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高考数学全案单元检测卷9


单元检测卷(九)直线与圆的方程
时间:90 分钟,满分 150 分 一、选择题(共 8 小题,每小题 7 分,满分 56 分) 1.直线 2x+ay+3=0 的倾斜角为 120° ,则 a 的值是( 2 3 A. 3 C.2 3 2 2 3 [解析] 由 tan120° =- ,得 a= . a 3 [答案] A 2.(2009· 安徽卷文)直线 l 过点(-1,2)且与直线垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 ) 2 3 B.- 3 D.-2 3 )

3 3 [解析] 可得 l 斜率为- ,∴l∶y-2=- (x+1)即 3x+2y-1=0,选 A. 2 2 [答案] A 3. (2009· 广州一模)经过圆 C: (x+1)2+(y-2)2=4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为( A.x-y+3=0 C.x+y-1=0 [答案] A 4.圆 x2+y2-4x-4y+5=0 上的点到直线 x+y-9=0 的最大距离与最小距离的差为 ( ) A. 3 C.3 3 B.2 3 D.6 B.x-y-3=0 D.x+y+3=0 )

[解析] 圆 x2+y2-4x-4y+5=0 的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=3,圆心(2,2)到直线 x |2+2-9| 5 5 +y-9=0 的距离 = > 3, 故直线 x+y-9=0 与圆 x2+y2-4x-4y+5=0 相离, 2 2 ∴圆 x2+y2-4x-4y+5=0 上的点到直线 x+y-9=0 的最大距离与最小距离的差为直径. [答案] B 5.(2008· 重庆)圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是( A.相离 C.外切
2 2

)

B.相交 D.内切
2

[解析] 圆 O1:x +y -2x=0,即(x-1) +y2=1,圆心是 O1(1,0),半径是 r1=1 圆 O2:x2+y2-4y=0,即 x2+(y-2)2=4,圆心是 O2(0,2),半径是 r2=2 ∵|O1O2|= 5,故|r1-r2|<|O1O2|<|r1+r2|

∴两圆的位置关系是相交. [答案] B 6.(2008· 深圳一模)如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反向 后再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( )

A.2 10 C.3 3

B.6 D.2 5

[解析] 点 P 关于 y 轴的对称点 P′坐标是(-2,0),设点 P 关于直线 AB:x+y-4=0 的对称点 P″(a,b) b-0 ? ?a-2×?-1?=-1 ∴? a+2 b+0 ? 2 + 2 -4=0 ?
?a=4 ? ?? ?b=2 ?

∴光线所经过的路程|P′P″|=2 10. [答案] A 7.已知直线 l1 的方向向量为 a=(1,3),直线 l2 的方向向量 b=(-1,k),若直线 l2 经过 点(0,5),且 l1⊥l2,则直线 l2 的方程为( A.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 ) B.x+3y-15=0 D.x-3y+15=0

[解析] ∵直线 l1 的方向向量为 a=(1,3),直线 l2 的方向向量 b=(-1,k) ∴可设 l1 的方程为 y=3x+b1,直线 l2 的方程为 y=-kx+b2

? ?5=-k×0+b2 ? 2 ? ∴? ?? 1 ?3×?-k?=-1 ? ?k= ?
3

b =5 ,

1 即直线 l2 的方程是 y=- x+5. 3 [答案] B 4 8.(2010· 辽宁,10)已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e +1 则 α 的取值范围是( π? A.? ?0,4? ) π π? B.? ?4,2?

π 3π? C.? ? 2, 4 ? 4 [解析] y= x , e +1 -4ex -4ex -4 ∴y′= x = = . 2 2x x ?e +1? e +2e +1 x 1 e + x+2 e 1 ∵ex>0,∴ex+ x≥2, e ∴y′∈[-1,0),∴tanα∈[-1,0), 又 α[0,π), 3π ? ∴α∈? ? 4 ,π?,故选 D. [答案] D

3π ? D.? ? 4 ,π?

二、填空题(共 6 小题,每小题 7 分,满分 42 分) 9.直线 5x-4y-20=0 在 x、y 轴上的截距分别是________. [答案] 4,-5 10.圆心为(1,1)且与直线 x+y=4 相切的圆的方程是________. |1+1-4| [解析] 圆的半径 r= = 2. 1+1 [答案] (x-1)2+(y-1)2=2 11.圆心坐标是(2,-3),且被直线 2x+3y-8=0 截得的弦长为 4 3的圆的标准方程为 ________. |4-9-8| [解析] 圆心(2,-3)到直线 2x+3y-8=0 的距离是 d= = 13 13 故圆的半径 r= 13+12=5. [答案] (x-2)2+(y+3)2=25 12.直线 l 经过 P(1,2),且与 A(2,3)、B(4,-5)距离相等,则直线 l 的方程为________. [解析] (1)当 A、B 两点在直线 l 的同侧时,直线 l 平行于直线 AB 故直线 l 的方程是 y-2=kAB(x-1),即 4x+y-6=0 (2)当 A、B 两点在直线 l 的异侧时,直线 l 过 AB 的中点(3,-1) y-2 x-1 故直线 l 的方程是 = ,即 3x+2y-7=0. -1-2 3-1 [答案] C 13.(2009· 惠州二模)设曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a= ________. [解析] ∵y=eax ∴y′=aeax

∴曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线方程是 y-1=a(x-0),即 ax-y+1=0 ∵直线 ax-y+1=0 与直线 x+2y+1=0 垂直 1 ∴- a=-1,即 a=2. 2 [答案] 2 14.(2010· 湖南,14)若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为________;圆(x-2)2+(y-3)2=1 关于直线 l 对称的圆的方程为 ________. 3-a-b [解析] ∵kPQ= =1, 3-b-a kl· kPQ=-1,∴kl=-1; ∵PQ 中点 M?

?

3-b+a 3-a+b? , , 2 2 ?

3-a+b 3-b+a? ∴y- =-?x- , 2 2 ? ? ∴l:y=-x+3, ∵圆(x-2)2+(y-3)2=1 的圆心 C1(2,3),半径 r=1, ∴C1 关于 l 对称的点 C2(0,1), ∴所求圆的方程为:x2+(y-1)2=1. [答案] -1;x2+(y-1)2=1 三、解答题(共 4 小题,满分 52 分) 15.(本小题满分 12 分)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-12=0. (1)若直线 l2 与 l1 平行,且过点(-1,3),求直线 l2 的方程; (2)若直线 l2 与 l1 垂直,且 l2 与两坐标轴围成的三角形面积为 4,求直线 l2 的方程. [解] (1)由直线 l2 与 l1 平行,可设 l2 的方程为 3x+4y+m=0,以 x=-1,y=3 代入, 得-3+12+m=0,即得 m=-9, ∴直线 l2 的方程为 3x+4y-9=0. (2)由直线 l2 与 l1 垂直,可设 l2 的方程为 4x-3y+n=0, n n 1 n n 令 y=0,得 x=- ,令 x=0,得 y= ,故三角形面积 S= · |- |· | |=4 4 3 2 4 3 ∴得 n2=96,即 n=± 4 6 ∴直线 l2 的方程是 4x-3y+4 6=0 或 4x-3y-4 6=0. 16.(本小题满分 12 分)以点 A(4,-3)为直角顶点的 Rt△OAB 中,|AB|=2|OA|且点 B 纵坐标大于 0.


(1)求向量AB的坐标;

(2)求圆 x2-6x+y2+2y=0 关于直线 OB 对称的圆的方程.

? ? ? ?|AB|=2|OA| ?μ=6 ?μ=-6 [解] (1)设 AB =(μ,v),则由? → → 得? 或? ?v=8 ?v=-8 ? ? ?AB· OA=0 ?
→ → →





由OB=OA+AB=(μ+4,v-3),且 v-3>0


∴v=8 AB=(6,8). (2)圆 x2-6x+y2+2y=0 的标准方程是(x-3)2+(y+1)2=10 ∴圆心为(3,-1),半径为 10 1 由(1)知 B(10,5),直线 OB 的方程为 y= x 2 x+3 y-1 ? ? 2 -2 2 =0 设(3,-1)关于 OB 的对称点为(x,y)则? y+1 ?x-3=-2 ?
?x=1 ? ∴? ? ?y=3

∴所求圆方程为(x-1)2+(y-3)2=10. 17.(本小题满分 14 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l, 使 l 被圆 C 截得的弦长 AB 为直径的圆过原点, 若存在求出直线的方程, 若不存在说明理由.

[解] 圆 C 化成标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9, 假设存在以 AB 为直径的圆 M, 圆心 M 的坐标为(a,b). b+2 ∵CM⊥l,即 kCM· kl= ×1=-1 a-1

∴b=-a-1 ∴直线 l 的方程为 y-b=x-a,即 x-y-2a-1=0 ∴|CM|2=( |1+2-2a-1| 2 ) =2(1-a)2 2

∴|MB|2=|CB|2-|CM|2

=-2a2+4a+7 ∵|MB|=|OM| 3 ∴-2a2+4a+7=a2+b2,得 a=-1 或 ,b=2 2 3 5 当 a= 时,b=- ,此时直线 l 的方程为 x-y-4=0 2 2 当 a=-1 时,b=0,此时直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y+4=0 或 x-y+1=0. 18.(本小题满分 14 分)已知圆 C 方程为:x2+y2=4. (1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程;
→ →

(2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m, 设 m 与 y 轴的交点为 N, 若向量OQ=OM


+ON,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. [解] (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为 (1, 3)和(1,- 3),其距离为 2 3,满足题意. ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0.设圆心到此 直线的距离为 d,则 2 3=2 4-d2,得 d=1. |-k+2| 3 ∴1= 2 ,k= ,故所求直线方程为 3x-4y+5=0 4 k +1 综上所述,所求直线为 3x-4y+5=0 或 x=1. (2)设点 M 坐标为(x0,y0)(y0≠0),Q 点坐标为(x,y),则 N 点坐标是(0,y0)
→ → →

∵OQ=OM+ON ∴(x,y)=(x0,2y0) y 即 x0=x,y0= 2 又∵x02+y02=4, y2 ∴x2+ =4(y≠0) 4 x2 y2 ∴Q 点的轨迹方程是 + =1(y≠0), 轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆, 除去短轴端点. 4 16


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