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河南省六市2013—2014学年度高中毕业班第一次联考——数学理


河南省六市 2013—2014 学年度高中毕业班第一次联考



学(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分。共 60 分。在每小题绘出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集台 M={x| 2 >1},集合 N={x| log 2 x >1},则下列结论中成立 的是 A

.M∩N=M B.M∪N=N C.M∩(
x

C N)= ? D. (C M)∩N= ?
U U

2.设 z=1-i (i 是虚数单位) ,则

2 + z 等于 z

A.2-2i B.2+2i C.3-i D.3+i 3.m、n 为两条不重合的直线,α 、β 为两个不重合的平面,则下列命题中正确的是 ①若 m、n 都平行于平面α ,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面α ,则 m、n 一定是平行直线; ③已知α 、β 互相垂直,m、n 互相垂直,若 m⊥α ,则 n⊥β ; ④m、n 在平面α 内的射影互相垂直,则 m、n 互相垂直 A.② B.②③ C.①③ D.②④ 4.已知抛物线 C:y= 标准方程为 A.

1 2 x 则以抛物线的焦点 F 为一个焦点,且离心率为 2 的双曲线 E 的 8

x 2 y2 y 2 x2 1 - = 1 B. - = 2 2 2 2

C.

y 2 x2 - =1 1 1 2 2

D.

x2 y 2 - =1 1 1 2 2

5 .已知某随机变量 X 的概率密度函数为 P ( x )=

?0,x≤ 0 ,则隧机变量 X 落在区间 ? -x ?e ,x>0
(1,2)内的概率为

e+1 e2 e-1 2 C. e -e D. 2 e ??? ? ??? ? 6.在平面直角坐标平面上, OA =(1,4) , OB =
A. e + e
2

B.

1

(-3,1) ,且 OA 与 OB 在直线 l 的方向向量上的投影的长度相等,则直线 l 的斜率为 A.-

??? ?

??? ?

1 4

B.

2 5

C.

2 3 或- 5 4

D.

5 2

7.已知数列{ an },观察如图所示的程序框图,若输入 a1=1,d=2,k=7,则输出的结果为 A.

4 9

B.

5 11

C.

6 13

D.

7 15

8.已知 sinα -sinβ = A.

6 3 2 ?+? ,cosα -cosβ = ,则 cos 等于 2 3 3
B.

3 4

1 2

C.

1 16

D.

1 4

9.在二项式 ( x+

1 2 x
4

)n 的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,把展开式中所有的

项重新排成一列,则有理项都不相邻的概率为 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12

10. 从 1 开始的自然数按右图所示的规则排 列, 现有一个三角形框架在图中上下或 左右移动, 使每次恰有九个数在此三角 形内,则这九个数的和可以为 A.2097 B.1553 C.1517 D.2111

x2 y 2 1(0<m<9) 11.已知椭圆 + = ,左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆于 A、 9 m
B 两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为 10,则 m 的值为 A.3 B.2 C.1 D. 3

12.已知定义在(0,+∞)上的单调函数 f(x) ,对 ?x ∈(0,+∞) ,都有 f [f(x)- log3 x ]

1) -3 的零点所在区间是 =4,则函数 g(x)=f(x-1)- f ?( x-
A. (1,2) B. (2,3) C. (

1 ,1) 2

D. (0,

1 ) 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
2

13.设正项等比数列{ an }满足 a3=a4+2a5,其前 n 项和为 Sn ,则

S4 =_____________. a4

? m-nx+y≥0 ? 2 2 14.若点(1,1)在不等式组 ? 2mx-ny-4≤0 所表示的平面区域内,则 m +n 的取值范 ? nx≥3 y-3m ?
围是__________. 15.已知某个几何体的三视图如右下,根 据图中标出的尺寸,可得这个几何体 的外接球的表面积是___________. 16.已知定义在 R 上的函数 f(x)是 奇函数且满足 f(

3 -x)=f(x) , 2 Sn a =2× n +1 (其中 Sn 为{ an }的前 n 项和) , n n

f (-2) =5, 数列{ an }满足 a1=-1, 且

则 f(a6)+f(a7)=____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 的大小等于

? ,半径 3

为 3,在半径 OA 上有一动点 C,过点 C 作平行于 OB 的直 线交弧 ? AB 于点 P. (Ⅰ)若 OA =

uur

3 uur CA ,求线段 PC 的长; 2

(Ⅱ)设∠COP=θ ,求线段 CP 与线段 OC 的长度的和的最大值及此时θ 的值. 18. (本小题满分 12 分) AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆上,AB∥EF,矩形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面互相垂直,已知 AB=2,BC=EF=1. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 DAF; (Ⅱ) 求平面 ADF 与平面 CDFE 所成的二面角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 第 22 届索契冬奥会期间, 来自俄罗斯国际奥林匹克大学 的男、 女大学生共 9 名志愿者被随机地平均分配到速滑、 冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务,且速滑岗位至少有 一名女大学生志愿者的概率是

16 . 21
3

(Ⅰ)求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率; (Ⅱ)设随机变量 X 为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数,求 X 的分布列 及期望. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 N: ( x+2)2+y 2= 8 和抛物线 C:

y 2=2 x ,圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的
两点 A,B. (Ⅰ) 当直线 l 的斜率为-1 时, 求线段 AB 的长; (Ⅱ)设点 M 点 N 关于直线 y=x 对称,问是否 存在直线 l, 使得 MA ⊥ MB ?若存在, 求出直线 l 的方程; 若不存在, 请说明理由. 21. 已知函数 f(x)=(nx-n+2) ·e , (其中 n∈R,e 为自然对数的底数) ; (Ⅰ)求 f(x)在[0,1]上的最大值; (Ⅱ)若函数 g(x)= n x -13nx-30(n>1,n∈N﹡) ,当 x>0 时,若 2 f ?( x ) >g(x)
2 2 x

uuu r

uuu r

恒成立,求最大正整数 n. 22. 如右图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,直线 MN 切 ⊙O 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 BD 相交于点 E. (Ⅰ)求证:△ABE≌△ACD; (Ⅱ)若 AB=6,BC=4,求 AE. 23.已知曲线 C 的极坐标方程为ρ = 数方程为 ?

4 cos ? ,直线 l 的参 sin 2 ?

? x=tcos? (t 为参数,0≤α <π ) . ?y=1+t sin ?

(Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的 形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 24.设函数 f(x)=|2x-1|+|ax-3|,x∈R. (Ⅰ)若 a=1 时,解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 a=2 时,g(x)=

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f ( x)+m

4

5

6

7

8

9

10

11


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