3 ) ∵x≠0,∴2x-1 > -1 . ∵2x-1≠0,∴0 > 2 x-1 > -1 或 2x-1 > 0 . 1 1 1 1 1 1 ∴-2- x > 或 - 2- x <-2. 2 -1 2 2 -1 即 函 数 的 值 域 为 1 1 {y|y>2或 y<-2}.

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(理)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都 成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
[ 解析] (1)∵f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e x-ex=-f(x),


∴f(x)为奇函数; 1 1 x ∵f(x)=e -ex, 而 y=e 为增函数, y=-ex为增函数, ∴f(x)
x

为增函数.

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( 2 ) ∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0,∴f(x2-t2)≥-f(x-t), ∵f ( x) 为 奇 函 数 , ∵f ( x) 为 增 函 数 , 由 条 件 知 , ∴f(x2-t2)≥f(t-x), ∴x2-t2≥t-x,∴t2+t≤x2+x. x恒 成 立 ,

t2+t≤x2+x 对 任 意 实 数
2

12 1 1 当 x∈R 时 , x +x=(x+2) -4≥-4. 1 12 1 ∴t +t≤-4,∴(t+2) ≤0,∴t= - 2.
2

1 故 存 在 t=-2, 使 不 等 式 x都 成 立 .

f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对 一 切 实 数

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忽视对参数的分类讨论造成漏解 如果函数 y = a2x + 2ax - 1(a>0 ,且 a≠1) 在区间 [ -

1,1]上的最大值是14,试求a的值.
[ 错解] 设 ax=t,则 y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 1 由于 x∈[ -1,1] ,所以 t∈[a,a]. 因此当 t=a 时 y 取最大值,有(a+1)2-2=14, 解得 a=3 或 a=-5(舍去),即 a=3.

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[错因分析]

本题的错解在于忽视了对参数a的讨论,误认

为a>1.当指数函数的底数含有参数时,要先对参数进行讨论, 确定单调性,进而解决问题.
[ 正确解答] 设 t=ax,

则 y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当 a>1 时,t∈[ a 1,a] ,ymax=a2+2a-1=14,解得 a=3


或 a=-5(舍).

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当 0<a<1 时,t∈[ a, a 1] ,ymax=(a 1)2+2a 1-1=14,解得
- - -

1 1 a=3或 a=-5(舍). 1 故所求 a 的值为 3 或3. [ 误区警示 ] 对于指数函数的底数 a ,必须时刻注意底数
a>0 ,且 a≠1. 在不清楚其取值范围时,应树立分类讨论的数学

思想,分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,以便确定其性质.

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一个关系 分数指数幂与根式的关系

根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可
以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.

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两 个 防 范 ( 1 ) 指 数 函 数 的 单 调 性 是 由 底 数 时 通 常 对 底 数 a的 大 小 决 定 的 , 因 此 解 题

a按 :0 < a<1 和 a>1 进 行 分 类 讨 论 . “新 元 ”的 取 值 范 围 .

( 2 ) 换 元 时 注 意 换 元 后 三 个 关 键 点 画 指 数 函 数 点 : (1,a),( 0 1 ,)

y=ax(a>0, 且 a≠1)的 图 像 , 应 抓 住 三 个 关 键 1 ,(-1,a).

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