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利用向量求点到平面的距离


欢 迎 指 导
!

? n
?
? a
? b

? n ? ( x, y , z )

郑州市十二中高二备课组 2006. 3. 12

利用法向量求 点到平面的距离
一、复习引入 三、归纳小结 二、探索新知 四、巩固迁移

五、反馈总结

六、反思作业

一、复习引入
问题1


r r a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) r r r r (a 构0, b 0).



r r a^ b

r r a ?b

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.

问题2
若A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2) , 则 (1) AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) (2) 若M(x,y,z)是线段AB的中点,则 z1 + z 2 x1 + x 2 y1 + y 2 x= ,y= ,z = 2 2 2

问题3

平面的法向量
如果n??,那么向量n叫 做平面?的法向量. ?
? a

? n
? b

? ? ? 如果 n 是平面?的法向量, a // ? , b // ? ,
那么

? ? ? ? n ? a ? 0, n ? b ? 0 .

问题4 r r r r ①设 a 构0, b 0 则 , r r r r r r a ?b a ? b cos a, b >

r r a× b r r r r . cos < a, b > = a ×b
A

②向量a在轴l上或在e方 向(e是l上同方向的单位 向量)上的投影: ? ? ? ? ? OB ? a cos ? a , e ?? a ? e . ? ? ? ? ? AO ? a cos ? a , e ?? a ? e .

a
O

e

B l A

a
B

e
l
O

二、探索新知
? 已知平面? ,点A ?? , 设 n 是平面 ? 的
法向量,则点 A到 ? 的距离AO的长如 何表示呢 ?

??? ? AB
?
B

A? ??

n0

? n

o

例 如图,已知正方形ABCD的边 长为4,E、F分别是AB、AD的中点, GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到 平面EFG的距离.
解:
D F A

G

C
B

E

三、归纳小结
用法向量求点到平面距离的一般过程是:
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点 的坐标; ? (2)求出平面的法向量 n ; ??? ? (3)作向量 AB (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点); ?

??? ? (4)求向量 AB 在法向量 n 上的射影的长度 ??? ? ? ??? ? ??? ? ? | AB ? n | ? d ?| AB ||? cos ? AB, n ?|? |n| ??? n ? ??? ?? ? ?
( 其中 n0是与 n 同方向的单位法向量)

?| AB ? ? |?| AB ? n0 | . ?? | n | ? ?

说明:

利用法向量求点到平面的距离, 常常不必作出垂线段,利用平面的 法向量,把点A到平面 的距离 看成 点A与平面 内的任意一点B所构成的 向量 在法向量 方向上的射影的长度, 此种方法具有程序化,不需 技巧,可以人人学会。

四、巩固迁移
变式题 :已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为1,求点A 到平面A1C1D的距离.
z D1 A1 B1 C1

D
A x B

C

y

迁移题 如图,已知 ABC是等腰三角 形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,且 SA⊥平面ABC, SA= 3a, 求点A 到平面 z SBC的距离. S

A x B

C y

五、反馈总结
(1)建立空间直角坐标系是关键,求点的 坐标要准确; (2)在求法向量的过程中,解方程组之后, 不能令x或y或z 为0; ??? ? ? (3)点到平面的距离公式 d ? | AB ? n | 中, ?
|n|

点A为平面 ?外一定点,点B为平面 ? 内任一 ? 点, n 为平面? 的法向量. ? ??? n ? ??? ?? ? ? (4)公式实质为 d ?| AB ? ? |?| AB ? n0 | . |n|

六、反思与作业
反思: 通过本节课谈谈自己的收获 是什么?
作业: 在棱长为2的
正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F分别是棱 A1D1 , A1B1 的中点. 试用向量方法
D E A1 D1 F B1 C1

求点 B1 到平面EFBD的距离.

C

A

欢迎指导 谢谢!
作业: 在棱长为2的
正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
E、F分别是棱 A1D1 , A1B1 的中点. 试用向量方法
D
E D1 F B1 C1

A1

求点 B1 到平面EFBD的距离.

C
B

A

欢迎指导

谢谢!

??? ? ? ??? ???? ? 由 | cos ? AB, n ?|?| cos ? AB, AO ?| A 在直角三角形AOB中,得 ???? AO ??? ? ? ? | cos ? AB, n ?|? ??? o | AB | B ???? ??? ? ??? ? ? ? AO ?| AB || cos ? AB, n ?| ??? ? ? ??? ? ? ??? | AB ? n | | AB ? n | ? ? ? . ?| AB | ? ??? ? ? | AB || n | |n| ??? ? ?

? n

| AB ? n | ? . 即点 A到平面 ? 的距离为 d ? |n|

??? ? ? ??? ? ? ??? | AB ? n | | AB ? n | ? ? ? . ?| AB | ? ??? ? ? | AB || n | |n|

??? ? ??? ? ? d ?| AB || cos ? AB, n ?|

??? ?? ? ? ?| AB ? n0 | .
?? ? 其中, n0 是平面? 的 单位法向量

??? ? AB
?
B

?? ? n0
o

A

? n

(点B是平面 ?内任一点)在平面 ? 的法向量 n 的方向上的射影的长度:

uur u 重点理解:点A到平面? 的距离 可以看成 AB ?

??? ?? ? ? d ? | AB ? n0 | .
?? ? 其中, n0 是平面? 的 单位法向量

??? ? AB
B'

?? ? n0
o

A

? n

?

B

???? 2 ???? ???? ???? ??? ??? ? ? 1 AO ? AO ? AO ? AO ? | AB ? BO |

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ???? ? ? AO ? AB ? AO AB cos ? AB , AO ?| ???? 2 ???? ??? ? ??? ???? ? ? AO ? AO AB cos ? AB, AO ?|, A ???? ??? ? ??? ???? ? ? AO ? AB cos ? AB, AO ?| ???? ??? ? ??? ? ? ? AO ?| AB || cos ? AB, n ?| o B ??? ? ? ??? ? ? ??? | AB ? n | | AB ? n | ? ? ? . ?| AB | ? ??? ? ? | AB || n | |n|

???? ??? ??? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ?| AO ? ( AB ? BO) |?| AO ? AB ? AO ? BO) |

? n

uuuu uur r u A ' B ' = AB cos q
uuuu r uur u uur u d = A ' B ' = AB cos q = cos q AB uur r u uur r u AB × n cos q AB n = = r r n n A'

? ??? n ? ??? ?? ? ? ?| AB ? ? |?| AB ? n0 | . |n|

A

d B

n

B'

? ??? ? 即向量 AB 在法向量 n 上的射影的长度

例 如图,已知正方形ABCD的边长 为4,E、F分别是AB、AD的中点, GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到 平面EFG的距离.
解:
D F A

G

C
B

E

三、归纳小结
用法向量求点到平面距离的一般过程是:
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点 的坐标; ? (2)求出平面的法向量 n ; ??? ? (3)作向量 AB (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点); ?

??? ? (4)求向量 AB 在法向量 n 上的射影的长度 ??? ? ? ??? ? ??? ? ? | AB ? n | ? d ?| AB ||? cos ? AB, n ?|? |n| ??? n ? ??? ?? ? ?

?| AB ? ? |?| AB ? n0 | . |n| ?? ? ?

( 其中 n0是与 n 同方向的单位法向量)

说明:

利用法向量求点到平面的距离, 常常不必作出垂线段,利用平面的 法向量,把点A到平面 的距离 看成 点A与平面 内的任意一点B所构成的 向量 在法向量 方向上的射影的长度, 此种方法具有程序化,不需 技巧,可以人人学会。

四、巩固迁移
变式题 :已知正方体ABCD-A1B1C1D1的 棱长为1,求点A 到平面A1C1D的距离.
z D1 A1 B1 C1

D
A x B

C

y

延伸迁移 如图,已知 ABC是等腰三 角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,且 SA⊥平面ABC, SA= 3a, 求点A 到平面 z SBC的距离. S

A x B

C y

五、反馈总结
(1)建立空间直角坐标系是关键,求点的 坐标要准确; (2)在求法向量的过程中,解方程组之后, 不能令x或y或z 为0; ??? ? ? (3)点到平面的距离公式 d ? | AB ? n | 中, ?
|n|

点A为平面 ?外一定点,点B为平面 ? 内任一 ? 点, n 为平面? 的法向量. ? ??? n ? ??? ?? ? ? (4)公式还可化为 d ?| AB ? ? |?| AB ? n0 | . |n|

谢谢指导! 反思: 通过本节课谈 谈自己的收获是什么? 再见.
作业: 在棱长为2的
正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F分别是棱 A1D1 , A1B1 的中点. 试用向量方法
D E A1 D1 F B1 C1

六、反思与作业

求点 B1 到平面EFBD的距离.

C

A

解: 如图建立空间坐标系,则 F(2, 0, 0),E(4, 2, 0) uuu r uur G(0,4,2), GE = (4, 2, 2) , EB = (0, 0 - 2, )

设平面的法向量为 n ? ( x,y,z),则
uuu r r uuu r r GF ?n 0, ?n 0 GE ì 2 x - 4 y - 2 z = 0, ? ∴ ? í ? 4 x - 2 y - 2 z = 0, ? ?
z D F x E B

G

∴x=-y,z=-3y.

C y

n ? 3) 令y=-1, ? (1, 1, A
uur r | BE ×n | 2 11 r = . ∴ d= 11 |n|
uur 2, ) ∵ EB = (0, 0

返回

解:如图建立空间直角坐标系,则G(0,O,2), z F(4,2,O),E(2,4,0),B(0,4,O). G EF =(2,-2,0), GE =(2,4,-2), r 设面GEF的法向量为 n = ( x,y,z) GE × n = 0 , EF × n =0 , x D ∴ 2x-2y=0,2x+4y-2z=0, F
C

∴x=y,z=3y. 令y=1,则

n =(1,1,3).
BE =(2,0,0).

A

E

B

uur r | BE ×n | 2 11 = . r ∴点B到面GEF的距离为 d = 11 |n|

y

返 回

例:棱长为4的正方体ABCD ? A' B' C ' D'中,P, Q分别是CD, DD'的中点,求点P到平面 A' QC '的距离 简解: A' (4,0,4), Q (0,0,2) C ' (0,4,4), P (0,2,0)
A'

z
D' C'

B'

Q

D

P C

y

A

B

x

A' Q ? (?4,0,?2) A' C ' ? (?4,4,0) n' ? (8,8,?16)
取n ? (1,1,?2)

PQ ? (0,?2,2) 距离 ? | PQ ? n | |n| 6 ? ? 6 6
法向量的应用:点到面的距离

uuuu uur r u A ' B ' = AB cos q
uuuu r uur u uur u d = A ' B ' = AB cos q = cos q AB uur r u uur r u AB × n cos q AB n = = r r n n A'

? ??? n ? ??? ?? ? ? ?| AB ? ? |?| AB ? n0 | . |n|

A

d B

n

B'

? ??? ? 即向量 AB 在法向量 n 上的射影的长度

教师引导,学生总结: ? 法一:设 n 是平面? 的法向量,在 ? 内取一点B,? ??? ? ? ? ? ? 的距离 d ?| ??? || cos ? ??? , n ?|? | AB?? n | 则点 A到 : 说明 AB AB
? 用向量法求点到平面的距离,常常 n 不必作出垂线段,利用平面的法向量, B 把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内 法二:设 AO ? ? 于O,利用 AO ? ? 和点O在 ?内 的任意一点B所构成的向量 在法向量 方 的向量表示,可确定点O的位置,进而求 向上的射影的长度,此种方法具有程序 ???? 出 | AO | . 化,不需技巧,可以人人学会。
A B

A

|n|

r n
O

?

??? ? ? ??? ???? ? 由 | cos ? AB, n ?|?| cos ? AB, AO ?| A 在直角三角形AOB中,得 ???? AO ??? ? ? ? | cos ? AB, n ?|? ??? o | AB | B ???? ??? ? ??? ? ? ? AO ?| AB || cos ? AB, n ?| ??? ? ? ??? ? ? ??? | AB ? n | | AB ? n | ? ? ? . ?| AB | ? ??? ? ? | AB || n | |n| ??? ? ?

点到平面的距离

? n

| AB ? n | ? . 即点 A到平面 ? 的距离为 d ? |n|

点到平面的距离

???? AO ??? ? ? ? | cos ? AB, n ?|? ??? | AB | ???? ??? ? ??? ? ? 得 AO ?| AB || cos ? AB, n ?|

向量,过A作AO⊥ ?于点O,则 AO // n ,在 ? 内取 一点B, 则点 A到 ? 的距离AO的长如何表示呢? 在直角三角形AOB中,由
A

? 已知平面? ,点A ?? , 设 n 是平面 ? 的法 ???? ?

? n

??? ? ? ??? ? ? ??? | AB ? n | | AB ? n | ? ? ? . ?| AB | ? ??? ? ? | AB || n | |n|

B

o

???? 2 ???? ???? ???? ??? ??? ? ? AO ? AO ? AO ? AO ? | AB ? BO |

点到平面的距离

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ???? ? ? AO ? AB ? AO AB cos ? AB , AO ?| ???? 2 ???? ??? ? ??? ???? ? A ? AO ? AO AB cos ? AB, AO ?|, ???? ??? ? ??? ???? ? ? AO ? AB cos ? AB, AO ?| ???? ??? ? ??? ? ? o ? AO ?| AB || cos ? AB, n ?| B ??? ? ? ??? ? ? ??? | AB ? n | | AB ? n | ? ? ? . ?| AB | ? ??? ? ? | AB || n | |n|

???? ??? ??? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ?| AO ? ( AB ? BO) |?| AO ? AB ? AO ? BO) |

? n

点到平面的距离

向量,过A作AO⊥ ?于点O,则 AO // n ,在 ? 内取 一点B,?则点 A到 ? 的距离AO的长如何表示呢? ??? ???? ??? ? ? AB ? AO ? OB, ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? AB ? n ? ( AO ? OB) ? n ? AO ? n??? OB ? n ? AO ? n, ? ? ??? ? ???? ? ? A ???? | AB ? n | AB ? n ?| AO | ? | n |, ? | AO |? ? . ? |n| n 即点 A到平面 ? 的距离为

? 已知平面? ,点A ?? , 设 n 是平面 ? 的法 ???? ?

? 其中,点B为平面? 内任一点, n 为平面? 的法向量.

??? ? ? | AB ? n | ? . d? |n|

B

o

(点B是平面 ?内任一点)在平面 ? 的法向量 n 的方向上的射影的长度:

uur u 重点理解:点A到平面? 的距离 可以看成 AB ?

??? ?? ? ? ?| AB ? n0 | .

??? ? ? ??? ? ? ??? | AB ? n | | AB ? n | ? ? ? . ?| AB | ? ??? ? ? ??? ? | AB || n | |n|
?? ? 其中, n0 是平面? 的 ? 单位法向量
B

??? ? ??? ? ? d ?| AB || cos ? AB, n ?|

AB

?? ? n0
o

A

? n

五、归纳总结
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问 题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算 问题 运用平面的法向量求立体几何中的距离问题时, 首先要建立适当的坐标系,进而将向量坐标化,求出平 面的法向量,再代入公式求解。需要注意的是:

(1)在求法向量的过程中,解方程组之后,不能令x 或y或z 为0; (2)建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确; (3)对点到平面距离公式的推导过程要认真领会, ??? ? ? | AB ? n | 掌握公式: d ? , 并会应用. ? |n|


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