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【创新设计】2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)学案:第3章 空间向量与立体几何 1.1


3. 1 3.1.1 空间向量及其运算 空间向量及其线性运算 [学习目标] 1.掌握空间向量相关的概念,几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运 算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义. [知识链接] → → → 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA,OB,OC,它们 和以前所学的向量有什么不同?(如图) → → → 答:OA,OB,OC是不同在一个平面内的向量,而我们以前所学的向量都在 同一平面内. [预习导引] 1.空间向量的概念 在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量,向量的大小叫向量的长度或模. 2.空间向量的加减法 (1)加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的,它们的加、减法运算类似于平面向 量的加减法.(如图) → → → OB=OA+AB=a+b; → → → CA=OA-OC=a-b. (2)运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 3.空间向量的数乘运算 (1)定义 实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍是一个向量,称为向量的数乘运算.当 λ>0 时,λa 与 a 方向 相同;当 λ<0 时,λa 与 a 方向相反;当 λ=0 时,λa=0.λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍.如图所 示. (2)运算律 分配律:λ(a+b)=λa+λb; 结合律:λ(μa)=(λμ)a. 4.共线向量定理 (1)共线向量的定义 与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫 做共线向量或平行向量,记作 a∥b. (2)充要条件 对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),b 与 a 共线的充要条件是存在实数 λ,使 b=λa. 要点一 空间向量的概念 例 1 判断下列命题的真假. (1)空间向量就是空间中的一条有向线段; (2)不相等的两个空间向量的模必不相等; (3)两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; → → (4)向量BA与向量AB的长度相等. 解 (1)假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来. (2)假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可. (3)假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却 不一定有相同的起点和终点. → → (4)真命题,BA与AB仅是方向相反,它们的长度是相等的. 规律方法 在空间中,平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,两向量 相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等. 跟踪演练 1 给出以下命题: ①若空间向量 a,b,c 满足 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若空间向量 a、b 满足|a|=|b|,则 a=b; → → ③在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,必有AC=A1C1; ④若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是________. 答案 3 解析 因为 0 平行于任意向量,若 b=0 则 a 与 c 不一定平行,故①错;根据向量相等的定义, 要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量 a 与 b 的方向不一定相 → → 同,故②错;根据正方体的性质,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,向量AC与A1C1的方向相同, → → 模也相等,应有AC=A1C1,故③正确;命题④显然正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位 向量模均为 1,但方向不一定相

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