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第一节 不等式的概念、性质及解法


第七章
第一节

不等式

不等式的概念、性质及解法
高考试题

考点一 不等式的性质及应用
1.(2011 年浙江卷,理 7)若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“a< (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:已知 0<ab<1,当 b>0 时,a>0,则 a< 答案:A 2.(2011 年大纲全国卷,理 3)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( (A)a>b+1 (B)a>b-1 (C)a >b 答案:A 3.(2010 年江苏卷,12)设 x,y 为实数,满足 3≤xy ≤8,4≤ 解析:由题意得( ∴
2 2 2

1 1 或 b> ”的( a b

)

1 1 ;当 b<0 时,a<0,b> ,由前者可以得到后者,但反过来不成立. a b
)

(D)a >b

3

3

解析:当 a>b+1 时,a>b,但 a>b 时,a>b+1 不一定成立.故选 A.

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y

.

1 x2 2 1 1 ) ∈[16,81], 2 ∈[ , ], xy y 8 3

1 x3 x2 2 x3 =( ) · 2 ∈[2,27], 4 的最大值是 27. 4 xy y y y

答案:27

考点二 不等式的解法
1.(2012 年重庆卷,理 2)不等式

x ?1 ≤0 的解集为( 2x ? 1

)

(A)( (B)[-

1 ,1] 2

1 ,1] 2 1 )∪[1,+∞) 2

(C)(-∞,(D)(-∞,-

1 ]∪[1,+∞) 2 ?( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0, 解析:不等式等价于 ? ? 2 x ? 1 ? 0,
解得-

1 <x≤1. 2

答案:A 2.(2013 年安徽卷,理 6)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-1 或 x> ( )

1 x },则 f(10 )>0 的解集为 2

(A){x|x<-1 或 x>-lg 2| (B){x|-1<x<-lg 2} (C){x|x>-lg 2} (D){x|x<-lg 2} 解析:因为 f(x)<0 的解为 x<-1 或 x> 所以 f(x)>0 的解为-1<x< 由 f(10 )>0,得-1<10 < 即 0<10 <
x x x

1 , 2

1 , 2

1 , 2

1 , 2

解得 x<-lg 2. 答案:D 3.(2013 年天津卷,理 8)已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A.若[? A,则实数 a 的取值范围是( A (A)( (C)( )

1 1 , ] 2 2

1? 5 ,0) 2

(B)(

1? 3 ,0) 2

1? 5 1+ 3 1? 5 ,0)∪(0, ) (D)(-∞, ) 2 2 2

解析:①a>0 时,f(x)=x(1+a|x|)为 R 上增函数, f(x+a)<f(x)解集为 ? ,不符合题意,排除 C. ②a<0 时,由 f(即(A(-

1 1 +a)<f(- )恒成立. 2 2

a 1 1 1 +a)(1+a|- +a|)<- (1+ ), 2 2 2 2

1 1 5 +a)|- +a|<- a. 2 2 4 1 1 5 )|a- |>- 恒成立, 2 2 4

即(a-

-(a-

1 2 5 1? 5 ) >- ,得 <a<0. 2 4 2 1 1 ,则 f(x)=x(1- |x|). 2 2 1 1 1 )<f(x)的解集 A 满足[- , ]? A, 2 2 2

若取 a=-

则不等式 f(x-

又-

1 1 1? 3 1? 5 ∈( ,0)且- ( ,0),故选 A. 2 2 2 2

答案:A

4.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,理 11)已知函数 f(x)= ? ( ) (B)(-∞,1] (D)[-2,0]
2 2

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?ln( x ? 1), x ? 0.

若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是

(A)(-∞,0] (C)[-2,1]

解析:由不等式恒成立问题求参数,综合性较强,考查分类讨论与数形结合思想. 当 x≤0 时,f(x)=-x +2x=-(x-1) +1≤0, 所以|f(x)|≥ax, 即为 x -2x≥ax. 当 x≤0 时,所以 a≥x-2, 即 a≥-2 验证知 a≥-2 时,|f(x)|≥ax(x≤0)恒成立. 当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)>0, 所以|f(x)|≥ax 化简为 ln(x+1)>ax 恒成立, 由函数图象可知 a≤0, 综上,当-2≤a≤0 时,不等式|f(x)|≥ax 恒成立.故选 D. 答案:D 5.(2013 年广东卷,理 9)不等式 x +x-2<0 的解集为 答案:(-2,1) 6.(2010 年大纲全国卷Ⅱ,理 5)不等式 (A){x|x<-2,或 x>3} (B){x|x<-2,或 1<x<3} (C){x|-2<x<1,或 x>3} (D){x|-2<x<1,或 1<x<3} 解析:
2 2

.

解析:用十字相乘法解一元二次不等式,原不等式可化为(x+2)(x-1)<0,得-2<x<1.

x2 ? x ? 6 >0 的解集为( x ?1

)

(x ? 3) ( x ? 2) x2 ? x ? 6 >0? >0?(x-3)(x+2)(x-1)>0,利用数轴标根法解得-2<x<1 或 x>3.故选 C. x ?1 x ?1
2 2

答案:C 7.(2009 年天津卷,理 10)设 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b) >(ax) 的解集中的整数恰有 3 个,则( (A)-1<a<0 (B)0<a<1 (C)1<a<3 (D)3<a<6 解析:由题意得不等式(x-b) >(ax) ,即(a -1)x +2bx-b <0,整理得[(a+1)x-b][(a-1)x+b]<0,由题意知它的 解应在两根之间,故 a-1>0 且不等式的解集为{x|
2 2 2 2 2

)

?b b b <x< },又由 0<b<1+a 得 0< <1,故-3≤ a ?1 a ?1 a ?1

?b b <-2,即 2< ≤3,2(a-1)<b≤3(a-1), a ?1 a ?1
∴1+a>b>2(a-1),3(a-1)≥b>0,解得 1<a<3. 答案:C 8.(2013 年四川卷,理 14)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x -4x.那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是 .
2

解析:由 ?

? x ? 0,
2 ? x ? 4 x ? 5,

得 0≤x<5,又 f(x)是偶函数,所以 f(x)<5 的解集是(-5,5).由 f(x+2)的图象是由 f(x)

的图象向左平移 2 个单位长度而得到的,所以不等式 f(x+2)<5 的解集是(-7,3). 答案:(-7,3) 9.(2011 年上海卷,理 4)不等式 解析:由

x ?1 ≤3 的解为 x

.

x ?1 x ?1 2x ?1 ≤3 得 -3≤0 即 ≥0, x x x
1 . 2 1 2 1 ax ? 1 <0 的解集是(-∞,-1)∪(- ,+∞),则 a= 2 1? x
.

解得 x<0 或 x≥ 答案:x<0 或 x≥

10.(2009 年湖北卷,理 11)已知关于 x 的不等式 解析:由题意可得 a≠0,则不等式等价于 a(x+1)·(x-

1 )<0, a 1 1 =- ,则 a=-2. 2 a

由解集特点可得 a<0 且 答案:-2

11.(2010 年江苏卷,11)已知函数 f(x)= ? 是 .

? x 2 ? 1, x ? 0, ?1, x ? 0,

则满足不等式 f(1-x )>f(2x)的 x 的取值范围

2

?1 ? x 2 ? 2 x, ?1 ? x 2 ? 0, ? 2 解析:f(1-x )>f(2x)等价于 ?1 ? x 2 ? 0, 或 ? ?2 x ? 0, ?2 x ? 0 ?
解得 x∈(-1, 2 -1). 答案:(-1, 2 -1)

模拟试题
考点 不等式的性质及应用
)

1.(2012 浙江台州模拟)已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( (A)

c b < a a

(B)

b?a >0 c a?c <0 ac

(C)

b2 a 2 > c c

(D)

解析:∵c<b<a 且 ac<0, ∴a>0,c<0. 由 b>c,a>0,即

1 b c >0,可得 > ,故选项 A 恒成立. a a a

∵b<a, ∴b-a<0. 又 c<0, ∴

b?a >0,故选项 B 恒成立. c a?c <0,故选项 D 恒成立. ac
2 2

∵c<a,∴a-c>0.又 ac<0, ∴

当 b=-2,a=1 时,b >a ,而 c<0, ∴

b2 a 2 < ,故选项 C 不恒成立.选 C. c c
ax ? b >0 的解 x?2

答案:C 2.(2012 湖南师大附中月考)若关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集为(1,+∞),则关于 x 的不等式 集为( )

(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞) (C)(1,2) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析:由 ax-b>0 的解集为(1,+∞)知 a>0 且 ∴a=b, 故

b =1, a

ax ? b >0?(ax+b)(x-2)>0?(x+1)(x-2)>0, x?2

∴x>2 或 x<-1.故选 B. 答案:B 3.(2012 安徽六安一中模拟)若“存在实数 x,使不等式(m+1)x -(m+1)x+1≤0 成立”是假命题,则实数 m 的取 值范围 .
2 2

解析:原命题等价于: 对任意 x∈R,不等式(m+1)x -(m+1)x+1>0 成立为真命题. 显然 m+1=0,即 m=-1 时成立, 当 m+1≠0 时, ? ∴-1≤m<3. 答案:[-1,3)

? m ? 1 ? 0, 解得-1<m<3. ? ? ? 0,

综合检测
1.(2013 黄冈质检)已知 x>y>z,且 x+y+z=0,下列不等式成立的是( (A)xy>yz (B)xz>yz (C)xy>xz (D)x|y|>z|y| 解析:由题意可得 x>0,故由 y>z,得 xy>xz. 答案:C 2.(2011 日照一模)函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式
2

)

ax ? b <0 的解集是( cx ? a

)

(A)(-

1 ,3) 2 1 )∪(3,+∞) 2 1 ,+∞) 2

(B)(-∞,

(C)(-∞,-3)∪( (D)(-3,

1 ) 2
2

解析:由题意可知 x=1,x=2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,且 a>0,∴-

b c =3, =2,即 b=-3a,c=2a,则不等式 a a

1 ax ? b x?3 <0 可化为 <0,解得- <x<3.故选 A. 2 cx ? a 2x ? 1
答案:A 3.(2012 长春模拟)已知 a>b,a解析:(a由 a>b 知

1 1 >b- 同时成立,则 ab 应满足的条件是 a b

.

1 1 (a ? b)(ab ? 1) )-(b- )= >0, a ab b ab ? 1 >0, ab

从而 ab(ab+1)>0, 所以 ab>0 或 ab<-1. 答案:ab>0 或 ab<-1 4.(2012 北京东城模拟)定义在 R 上的运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则实 数 y 的取值范围是 =x-x -y+y <1, ∴-y+y <x -x+1,要使该不等式对一切实数 x 恒成立,则需有-y+y <(x -x+1)min= 解得2 2 2 2 2 2

.

解析:∵(x-y)*(x+y)=(x-y)(1-x-y)

3 , 4

1 3 <y< . 2 2 1 3 , ) 2 2

答案:(-


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