当前位置:首页 >> 数学 >>

空间几何量的计算.板块六.证明与计算(角度).学生版


板块六.证明与计算(角度)

典例分析
【例1】 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AD ∥ BC , ?BCD ? 90 ,
?

PA ? PB , PC ? PD .
⑴证明: CD 与平面 PAD 不垂直; ⑵证明:平面 PAB ? 平面 ABCD ; ⑶如果 CD ? AD ? BC ,二面角 P ? BC ? A 等于 60? ,求二面角 P ? CD ? A 的大小.
P D A E F

B G

C

【例2】 (2008 山东) ? 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD , 底面 ABCD 为菱形, ? 平面 ABCD , ABC ? 60? , PA E , 分别是 BC , 的中点. F PC ⑴ 证明: AE ? PD ; 6 ⑵ H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切为 若 ,求二面角 2 E ? AF ? C 的余弦值. P

F A B E C D

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

1

【例3】 如图, ?ABC 的边长为 3 , 正 过其中心 G 作 BC 的平行线, 分别交 AB 、AC 于 B1 、
C1 ,将 ?AB1C1 沿 B1C1 折起到 ?A1 B1C1 的位置,使点 A1 在平面 BB1C1C 上的射影恰

是线段 BC 的中点 M .求: ⑴二面角 A1 ? B1C1 ? M 的大小; ⑵异面直线 A1 B1 与 CC1 所成角的余弦值的大小.

NB 【例4】 (2009 福建) 如图, 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, ? 平面 ABCD , ? MD

平面 ABCD ,且 MD ? NB ? 1 , E 为 BC 的中点. ⑴求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值; ⑵在线段 AN 上是否存在点 S ,使得 ES ? 平面 AMN ?若存在,求线段 AS 的长; 若不存在,请说明理由.
M N

D E A B

C

【例5】 (2009 浙江文) 如图,DC ? 平面 ABC ,EB ∥ DC ,AC ? BC ? EB ? 2 DC ? 2 ,?ACB ? 120? ,P ,
Q 分别为 AE , AB 的中点.

⑴ 证明: PQ ∥平面 ACD ; ⑵ 求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

2

E

D P

C Q A

B

【例6】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AD ? CD , AC ? BD ? H ,

且 H 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2 .
P

E A H D C B

⑴证明: PA∥平面 BDE ; ⑵证明: AC ? 平面 PBD ; ⑶求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值. 【例7】 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

PD ? AB ? 2 , E , F , G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点.
⑴ 求证: PA∥平面 EFG ; ⑵ 求 GA 与平面 PEF 所成角的正切值.
P

E F C D A G B

【例8】 (2009 朝阳一模) ? 如图, 在直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 中,AA? ? 4 ,AC ? BC ? 2 , ACB ? 90? ,D 是 AB 的中点. ⑴求证: CD ? AB ? ;
智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库 3

⑵求二面角 A? ? AB? ? C 的大小; ⑶求直线 B?D 与平面 AB ?C 所成角的正弦值.
C' B' D A' A C B

【例9】 (2007 东城期末理)如图,在长方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中,棱 AD ? DC ? 3 ,
DD1 ? 4 ,过点

D 作 D1C 的垂线交 CC1 于点 E ,交 D1C 于点 F . ⑴求证: A1C ? BE ;
⑵求二面角 E ? BD ? C 的大小; ⑶求 BE 与平面 A1D1C 所成角的正弦值.
A1 B1 C1 D1

E A B C

F D

【例10】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AD ? CD , AC ? BD ? H ,

且 H 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2 .
P

E A H D C B

⑴证明: PA∥平面 BDE ; ⑵证明: AC ? 平面 PBD ; ⑶求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值.

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

4

【例11】 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

PD ? AB ? 2 , E , F , G 分别为 PC 、 PD 、 BC 的中点.
⑴ 求证: PA∥平面 EFG ; ⑵ 求 GA 与平面 PEF 所成角的正切值.
P

E F C D A G B

【例12】 (2006 江苏-19)在正 ?ABC 中, E、 F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点, 满足 AE : EB ? CF : FA ? CP : PB ? 1: 2 ,将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使 二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角,连结 A1 B、A1 P ⑴求证: A1 E ? 平面 BEP ⑵求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小 ⑶求二面角 B ? A1 P ? F 的余弦值大小.
A

A1
E

E B P

F C
B

D P

F C

CD 【例13】 (07 湖南理 18)如图 1, E , F 分别是矩形 ABCD 的边 AB , 的中点, G 是

CD EF 上的一点,将 ?GAB , ?GCD 分别沿 AB , 翻折成 ?G1 AB , ?G2CD ,并
G 连结 G1G2 , 使得平面 G1 AB⊥ 平面 ABCD , 1G2 ∥ AD , G1G2 ? AD . 且 连结 BG2 ,

如图 2.

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

5

A E G

D

G1
F C 图1

G2 A D F 图2 C

E B

B

⑴ 证明:平面 G1 AB⊥ 平面 G1 ADG2 ; ⑵ 当 AB ?12 , BC ? 25 , EG ? 8 时,求直线 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角;

【例14】 (2007 东城期末理)如图,在长方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中,棱 AD ? DC ? 3 ,
DD1 ? 4 ,过点

D 作 D1C 的垂线交 CC1 于点 E ,交 D1C 于点 F . ⑴求证: A1C ? BE ;
⑵求二面角 E ? BD ? C 的大小; ⑶求 BE 与平面 A1D1C 所成角的正弦值.
A1 B1 C1 D1

E A B C

F D

【例15】 (2009 朝阳一模) ? 如图, 在直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 中,AA? ? 4 ,AC ? BC ? 2 , ACB ? 90? ,D 是 AB 的中点. ⑴求证: CD ? AB ? ; ⑵求二面角 A? ? AB? ? C 的大小; ⑶求直线 B?D 与平面 AB ?C 所成角的正弦值.
C' B' D A' A C B

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

6

【例16】 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是 AB ? 2 , BC ? 2 的矩形,侧面 PAB 是等边

三角形,且侧面 PAB ? 底面 ABCD . ⑴证明: BC ? 侧面 PAB ; ⑵证明:侧面 PAD ⊥侧面 PAB ; ⑶求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小.
P

B C D

A

【例17】 (05-湖南-17)如图,已知 ABCD 是上,下底边长分别为 2 和 6 ,高为 3 的等

腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角.
⑴证明: AC ⊥ BO1 ;⑵求二面角 O ? AC ? O1 的正弦值.
O1
D O1 C

C

D

A

O

B

O A

B

【例18】 (08 浙江卷 18) 如图, 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE ∥ CF ,
?BCF ? ?CEF ? 90? , AD ? 3 , EF ? 2 .

⑴ 求证: AE∥平面 DCF ; ⑵ 当 AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60? ?
D A C B H E F

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

7

【例19】 球 O 的截面 BCD 到球心的距离等于球的半径的一半, BC 是截面圆的直径, D

是圆周上的一点, CA 是球的直径. ⑴求证:平面 ABD ⊥平面 ADC ⑵如果 BD : DC ? 3 : 2 ,求二面角 B ? AC ? D 的大小.
A

O

O1 B D

C

【例20】 如图所示,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底边长为 2 ,高为 4 ,过 AB 作一截面交侧

棱 CC1 于 P ,截面与底面成 60? 角,求截面 ?PAB 的面积.
C1 A1 B1 P

C A B

【例21】 (06 重庆-理-19)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , ?DAB 为

直角, AB ∥ CD , AD ? CD ? 2 AB , E 、 F 分别为 PC 、 CD 中点. ⑴试证: CD ? 平面 BEF ; ⑵高 PA ? k ? AB ,且二面角 E ? BD ? C 的平面角大于 30? ,求 k 的取值范围.
P E D F

C

A

B

【例22】 如图,已知边长为 a 的正 ?ABC ,以它的高 AD 为折痕,把它折成一个二面角
B? ? AD ? C .

⑴求 AB? 和面 B ?CD 所成的角; ⑵若二面角 B? ? AD ? C 的平面角为 120? ,求出二面角 A ? B?C ? D 的余弦值.

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

8

A

B

D B'

C M

【例23】 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1B1C1 ,

BD 1 ?BAC ? 90? ,A1 A ? 平面 ABC ,A1 A ? 3 ,AB ? 2 ,AC ? 2 ,A1C1 ? 1 , ? . DC 2 ⑴证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 ;
⑵求二面角 A ? CC1 ? B 的大小.
A1 B1 C1

A

B

D

C

? 【例24】 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB / / DC , ABC ? ?BCD ? 90° ,
AB ? BC ? PB ? PC ? 2CD ,侧面 PBC ? 底面 ABCD .

⑴求证: PA ? BD ⑵求二面角 P ? BD ? C 的正切值.
P

D

C

A

B

? 【例25】 (2009 北京) 如图, 三棱锥 P ? ABC 中, ? 底面 ABC , ? AB , ABC ? 60? , PA PA

?BCA ? 90? .点 D ,E 分别在棱 PB , PC 上,且 DE ∥ BC .

⑴求证: BC ? 平面 PAC ; ⑵当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; ⑶是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由. 【例26】 (2009 天津)
智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库 9

如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD , AD ∥ BC ∥ FE , AB ? AD ,M 1 为 EC 的中点, AF ? AB ? BC ? FE ? AD . 2 ⑴求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; ⑵证明平面 AMD ? 平面 CDE ; ⑶求二面角 A ? CD ? E 的余弦值.
F E

M A B C D

【例27】 (东城一模) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC , PC ? AC ? 2 , AB ? BC , D 是 PB 上一点,且 CD ? 平面 PAB . ⑴ 求证: AB ? 平面 PCB ; ⑵ 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; ⑶ 求二面角 C ? PA ? B 的大小.
P

D B C A

【例28】 (东城二模) 已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AP ? AD ? 1 , AB ? 2 , E 、 F 分别是 AB 、 PD 的中点. ⑴ 证: AF ∥平面 PEC ; ⑵ 求 PC 与平面 ABCD 所成角的大小; ⑶ 求二面角 P ? EC ? D 的大小.
P F D C

A

E

B

【例29】 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3 ,AD ? 2 , ? 2 , PA

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

10

PD ? 2 2 , ?PAB ? 60? .

⑴证明 AD ? 平面 PAB ; ⑵求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; ⑶求二面角 P ? BD ? A 的大小.
P

A

D

B

C

【例30】 如 图 , 在 四 棱锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 A B C D, AB ? AD , AC ? CD ,
?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.

⑴证明 CD ? AE ; ⑵证明 PD ? 平面 ABE ; ⑶求二面角 A ? PD ? C 的大小.
P E A B C D

【例31】 已知平面 ? ? 平面? ,交线为 AB , C ? ? , D ? ? , AB ? AC ? BC ? 4 3 , E 为

的中点, AC ? BD , BD ? 8 . ⑴求证: BD ? 平面? ; ⑵求证:平面 AED ? 平面BCD ; ⑶求二面角 B ? AC ? D 的正切值.
BC
?
C E A B D

?

【例32】 (2008 山东)如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面
ABCD , ?ABC ? 60? , E , 分别是 BC , 的中点. F PC

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

11

⑴ 证明: AE ? PD ; ⑵ H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 若
E ? AF ? C 的余弦值.

6 ,求二面角 2

P

F A B E C D

【例33】 四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 ,
CD ? 2 , AB ? AC .

⑴证明: AD ? CE ; ⑵设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45? ,求二面角 C ? AD ? E 的余弦值.
A

B C D

E

【例34】 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 边长为 a ,F 为对角线 AC 与 BD 的

交点, E 为 PC 中点, PD ? a , PA ? PC ? 2a ,
⑴求证: EF ∥ 平面 PAD ; AC ⑵求证: PD ⊥ 平面 ABCD , PB ⊥ ; ⑶求二面角 P ? AC ? D 的正切值.
P E D A F B C

智康高中数学.板块六.证明与计算(角度).题库

12


相关文章:
空间几何量的计算.板块二.直线与平面所成的角.学生版
空间几何量的计算.板块二.直线与平面所成的角.学生版_数学_高中教育_教育专区...1 ,则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为( ) 6 3 15 C. 5 A...
空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版
向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版...求证: A ,,, 共面. 0 1) B 4 6) C 2 3...r r r r r r r r r r r r ⑵计算: (a...
空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版
空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版_数学_自然科学_专业资料...(4 , 4, 6) , C (2 , 2, 3) , D(10 , 14 , 17) ,求证: A ...
空间几何体.板块四.综合问题.学生版
,证明: BC ? ∥面 EFG . 11 D' G F B' C' E A 2 6 D B C 2...空间几何量的计算.板块七... 暂无评价 16页 免费 空间几何体的表面积与体....
空间几何体.板块四.综合问题.学生版
证明: BC ′∥面 EFG . 11 D' G F B' C' E A 2 6 D B C 2 ...空间几何量的计算[1].板... 16页 免费 空间几何体.板块二.截面... 9页...
...立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(1).学生版
空间向量解柱体问题(1).学生版_其它课程_小学...AE . ⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACC1 A1 ; ⑵...空间向量与立体几何.板块... 6页 5下载券 空间...
...立体几何.板块三.用空间向量判断位置关系.学生版
空间向量与立体几何.板块三.用空间向量判断位置关系.学生版_数学_高中教育_教育...? ⑵若 H 是 ?ABC 的垂心,求证: DH 是平面 ABC 的法向量. 【例4】 ...
空间几何体.板块三.空间几何体的表面积和体积.学生版
几何体.板块三.空间几何体的表面积和体积.学生版...A1 BD 的体积( 1 A. a 3 6 A1 B1 D ) D...一周生成的几何体 称为圆柱容球,求证:在圆柱容球...
空间几何体.板块四.综合问题.学生版
空间几何体.板块四.综合问题.学生版_数学_高中教育...⑴求证:MN∥平面 CDEF; ⑵求多面体 A—CDEF 的...空间几何量的计算[1].板... 16页 免费 空间几何...
空间几何体.板块一.对空间几何体的初步认识.学生版
空间位置关系的判断与证明... 6页 2财富值 空间几何体.板块四.综合问... ...空间几何体.板块一.对空间几何体的初步认识.学生版 学而思高中数学讲义全部word版...
更多相关标签: