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湖北省襄阳市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


襄阳市第一中学高一年级 2015-2016 学年度上学期期中考试数学试题 命题人:徐翔 本试卷两大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★

第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) ) 1. 设集合 A ? x x ? a , 集合 B ? x x ? 2 x ? 15 ? 0 , 若 B ? (CR A) ? ? , 则实数 a 的
2

?

?

?

?

取值范围是( A、 a ? ?3

) B、 a ? ?3 C、 ?3 ? a ? 5 D、 a ? 5

2.设偶函数 f ? x ? ? loga x ? b 在 ? ??,0 ? 上是增函数,则 f ? a ? 1? 与 f ? b ? 2? 的 大小关系是( ) B. f ? a ? 1? ? f ? b ? 2? D. 不能确定 )

A. f ? a ? 1? ? f ? b ? 2? C. f ? a ? 1? ? f ? b ? 2?

3.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B=( (A){0} (C){0,1} 4. (B){-1,0} (D){-1,0,1}

如果指数函数 y ? (a ? 1) 是增函数,则 a 的取值范围是
x

A

a>2

B

a<2

C

a>1

D

1<a<2

5.设全集 U ? x ? N * | x ? 6 ,集合 A ? ?1,3? , B ? ?3,5? ,则 CU ?A ?B A. ?2, 4? B. ?1,5? C. ?1, 4?

?

?

? ?(



D. ?2,5?

6.已知奇函数 f(x)在上为单调递减函数,又 α 、β 为锐角三角形两内角且 ? ? ? ,则下 列结论正确的是( ) B. f (sin ? ) ? f (sin ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? )

A. f (cos ? ) ? f (cos ? ) C. f (sin ? ) ? f (cos ? )

7. 定义集合运算:A ? B ? {z | z ? xy( x ? y), x ? A, y ? B} . 设集合 A ? {0,1} ,B ? {2,3} , 则集合 A ? B 的所有元素之和为 ( A.0 8.函数 y ? log 2 B.6 C.12 ). B、关于主线 y ? ? x 对称 D、关于直线 y ? x 对称 ) D.18

2? x 的图像( 2? x

A、 关于原点对称 C、 关于 y 轴对称

9.若 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 f ( x) 在 R 上的解析 式是( ) A. x( x ? 2) B. x( x ?1) C. x ( x ? 2) D. x( x ? 2)

1? x2 10.函数 y= 的值域是 1? x2
A.[-1,1] 11.函数 y ? y B.(-1,1]





C.[-1, 1) D.(-1,1) ) y y

cos 4 x 的图象大致是( 2x
y

O O x

x O x O D x

A

B

C

12.已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x |1 ? 2 ? 4} ,则 A ? B 等于(
x

)

A.{-1,0,1}

B.{1}

C.{-1,1}

D.{0,1}

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)

f ( x) ?
13.已知函数

1 1 1 2 x ,则 f ?1 (1) ?



14.函数 y ? log3 (2 x ? 1) 的定义域为

.

x?2 ? ?2 ? x ? 2 ? 15.已知 f ? x ? ? ? ,则 f ? f ?5?? = log x ? 1 x ? 2 ? ?? ? ? 2 ?



16.函数 f ( x) ?

2 ? x ? x ? 2 的定义域是



三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分

1 y ? ( )x a ,当 x ? (0, ??) 时,有 y ? 1 ,解关于 x 的不 17.(本小题满分 12 分)已知指数函数
2 等式 loga ( x ? 1) ? loga ( x ? x ? 6)

18. (本题满分 12 分)设函数 求函数的定义域; 求函数的值域; 求函数的单调区间.

f ?x? ? 3

4? 3 x ? x 2

19. ( 本小题满分 12 分)已知 A ? {x | (1)求 A ? B 和 A ? B ;

1 ? 3x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0}. 3

(2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A . 20 . ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 定 义 在 ?0,??? 上 的 函 数 f ( x) 对 任 意 正 数 p, q 都 有

f ( p q) ?

f ( p)?

1 1 3 f( q ? ) ,当 x ? 4 时, f ( x) ? ,且 f ( ) ? 0 . 2 2 2

(1) 求 f ( 2) 的值; (2)证明:函数 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数; (3)解关于 x 的不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 21.计算: (12 分)
0 ? 1 ?2 ? 3 ?3 ? 2 ? (1) ? 2 ? ? ? ?7.8 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 4? ? 8? ? 3? 1 2 ?2

(2) ?

?1? ? ?4?

?

1 2

?

?

4ab ?1

?

3

0.1?2 ? a 3b ?3 ?

1 2

22. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 16x ? 2 ? 4 x ? 5, x ? ?? 1,2? (1)设 t ? 4 x , x ? ?? 1,2? ,求 t 的最大值与最小值; (2)求 f ( x ) 的最大值与最小值;

参考答案 选择: 1_5BBBAA 6_10BDADB 填空: 13.1 14. ( , ??) 15.1 16.{2} 解答题 17. {x | 2 ? x ? 5} 11_12AB

1 2

1 1 y ? ( )x ? 1, 即 0 ? a ? 1 y ? 1 x ? (0, ? ? ) a 在 试题分析解:∵ 时,有 ,∴ a ………4 分

2 ? ?x ? 1 ? x ? x ? 6 ? 2 2 log ( x ? 1) ? log ( x ? x ? 6) ?x ? x ? 6 ? 0 a a 于是由 ,得 ? , ………8 分

解得 2 ? x ? 5 , ∴ 不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 5} 。 18 . (1) ? 1,4 ………12 分

?

?

(2) 1,9 3

?

?

(3) ? ? 1, ? 增 , ? 2 ,4? 减 2

? ?

3? ?

?3 ? ? ?

试 题 分 析 ( 1 ) 此 不 等 式 4 ? 3x ? x 2 ? 0 的 解 集 即 为 函 数 的 定 义 域 .
t 2 7 ( 2 ) 先 求 出 内 函 数 t ? 4 ? 3x ? x ?[ 0 , ,]所 以 f ? x ? ? 3 ? [1, 3 .] 2
2

7

(3)根据复合函数单调性的判断方法,因为外函数是增函数,所以在定义域内求内函数的 增区间和减区间分别得到此函数的单调增区间和减区间. 19. (1) A ? B ? (1, 2) , A ? B ? (?1, ??) ; (2) A ? B ? (?1,1] , B ? A ? [2, ??) 试题分析 试题分析:解指数不等式、对数不等式. (1)进行集合的交集并集运算即可; (2)按照新定 义,易求解. 试题解析: A ? {x |

1 ? 3x ? 9} ? (?1, 2) ; B ? {x log2 x ? 0} ? (1, ??) 3
A ? B ? (?1, ??) B ? A ? [2, ??)

(1) A ? B ? (1, 2) , (2) A ? B ? (?1,1] ,

, ? ?? . 20. (1) f (2) ? 1 ; (2)证明过程详见解析; (3) x ? ?1
试题分析 试题分析: (1)抽象函数常 用赋值法求解; (2)按照单调性的定义,巧妙的应用题中的不 等关系 f ( x) ?

3 去比较 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小,从而证明结论; (3)解抽象函数的不等式, 2

常化为 f ( m) ? f ( n ) 的形式,然后结合单调性求解. 试题解析: (1) f (1) ? f (1) ? f (1) ? 解得 f (2) ? 1

1 1 1 1 1 f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? ,所以 f (1) ? 2 2 2 2 2

(2)证明:任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 , x2 , 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x2 1 4x 1 1 4x 1 ) ? ? f ( 2 ? ) ? ? f ( 2 ) ? f ( ) ?1 x1 2 x1 4 2 x1 4
1 2 1 1 3 4x ? ? ,且 2 ? 4 时 f ( x) ? 2 2 2 x1

因为 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 4

1 2

3 1 ? ? 1 ? 0 所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数 2 2 1 3 1 2 (3)因为 f (4) ? f (2) ? f (2) ? ? 所以 f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x ? 3x) ? ? 2 2 2 2

3 即 f ( x 2 ? 3x) ? ? f (4) 2

? x?0 ? 所以 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1,??? ? x 2 ? 3x ? 4 ?

? ?? . ? 原不等式的解集为 ?1,
21. (1)

1 4 ;( 2 ) 2 25

试题 分析:指数式运算时将根式化为分数指数幂,将幂值的底数转化为指数式的形式后借 助于指数式的运算公式求解

3 ? 9 ?2 ? 27 ? 3 ? 3 ? ?3? 试题解析: (1) 解 : 原式 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 2 ?4? ? 8 ? ?2? ?2?

1

2

2

3?

2 3

?3? ?? ? ?2?

2

3 1 ?3? ?3? ? ?1? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2?
( 2 ) 解 : 原式 ? 2

2

2

? ?

1 ?2 ? 2

?

42 ? a 2 ? b
?2 3

3

3

?

3 2 3

? ?1? 2 2 ? ? ?a ?b ? 10 ?

?

2 ? 23 4 ? 2 25 10

22. (1) 16,

1 (2) 229, 4 4

x 试题分析: (1)利用指数函数单调性可知 t ? 4 是增函数,借助于单调性可求得最值; (2)

借助于(1)将 f ? x ? 函数转化为以 t 为自变量 的二次函数,借助于二次函数图像及单调性 可求解最值,求解时要注意 t 的取值范围
x 试题解析: (1)? t ? 4 在 ?? 1,2? 是单调增函数

? t max ? 4 2 ? 16 , t min ? 4 ?1 ?

1 4

(2)令 t ? 4 x ,? x ? ?? 1,2? ,? t ? ? ,16? 原式变为: f ( x) ? t 2 ? 2t ? 5 ,

?1 ?4

? ?

?1 ? ? f ( x) ? (t ? 1) 2 ? 4 ,? t ? ? ,16? , ?4 ?
? 当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , f ( x) min ? 4 ,
当 t ? 16 时,此时 x ? 2 , f ( x) max ? 229.


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