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课时作业:第2章 数列 2.5(二)


§ 2.5

等比数列的前 n 项和(二)

课时目标 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题. 2.能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题. a1?1-qn? a1-anq 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,当公比 q≠1 时,Sn= = ;当 q=1 1-q 1-q 时,Sn=na1. 2.等比数列前 n 项和的性质: (1)连续 m 项的和(如 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成等比数列.(注意:q≠-1 或 m 为 奇数) (2)Sm+n=Sm+qmSn(q 为数列{an}的公比). S偶 (3)若{an}是项数为偶数、公比为 q 的等比数列,则 =q. S奇 3. 解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题, 关键是在实际问题中建立等比数列模型.

一、选择题 1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3+a4+a5 等于 ( ) A.33B.72C.84D.189 答案 C 解析 由 S3=a1(1+q+q2)=21 且 a1=3,得 q+q2-6=0.∵q>0,∴q=2.∴a3+a4+a5 =q2(a1+a2+a3)=22· S3=84. 2.某厂去年产值为 a,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内, 该厂的总产值为( ) A.1.14a B.1.15aC.10a(1.15-1) D.11a(1.15-1) 答案 D 解析 注意去年产值为 a,今年起 5 年内各年的产值分别为 1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1). 1 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的 an 前 5 项和为( ) 15 31 31 15 A. 或 5B. 或 5C. D. 8 16 16 8 答案 C 解析 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1, 则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = , 1-q 1-q 解得 q=2. - - 故 an=a1qn 1=2n 1, 1 1 - =( )n 1. an 2 1 1 所以数列{ }是以 1 为首项, 为公比的等比数列,其前 5 项和为 an 2

1 1×[1-? ?5] 2 31 S5= = . 1 16 1- 2 4.一弹性球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则 第 10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A.300 米 B.299 米 C.199 米 D.166 米 答案 A 1? 8 39 解 析 小 球 10 次 着 地 共 经 过 的 路 程 为 100 + 100 + 50 + … + 100× ? ?2? = 299 64 ≈300(米). 5.在等比数列中,S30=13S10,S10+S30=140,则 S20 等于( ) A.90B.70C.40D.30 答案 C 解析 q≠1 (否则 S30=3S10), ? ? ?S30=13S10 ?S10=10 由? ,∴? , ?S10+S30=140 ?S30=130 ? ?



? ? ?a ?1-q ? ? 1-q
1

a1?1-q10? =10 1-q
30

? =130

,∴q20+q10-12=0.

a1?1-q20? ∴q10=3,∴S20= =S10(1+q10) 1-q =10×(1+3)=40. 6.某企业在今年年初贷款 a 万元,年利率为 γ,从今年年末开始每年偿还一定金额, 预计五年内还清,则每年应偿还( ) 5 a?1+γ? aγ?1+γ? A. 万元 B. 万元 ?1+γ?5-1 ?1+γ?5-1 5 aγ?1+γ? aγ C. 万元 D. 万元 ?1+γ?4-1 ?1+γ?5 答案 B 解析 设每年偿还 x 万元,则:x+x(1+γ)+x(1+γ)2+x(1+γ)3+x(1+γ)4=a(1+γ)5, aγ?1+γ?5 ∴x= . ?1+γ?5-1 二、填空题 7. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则{an}的公比为________. 1 答案 3 解析 由已知 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3). ∴a2=3a3, a3 1 ∴{an}的公比 q= = . a2 3 8.在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12= ________________________________________________________________________. 答案 63 解析 方法一 ∵S8≠2S4,∴q≠1,

a ?1-q ? ? ? 1-q =48 由已知得? a ?1-q ? ? 1-q =60② ?
1 1 8

4



由②÷ ①得 5 1 4 1+q = ,∴q4= ③ 4 4 a1 将③代入①得 =64, 1-q a1?1-q12? 1 ∴S12= =64(1- 3)=63. 4 1-q 方法二 因为{an}为等比数列, 所以 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列, 所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n), ?S2n-Sn?2 所以 S3n= +S2n, Sn ?S8-S4?2 ?60-48?2 所以 S12= +S8= +60=63. S4 48 9.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第 1 天,它飞出去找回了 2 个伙伴;第 2 天,3 只蜜蜂飞 出去, 各自找回了 2 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去, 第 6 天所有的蜜蜂都归巢 后,蜂巢中一共有________只蜜蜂. 答案 729 解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列,a1=3,q=3,∴第 6 天所有蜜蜂归 巢后,蜜蜂总数为 a6=36=729(只). 10.某工厂月生产总值的平均增长率为 q,则该工厂的年平均增长率为________. 答案 (1+q)12-1 解析 设第一年第 1 个月的生产总值为 1,公比为(1+q),该厂第一年的生产总值为 S1 =1+(1+q)+(1+q)2+…+(1+q)11. 则第 2 年第 1 个月的生产总值为(1+q)12, 第 2 年全年生产总值 S2=(1+q)12+(1+q)13+…+(1+q)23=(1+q)12S1, S2-S1 S2 ∴该厂生产总值的平均增长率为 = -1=(1+q)12-1. S1 S1 三、解答题 11.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨,该矿区计划 从 2010 年开始出口,当年出口 a 吨,以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年,设第 n 年出口量为 an 吨,试求 an 的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划 10 年后终止该矿区的出口,问 2010 年最多出口多 少吨?(保留一位小数) 参考数据:0.910≈0.35. 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项 a1=a,公比 q=1-10%=0.9, - ∴an=a· 0.9n 1 (n≥1). a?1-0.910? (2)10 年的出口总量 S10= =10a(1-0.910). 1-0.9 ∵S10≤80,∴10a(1-0.910)≤80, 8 即 a≤ ,∴a≤12.3. 1-0.910 故 2010 年最多出口 12.3 吨. 12. 某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车, 有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力型 公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车?

1 (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ?(lg657=2.82,lg2 3 =0.30,lg3=0.48) 解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an},其中 a1=128,q=1.5, 则在 2015 年应该投入的电力型公交车为 a7=a1· q6=128×1.56=1458(辆). (2)记 Sn=a1+a2+…+an, Sn 1 依据题意,得 > , 10000+Sn 3 128?1-1.5n? 657 于是 Sn= >5000(辆),即 1.5n> . 32 1-1.5 657 两边取常用对数,则 n· lg1.5>lg , 32 lg657-5lg2 即 n> ≈7.3,又 n∈N+,因此 n≥8. lg3-lg2 1 所以到 2016 年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 . 3 能力提升 13.有纯酒精 aL(a>1),从中取出 1L,再用水加满,然后再取出 1L,再用水加满,如 此反复进行,则第九次和第十次共倒出纯酒精________L. 1?8? 1? 答案 ? ?1-a? ?2-a? a-1 1 1 解析 用{an}表示每次取出的纯酒精,a1=1,加水后浓度为 =1- ,a2=1- ,加 a a a 1 1 1 ??a-1? ? ?2 ? ?2 水后浓度为? ?1-a?? a ?=?1-a? ,a3=?1-a? , 1?8 ? 1?9 依次类推:a9=? ?1-a? ,a10=?1-a? . 1?8 ? 1?9 ? 1?8? 1? ∴? ?1-a? +?1-a? =?1-a? ?2-a?. 14.现在有某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年 便可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年 可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 5 千元,两方案使用期都是 10 年,到期后一次性归 还本息,若银行贷款利息均按本息 10%的复利计算,试比较两种方案谁获利更多?(精确到 千元,数据 1.110≈2.594,1.310≈13.79) 解 甲方案 10 年中每年获利数组成首项为 1,公比为 1+30%的等比数列,其和为 1.310-1 1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9= ≈42.63(万元), 1.3-1 到期时银行贷款的本息为 10(1+0.1)10≈10×2.594=25.94(万元), ∴甲方案扣除贷款本息后,净获利约为 42.63-25.94≈16.7(万元). 乙方案 10 年中逐年获利数组成等差数列, 1+1.5+…+(1+9×0.5) 10?1+5.5? = 2 =32.50(万元), 而贷款本利和为 1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9] 1.110-1 =1.1× 1.1-1 ≈17.53(万元). ∴乙方案扣除贷款本息后,净获利约为

32.50-17.53≈15.0(万元), 比较得,甲方案净获利多于乙方案净获利.

1.准确理解等比数列的性质,熟悉它们的推导过程是记忆的关键.用好其性质也会降 低解题的运算量,从而减少错误. 2.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定 a1 与项数 n 的实际 含义,同时要搞清是求 an 还是求 Sn 的问题.


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