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专题四三角函数与三角形


专题四 三角函数与三角形
一、三角函数图像及性质

?? ? 1.【2015 高考山东,理 3】要得到函数 y ? sin ? 4 x ? ? 的图象,只需要将函数 3? ?
y ? sin 4 x 的图象(

) (B)向右平移

(A)向左平移

?
12


个单位

?
12

个单位

(C)向左平移

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3

?? ? ? ?? ? ? ? 【答案】 B 因为 y ? sin ? 4 x ? ? ? sin 4 ? x ? ? , 所以要得到函数 y ? sin ? 4 x ? ? 3? 12 ? 3? ? ? ?
的图象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象向右平移 个单位.故选 B. 12 2. 【2015 高考新课标 1, 理 8】 函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示, 则 f ( x) 的单调递减区间为( )
1 3 (A) (k? ? , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4

?

3.【2015 高考四川,理 4】下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函 数是( )

( A) y ? cos(2 x ? ) 2
(C ) y ? sin 2 x ? cos 2 x

?

( B) y ? sin(2 x ? ) 2
( D) y ? sin x ? cos x

?

【答案】A 对于选项 A,因为 y ? ? sin 2 x, T ? 选 A.

2? ? ? ,且图象关于原点对称,故 2

4.【2015 高考陕西,理 3】如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似

? 满足函数 y ? 3sin( x ? ? ) ? k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最 6
大值为( A.5 D.10 【 答 案 】 C 由 图 象 知 : ymin ? 2 , 因 为 ymin ? ?3 ? k , 所 以 ) B.6 C .8

?3 ? k ? 2 , 解 得 : k ? 5 , 所 以 这 段 时 间 水 深 的 最 大 值 是
ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C.
5.【2015 高考安徽,理 10】已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正 的常数)的最小正周期为 ? ,当 x ? 正确的是( ) (B) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? ?2 ? (D) f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? ?2 ?
2? 时,函数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论 3

(A) f ? 2 ? ? f ? ?2 ? ? f ? 0 ? (C) f ? ?2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 2 ? 【答案】A

6.【2015 高考湖南,理 9】将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? 位后得到函数 g ( x) 的图像,若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有
x1 ? x2 min ?

?
2

) 个单

?
3

,则 ? ? ( B.

) C.

A.

5? 12

?
3

?
4

D.

?
6

【答案】 D.向右平移 ? 个单位后, 得到 g ( x) ? sin(2 x ? 2? ) , 又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 , ∴不妨
2 x1 ?

?
2

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?

?
2

? 2m? , ∴ x1 ? x2 ?

?
2

? ? ? (k ? m)? , 又 ∵

x1 ? x2 min ?

?
3





?
2

?? ?

?
3

?? ?

?
6

,故选 D.

7.【2015 高考上海,理 13】已知函数 f ? x ? ? sin x .若存在 x1 , x2 , ??? , xm 满足

0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? ,且
,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 ( m ? 2 , m ? ? ? )

m 的最小值
为 .

【答案】8 因为 f ? x ? ? sin x ,所以 f ? xm ? ? f ? xn ? ? f ( x) max ? f ( x) min ? 2 ,因此要 使 得 满 足 条 件 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 的 m 最 小,须取
3? 5? 7? 9? 11? , x4 ? , x5 ? , x6 ? , x7 ? , x8 ? 6? , 即 m ? 8. 2 2 2 2 2 2 x π 8.【2015 高考湖北,理 12】函数 f ( x) ? 4 cos 2 cos( ? x) ? 2sin x ? | ln( x ? 1) | 的零点 2 2 x1 ? 0, x2 ? , x3 ?

?

个数为


x 2 π 2

【答案】2 因为 f ( x) ? 4 cos 2 cos( ? x) ? 2sin x ? | ln( x ? 1) |
? 2(1 ? cos x) sin x ? 2 sin x ? | ln( x ? 1) | ? sin 2 x ? | ln( x ? 1) |

所以函数 f ( x) 的零点个数为函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln( x ? 1) | 图象的交点的个数, 函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln( x ? 1) | 图象如图,由图知,两函数图象有 2 个交点, 所以函数 f ( x) 有 2 个零点. 9. 【2015 高考浙江, 理 11】 函数 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是 单调递减区间是 【 答 案 . 】 ,

?



[

3? 7? ? k? , ? k? ] 8 8



k ? Z . f ( x) ?

1 ? cos 2 x sin 2 x 2 ? 3 ? ?1 ? sin(2 x ? ) ? ,故最小正周期为 ? , 2 2 2 4 2
3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8

单调递减区间为 [

10.【2015 高考福建,理 19】已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经 如下变换得到:先将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 变) ,再将所得到的图像向右平移
p 个单位长度. 2

(Ⅰ)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b . (1)求实数 m 的取值范围;

2m 2 (2)证明: cos(a - b ) = - 1. 5
p 【答案】(Ⅰ) f( x) = 2sin x , x = kp + (k ? Z). ;(Ⅱ)(1) (- 5, 5) ; (2)详见 2

解析. 解法一:(1)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 不变)得到 y = 2 cos x 的图像,再将 y = 2 cos x 的图像向右平移 到 y = 2 cos( x p 个单位长度后得 2

p 故 f( x) = 2sin x , 从而函数 f( x) = 2sin x 图像的对称轴方 ) 的图像, 2

p 程为 x = kp + (k ? Z). 2

(2)1) f( x) + g( x) = 2sin x + cos x = 5(

2 1 sin x + cos x) 5 5 1 2 ) , cos j = 5 5

= 5 sin( x +j ) (其中 sin j =

依题意, sin( x +j )=

m m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b 当且仅当 | |< 1 , 5 5

故 m 的取值范围是 (- 5, 5) . 2)因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5

p 当 1 ? m< 5 时, a +b =2( - j ), a - b = p - 2( b +j ); 2 3p 当 - 5<m<1 时, a +b =2( - j ), a - b = 3p - 2( b +j ); 2

所以 cos(a - b ) = - cos 2( b +j ) = 2sin 2 ( b +j ) - 1 = 2( 解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一.

m 2 2m 2 ) - 1= - 1. 5 5

2) 因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 [0, 2p ) 内有两个不同的解, 所以 sin(a +j )=

m m , sin( b +j )= . 5 5

p 当 1 ? m< 5 时, a +b =2( - j ), 即a +j = p - ( b +j ); 2 3p 当 - 5<m<1 时, a +b =2( - j ), 即a +j = 3p - ( b +j ); 2

所以 cos(a +j ) = - cos( b +j ) 于 是

c ( oa -s
2

b = )

c a +o j s -[ ( b + j ) = (

a +) j]

c o + b s j(+

)+ ac o j s (+ b

m 2 m 2 2m 2 = - cos ( b +j ) + sin(a +j ) sin( b +j ) = - [1 - ( ) ] + ( ) = - 1. 5 5 5
11. 【 2015 高 考 湖 北 , 理 17 】 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数

π f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象 2

时,列表并填入了部分数据,如下表:
?x ? ?
x

0

π 2

π

3π 2



π 3

5π 6
?5

A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 ...........
f ( x) 的解

析式; (Ⅱ) 将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度, 得到 y ? g ( x) 的图 象. 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 ( 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ) . 【解析】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表:
?x ? ?
x

5π , 0) ,求 ? 的最小值. 12

π 6

π 6

π 6

0
π 12

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



7π 12

13 π 12

A sin(? x ? ? )

0
π 6

5

0

0

且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) . 因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z . 令 2 x ? 2? ? ? kπ ,解得 x ?
π 6 kπ π ? ?? , k ?Z . 2 12 5π kπ π 5π , , 0) 成中心对称,令 ? ? ? ? 12 2 12 12 π 6 π 6

由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 解得 ? ?

kπ π π ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 . 2 3 6

【名师点睛】 “五点法”描图:

? (1) y ? sin x 的图象在 [0,2π] 上的五个关键点的坐标为: (0,0) , ( ,1) , (π , 0) , 2
( 3? ,?1) ,(2π,0). 2

? (2) y ? cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:(0,1), ( ,0) ,(π,-1), 2 3? ( ,0) ,(2π,1). 2
12.【2015 高考北京,理 15】已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值. 【答案】 (1) 2? , (2) ?1 ? 【解析】 (Ⅰ)
x 2 x 2 x 2

2 2

f(x ) ?

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 4 2
2? ? 2? ; 1

(1) f (x )的最小正周期为T ?

(2)? ?? ? x ? 0,? ?

3? ? ? ? ? 3? ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,x ? ? 时, 4 4 4 4 2 4

f(x )取得最小值为: ?1 ?

2 2

13. 【 2015 高 考 天 津 , 理 15 】( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数

?? ? f ? x ? ? sin 2 x ? sin 2 ? x ? ? , x ? R 6? ?
(I)求 f ( x) 最小正周期; (II)求 f ( x) 在区间 [p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4

【答案】(I) ? ; (II) f ( x ) max ? 【解析】(I) 由已知,有

3 1 , f ( x ) min ? ? . 4 2

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 1 ? cos 2 x 3 3? 1?1 ? f ( x) ? ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x 2 2 2?2 2 ? 2
? 3 1 1 ? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? . 4 4 2 ? 6?
2? ?? . 2

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)因为 f ( x ) 在区间 [ -

p p p p , - ] 上是减函数,在区间 [ - , ] 上是增函数, 3 6 6 4

p p ? 1 ? 1 ? 3 ,所以 f ( x) 在区间 [- , ] 上的最大值为 f (? ) ? ? , f (? ) ? ? , f ( ) ? 3 4 6 2 4 4 3 4

3 1 ,最小值为 ? . 4 2 ?? ? 14.【2015 高考重庆,理 18】 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? sin x ? 3 cos 2 x ?2 ?

(1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值;
? ? 2? ? (2)讨论 f ? x ? 在 ? , ? 上的单调性. ?6 3 ?

【答案】 (1)最小正周期为 p ,最大值为 增; f ( x) 在 [
5? 2? , ] 上单调递减. 12 3

22

3

? 5? ; (2) f ( x) 在 [ , ] 上单调递 6 12

5? 2? 时, f ( x) 单调递减, ?x? 2 3 12 3 ? 5? 5? 2? 综上可知, f ( x) 在 [ , ] 上单调递增; f ( x) 在 [ , ] 上单调递减. 6 12 12 3



?

? 2x ?

?

? ? 时,即

二、三角化简求值 1.【2015 高考新课标 1,理 2】 sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( (A) ?
3 2

)
1 2

(B)

3 2

(C ) ?

1 2

(D)

1 【答案】D 原式= sin 20o cos10o ? cos 20o sin10o = sin 30o = ,故选 D. 2

3? ) 10 ? ( 2.【2015 高考重庆,理 9】若 tan ? ? 2 tan ,则 ? 5 sin(? ? ) 5

?

cos(? ?



A、1 4 【答案】C 由已知,

B、2

C、3

D、

cos(? ?

3? ) 10 ? ? sin(? ? ) 5

cos ? cos

3? 3? ? sin ? sin 10 10

sin ? cos

?

5

? cos ? sin

?

?

cos

3? 3? ? tan ? sin 10 10

5

tan ? cos

?

5

? sin

?

5

?

cos

3? ? 3? ? 2 tan sin 10 5 10

2 tan cos

?

5

cos

?

5

? sin

?

5


?
5

?

cos

3? ? 3? ? 2sin sin 10 5 10

sin

?

5

cos

?

5

1 5? ? ? 5? ? (cos ? cos ) ? (cos ? cos ) 3cos 2 10 10 10 10 ? 10 ? 3 ,选 C. 1 2? ? sin cos 2 5 10
3.【2015 江苏高考,8】已知 tan ? ? ?2 ,tan ?? ? ? ? ?
1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

1 ?2 tan(? ? ? ) ? tan ? ?7 ? 3. 【答案】3 tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 2 7

4.【2015 高考四川,理 12】 sin 15? ? sin 75? ? 【答案】

.

6 6 . 法一、 sin15? ? sin 75? ? sin15? ? cos15? ? 2 sin(15? ? 45? ) ? . 2 2

法二、 sin15? ? sin 75? ? sin(45? ? 30? ) ? sin(45? ? 30? ) ? 2sin 45? cos 30? ?

6 . 2

法三、 sin15? ? sin 75? ?

6? 2 6? 2 6 ? ? 4 4 2

解三角形 5.【2015 高考天津,理 13】在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
1 已知 ?ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 a 的值为 4

.

【答案】 8

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

15 , 4

又 S?ABC ?

?b ? c ? 2 1 15 得 b ? 6, c ? 4 , bc sin A ? bc ? 3 15,? bc ? 24 ,解方程组 ? 2 8 ?bc ? 24

? 1? 由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 62 ? 4 2 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? ? ? ? 64 ,所以 a ? 8 . ? 4?

6.【2015 高考广东,理 11】设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,
1 π , C ? ,则 b ? . 2 6 1 ? 5? ? 【答案】 1 .因为 sin B ? 且 B ? ? 0, ? ? ,所以 B ? 或 B ? ,又 C ? ,所以 2 6 6 6 ? 2? a b ,又 a ? 3 ,由正弦定理得 即 B ? , A ?? ? B ?C ? ? 6 3 sin A sin B

若 a ? 3 , sin B ?

3 b 解得 b ? 1 ,故应填入 1 . ? 2? ? sin sin 3 6

7.【2015 高考北京,理 12】在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 . 【答案】1

sin 2 A ? sin C

2 ? 4 25 ? 36 ? 16 sin 2A 2 sin A cos A 2a b 2 ? c 2 ? a 2 ? ? ? 1 ? ? ? 6 2?5?6 sin C sin C c 2bc
8.【2015 高考福建,理 12】若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 , 则 BC 等于________. 【 答 案 】

7

由 已 知 得

?ABC

的 面 积 为

3 1 ? , A ? (0, ) ,所以 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 ,所以 sin A ? 2 2 2
3 9.【2015 高考新课标 1,理 16】在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠ A?

?

. 由余弦定理得 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 ,BC ? 7 .

C=75° , BC=2 , 则 AB 的 取 值 范 围 是 【答案】 ( 6 ? 2 , 6+ 2 )

.

10.【2015 高考湖北,理 13】如图,一辆汽车在一条 水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一 山顶 D 在西偏北 30? 的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75? 的方向上,仰角为 30? ,则此 山的高度 CD ? 【答案】 100 6 m.

11. 【2015 高考重庆, 理 13】 在 ? ABC 中, B= 120o , AB= 2 , A 的角平分线 AD= 3 , 则 AC=_______. 【答案】 6 由正弦定理得
2 2 2 3 AB AD ,即 ,解得 ? ? sin ?ADB sin120? sin ?ADB sin B

sin ?ADB ?

, ?ADB ? 45? , 从 而 ?BAD ? 15? ? ?DAC , 所 以

C ? 180? ? 120? ? 30? ? 30? , AC ? 2 AB cos 30? ? 6 .

12.【2015 高考新课标 2,理 17】 (本题满分 12 分)

?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC ,?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍.
(Ⅰ) 求
sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? 【答案】(Ⅰ)

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

1 ;(Ⅱ) 1 . 2 1 1 【 解 析 】 ( Ⅰ ) S ?ABD ? AB ? AD sin ?BAD , S ?ADC ? AC ? AD sin ?CAD , 因 为 2 2

S ?ABD ? 2S ?ADC , ?BAD ? ?CAD , 所 以 AB ? 2 AC . 由 正 弦 定 理 可 得
sin ?B AC 1 ? ? . sin ?C AB 2

(Ⅱ)因为 S ?ABD : S ?ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 2 .在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦 定理得
AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC . AB 2 ? 2 AC 2 ? 3 AD 2 ? BD 2 ? 2 DC 2 ? 6 .由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .



13. 【 2015 江 苏 高 考 , 15 】 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , 已 知

AB ? 2, AC ? 3, A ? 60? .
(1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值. 【答案】 (1) 7 ; (2)
4 3 7

14.【2015 高考浙江,理 16】在 ?ABC 中,内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,

c ,已知 A ?

?
4

, b2 ? a 2 =

1 2 c . 2

(1)求 tan C 的值; (2)若 ?ABC 的面积为 7,求 b 的值. 【答案】 (1) 2 ; (2) b ? 3 . 三、三角函数与向量 1、 【2015 高考上海,理 14】在锐角三角形 ??C 中, tan ? ?
1 , D 为边 ?C 上的 2

点,???D 与 ??CD 的面积分别为 2 和 4 . 过 D 作 D? ? ?? 于 ? ,DF ? ?C 于 F , ??? ? ??? ? 则 D? ? DF ? . 【答案】 ?
16 15

?? ? 2 2? , ? 2、 【2015 高考广东, 理 16】 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知向量 m ? ? ? ? 2 ?, 2 ? ?

? ? ?? n ? ? sin x,cos x ? , x ? ? 0, ? . ? 2?

?? ? (1)若 m ? n ,求 tan x 的值;

?? ? ? (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 5? 【答案】 (1) 1 ; (2) x ? . 12
?? ? 2 ?? ? 2? ? , ? n ? sin x ,cos x 【解析】 (1)∵ m ? ? , 且 m ? n, ? ? ? ? 2 2 ? ? ?



?? ? ? 2 2? 2 2 ?? ? m?n ? ? , ? ? sin x ,cos x ? sin x ? cos x ? sin x ? ? ? ? ? ??0 ? 2 2 ? 2 2 4? ? ? ?

, 又

? ?? x ? ? 0, ? , ? 2?

∴ x?

?

? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? ,∴ x ? ? 0 即 x ? ,∴ tan x ? tan ? 1 ; 4 ? 4 4? 4 4 4

?? ? ?? ? sin ? x ? ? ? m?n ?? 4? ? ? (2) 由 (1) 依题知 cos ? ?? ? ? ? sin ? x ? ? , 2 2 3 m?n 4? ? ? 2? ? 2? 2 2 ? ? ?? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? ? 2 ?

?? 1 ? ? ? ?? ? ∴ sin ? x ? ? ? 又 x ? ? ? ? , ? , 4? 2 4 ? 4 4? ?
∴ x?

?
4

?

?
6

即x?

5? . 12

又∵ A ?

?

1 , bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 . 4 2

?? ? 3.【2015 高考山东,理 16】设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos 2 ? x ? ? . 4? ?
(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间;
? A? (Ⅱ) 在锐角 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? ? ? 0, a ? 1 ,求 ?ABC ?2?

面积的最大值.

? ? ? ? 【答案】 (I)单调递增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 4 ? ?
3? ?? ? 单调递减区间是 ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ?

(II)?ABC 面积的最大值为

2? 3 4

【解析】

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? sin 2 x 2? ? (I)由题意知 f ? x ? ? ? 2 2
? sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 ? ? sin 2 x ? 2 2 2

由? 由

?

?
2

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 4 4

2

? 2k? , k ? Z 可得 ?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z

? ? ? ? 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 ? 4 ?
3? ?? ? 单调递减区间是 ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ?

4. 【 2015 高 考 安 徽 , 理 16 】 在 ?ABC 中 ,
A? 3? , AB ? 6, AC ? 3 2 , 点 D 在 BC 边 上 , 4

AD ? BD ,求 AD 的长.

【答案】 10 【解析】如图, 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ?BAC ? (3 2)2 ? 62 ? 2 ? 3 2 ? 6 ? cos

3? ? 18 ? 36 ? (? 36) ? 90 4

, 所以 a ? 3 10 . 又由正弦定理得 sin B ?

b sin ?BAC 3 10 . ? ? a 10 3 10

由题设知 0 ? B ?

?
4

,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ? 1 ?

1 3 10 ? . 10 10

在 ?ABD 中,由正弦定理得 AD ?

AB ? sin B 6sin B 3 ? ? ? 10 sin(? ? 2 B) 2sin B cos B cos B

5. 【2015 高考陕西,理 17】 (本小题满分 12 分) ???C 的内角 ? , ? , C 所对

? ? 的边分别为 a , b , c .向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ? ? 平行.
(I)求 ? ; (II)若 a ? 7 , b ? 2 求 ???C 的面积. 【答案】 (I) 【解析】

?

?

?
3

; (II)

3 3 . 2

? ? (I)因为 m //n ,所以 a sin B - 3b cos A = 0 ,
由正弦定理,得 sinA sinB- 3 sinBcos A = 0 又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

从而 sin B =

21 , 7 2 7 . 7

又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B =

?? ? ? 3 21 ? 故 sinC ? sin ? A ? B ? ? sin ? ? ? ? ? sin B cos ? cos B sin ? 3? 3 3 14 ?
1 3 3 所以 ???C 的面积为 bc sinA = . 2 2

6.【2015 高考湖南,理 17】设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,

a ? b tan A ,且 B 为钝角.
(1)证明: B ? A ?

?
2



(2)求 sin A ? sin C 的取值范围. 【答案】 (1)详见解析; (2) (
2 9 , ]. 2 8

? ? ? ? ? ? (2 A ? ) ? ? 2 A ? 0 ,∴ A ? (0, ) ,于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? 2 A)
1 9 ? , ∵ 0? A? , ∴ ? sin A ? cos 2 A ? ?2sin 2 A ? sin A ? 1 ? ?2(sin A ? ) 2 ? 4 8 4 2 2 4 2

0 ? sin A ?

2 2 1 9 9 ,因此 ? ?2(sin A ? ) 2 ? ? ,由此可知 sin A ? sin C 的取值范 2 2 4 8 8

围是 (

2 9 , ]. 2 8

三角等式证明 四、三角等式证明 1.【2015 高考四川,理 19】 如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内 角. (1)证明: tan ( 2 ) 若

A 1 ? cos A ? ; 2 sin A

D

A ? C ? 180o , AB ? 6, BC ? 3, CD ? 4, AD ? 5, 求

C

tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 的值. 2 2 2 2
A B

【答案】 (1)详见解析; (2)

4 10 . 3

A A 2sin 2 A 2 ? 2 ? 1 ? cos A . 【解析】 (1) tan ? A A A 2 cos sin A 2sin cos 2 2 2 sin

(2)由 A ? C ? 180? ,得 C ? 180? ? A, D ? 180? ? B . 由(1) ,有 tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?

1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos(180? ? A ) 1? cos(180? ? B ) ? ? ? sin A sin B sin(180? ? A ) sin(180? ? B )

?
连结 BD,

2 2 ? sin A sin B

在 ?ABD 中,有 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos A , 在 ?BCD 中,有 BD 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2 BC ? CD cos C , 所以 AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos A ? BC 2 ? CD 2 ? 2 BC ? CD cos A ,

AB 2 ? AD 2 ? BC 2 ? CD 2 62 ? 52 ? 32 ? 42 3 ? ? , 则 cos A ? 2( AB ? AD ? BC ? CD ) 2(6 ? 5 ? 3 ? 4) 7
3 2 10 于是 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ( ) 2 ? . 7 7
连结 AC,同理可得

cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AD 2 ? CD 2 62 ? 32 ? 52 ? 42 1 ? ? , 2( AB ? BC ? AD ? CD ) 2(6 ? 3 ? 5 ? 4) 19

于是 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ( 所以 tan

1 2 6 10 ) ? . 19 19

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

?
?
?

2 2 ? sin A sin B
14 2 ?19 ? 2 10 2 10
4 10 . 3


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