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【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题六解析几何 第3讲圆锥曲线的综合问题


专题六 解析几何

第3讲 圆锥曲线的综合问题

栏目索引

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高考真题体验

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热点分类突破

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高考押题精练

高考真题体验

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1.(2016· 四 川 改 编 ) 设 O 为 坐 标 原 点 , P 是 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 y2 = 2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且PM=2MF,则直线OM的 2 斜率的最大值为______. 2

解析

答案

1

2

2.(2016· 课标全国乙)设圆x2 +y2+2x-15=0的圆心为 A,直线l过点B(1,0)

且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明EA+EB为定值,并写出点E的轨迹方程; 解 因为AD=AC,EB∥AC, 故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以EB=ED, 故EA+EB=EA+ED=AD. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而AD=4,所以EA+EB=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),AB=2,

x2 y2 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为: 4 + 3 =1(y≠0).
解析答案

1

2

(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线 与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

解析答案

考情考向分析

1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参
数处理为核心,考查范围、最值问题,定点、定值问题,探索性问题.

2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思
想方法,对计算能力也有较高要求,难度较大.

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热点分类突破

热点一

范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式
子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解.

例1

x2 y2 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、

右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形. (1)求椭圆 C 的方程;



由题意可得 b=c= 2,a=2,

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

解析答案

(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且点P(4,3),记直线PA,

PB的斜率分别为k1,k2,当k1· k2取最大值时,求直线l的方程.

思维升华

解析答案

跟踪演练 1

x2 2 如图,已知椭圆: 4 +y =1,点 A,B 是它的两个顶点,过

原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交于点 D, 且与椭圆相交于 E,F 两点. → → (1)若ED=6DF,求 k 的值;

解析答案

(2)求四边形AEBF面积的最大值.

解析答案

热点二

定点、定值问题

1.由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0), 则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式: y=kx+m,则 直线必过定点(0,m). 2.解析几何中的定值问题是指某些几何量 (线段的长度、图形的面积、 角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的 参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值.

例2

x y y x 如图, 曲线 Γ 由两个椭圆 T1: 2+ 2=1(a>b>0)和椭圆 T2: 2+ 2= a b b c

2

2

2

2

1 (b>c>0)组成,当 a,b,c 成等比数列时,称曲线 Γ 为“猫眼曲线”.若 2 猫眼曲线 Γ 过点(0,- 2),且 a,b,c 的公比为 2 . (1)求猫眼曲线 Γ 的方程;



b= 2,∴a=2,c=1,

x2 y2 y2 2 ∴T1: 4 + 2 =1,T2: 2 +x =1.
解析答案

(2)任作斜率为 k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交, 交椭圆 T1 所得弦 kOM 的中点为 M, 交椭圆 T2 所得弦的中点为 N, 求证: kON 为与 k 无关的定值;

解析答案

(3)若斜率为 2的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A,B,N 为 椭圆 T1 上的任意一点(点 N 与点 A,B 不重合),求△ABN 面积的最大值.

思维升华

解析答案

跟踪演练 2

2 2 x y 已知抛物线:y2=2px(p>0)的焦点 F 在双曲线: 3 - 6 =1 的

右准线上,抛物线与直线 l:y=k(x-2)(k>0)交于 A,B 两点,AF,BF 的 延长线与抛物线交于 C,D 两点.

(1)求抛物线的方程;
解 x2 y2 双曲线: 3 - 6 =1 的右准线方程为 x=1,

所以F(1,0),则抛物线的方程为y2=4x.

解析答案

(2)若△AFB的面积等于3,求k的值;

2 y2 y 1 2 设 A( 4 ,y1),B( 4 ,y2),

2 ? y ? =4x, 由? 得 ky2-4y-8k=0, ? ?y=k?x-2?

4 Δ=16+32k >0,y1+y2=k ,y1y2=-8.
2

1 1 S△AFB=2×1×|y1-y2|=2 ?y1+y2?2-4y1y2=2

1 2+2=3,解得 k=2. k
解析答案

kCD (3)记直线 CD 的斜率为 kCD,证明: k 为定值,并求出该定值. 2 2 y2 y y → → 3 1 3 解 设 C( 4 ,y3),则FA=( 4 -1,y1),FC=( 4 -1,y3),
2 y2 y 4 1 3 2 因为 A,F,C 共线,所以( 4 -1)y3-y1( 4 -1)=0,即 y3+(y -y1)y3-4=0. 1 4 解得:y3=y1(舍)或 y3=-y , 1

4 4 4 4 所以 C(y2,-y ),同理 D(y2,-y ), 1 1 2 2

4 4 -y +y y1y2 kCD 1 2 kCD= 4 4 =- =2k,故 k =2(定值). y1+y2 2- 2 y1 y2
解析答案

热点三

探索性问题

1. 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题 型,解决这类问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化. 其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定 系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元 素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数) 不存在. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.

例3

已知点 P 是椭圆 C 上的任一点, P 到直线 l1: x=-2 的距离为 d1,

d2 2 到点 F(-1,0)的距离为 d2,且d = 2 . 1

(1)求椭圆C的方程;
解 设 P(x,y),则 d1=|x+2|,d2= ?x+1?2+y2,

2 2 ? x + 1 ? + y d2 2 x2 2 = 2 ,化简得: 2 +y =1, d1= |x+2|

x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 2 +y =1.
解析答案

(2) 如图,直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A , B(A , B 都在 x 轴上方 ) ,且 ∠OFA+∠OFB=180°. (ⅰ)当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时,求直线l的方程; (ⅱ) 是否存在一个定点,无论 ∠OFA 如何变化,直线 l 总过该定点?若 存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

思维升华

解析答案

跟踪演练 3

x2 y2 (2015· 四川)如图,椭圆 E:a2+b2=1

2 → → (a>b>0)的离心率是 2 ,点 P(0,1)在短轴 CD 上,且PC· PD=-1.

(1)求椭圆E的方程;

解析答案

(2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点.是否存在常 → → → → 数 λ,使得OA· OB+λPA· PB为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说 明理由.

解析答案

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高考押题精练

x2 y2 已知椭圆 C1:a2+ 3 =1(a>0)与抛物线 C2:y2=2ax 相交于 A,B 两点, 且两曲线的焦点 F 重合.

(1)求C1,C2的方程;
(2)若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M, Q 两点, 与抛物线分别交于 P, PN N 两点,是否存在斜率为 k(k≠0)的直线 l,使得MQ=2?若存在,

求出k的值;若不存在,请说明理由. 押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题,体现了对直线和圆
押题依据 解析答案
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锥曲线位置关系的综合考查.关注知识交汇,突出综合应用是高考的特色.


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