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高中数学必修2-第三章《直线与方程》单元测试题


第三章《直线与方程》单元测试题
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.已知点 A(1, 3),B(-1,3 3),则直线 AB 的倾斜角是( A.60° C.120° [答案] C 3 3- 3 [解析] 直线 AB 的斜率为 =- 3,则直线

AB 的倾斜角是 120° . -1-1 2.如果 AB<0,BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不经过( A.第一象限 C.第三象限 [答案] D A C A C [解析] Ax+By+C=0 可化为 y=- x- ,由 AB<0,BC<0,得- >0,- >0,故直 B B B B 线 Ax+By+C=0 经过第一、二、三象限,不经过第四象限. 3.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实 数 m 的值是( A.-2 C.3 [答案] C 1+m [解析] 由已知条件可知线段 AB 的中点( ,0)在直线 x+2y-2=0 上,把中点坐标 2 代入直线方程,解得 m=3. 4.已知直线(2m2-m+3)x+(m2+2m)y=4m+1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 的值为 ( ) 1 A.2 或 2 1 C.-2 或- 2 [答案] A [解析] 由题意,知直线过点(1,0),代入直线方程整理得 2m2-5m+2=0,解得 m=2 1 或 m= . 2 1 B.2 或- 2 1 D.-2 或 2 ) B.-7 D.1 B.第二象限 D.第四象限 ) B.30° D.150° )

1

5.经过直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y=5=0 的交点,并且经过原点的直线方程是 ( ) A.19x-9y=0 C.3x+19y=0 [答案] C
?x-3y+4=0 ? [解析] 解? ?2x-y+5=0 ?

B.9x+19y=0 D.19x-3y=0

?x=- 7 得? 3 ?y=7

19 19 3 ,即直线 l1,l2 的交点是(- , ),由两点式 7 7

可得所求直线的方程是 3x+19y=0. 6. 已知直线 l1: (k-3)x+(5-k)y+1=0 与 l2: 2(k-3)x-2y+3=0 垂直, 则 k 的值是( A.1 或 3 C.1 或 4 [答案] C [解析] 由题意得 2(k-3)2-2(5-k)=0,整理得 k2-5k+4=0,解得 k=1 或 k=4.故选 C. 7.已知直线(3k-1)x+(k+2)y-k=0,则当 k 变化时,所有直线都通过定点( A.(0,0) 2 1 C.( , ) 7 7 [答案] C 2 1 [解析] 直线方程变形为 k(3x+y-1)+(2y-x)=0,则直线通过定点( , ). 7 7 8. 与直线 y=-2x+3 平行, 且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是( A.y=-2x+4 8 C.y=-2x- 3 [答案] C [解析] 直线 y=-2x+3 的斜率为-2,则所求直线斜率 k=-2,直线方程 y=3x+4 4 4 中,令 y=0,则 x=- ,即所求直线与 x 轴交点坐标为(- ,0).故所求直线方程为 y=- 3 3 4 8 2(x+ ),即 y=-2x- . 3 3 9.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0
2

)

B .1 或 5 D.1 或 2

)

1 2 B .( , ) 7 7 1 1 D .( , ) 7 14

)

1 B.y= x+4 2 1 8 D.y= x- 2 3

)

B.2x+y-1=0 D.x+2y-3=0

[答案] D [解析] 将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”:在直线 x- 2y+1=0 上取一点 P(3,2),点 P 关于直线 x=1 的对称点 P′(-1,2)必在所求直线上,只有 选项 D 满足. 10.已知直线 l 的倾斜角为 135° ,直线 l1 经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直 线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( A.-4 C.0 [答案] B 2-?-1? [解析] 因为 l 的斜率为 tan135° =-1,所以 l1 的斜率为 1,所以 kAB= =1,解 3-a 2 得 a=0.又 l1∥l2,所以- =1,解得 b=-2,所以 a+b=-2,故选 B. b 11.已知两直线的方程分别为 l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的 关系如右图所示,则( A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>c C.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c [答案] C 1 1 b d [解析] 由图象知- >- >0,- <0,- >0,所以 c<a<0,b<0,d>0. a c a c 12.等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90° ,若点 A,C 的坐标分别为(0,4),(3,3),则点 B 的坐标可能是( ) B.(2,0)或(6,4) D.(0,2) ) B.-2 D.2 )

A.(2,0)或(4,6) C.(4,6) [答案] A

? kBC=-1 ?kAc· [解析] 设 B(x,y),根据题意可得? , ?|BC|=|AC| ?

3-4 y-3 ? =-1 ?3-0· x-3 即? , 2 2 2 2 ? ? ?x-3? +?y-3? = ?0-3? +?4-3?
? ? ?x=2 ?x=4 解得? 或? ,所以 B(2,0)或 B(4,6). ?y=0 ? ? ?y=6

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

3

13.已知点 A(3,2),B(-2,a),C(8,12)在同一条直线上,则 a=________. [答案] -8 [解析] 根据题意可知 kAC=kAB,即 12-2 a-2 = ,解得 a=-8. 8-3 -2-3

14.与直线 7x+24y=5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是________. [答案] 7x+24y+70=0 或 7x+24y-80=0 [解析] 设所求直线为 7x+24y+m=0. 把直线 7x+24y=5 整理为一般式得 7x+24y-5=0. 由两平行直线间的距离公式得: 解得 m=70 或-80, 故所求直线方程为 7x+24y+70=0 或 7x+24y-80=0. 15.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为________. [答案] 3 2 [解析] 依题意,知 l1∥l2,故点 M 所在直线平行于 l1 和 l2,可设点 M 所在直线的方程 |m+7| |m+5| 为 l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得 = ?|m+7|=|m+5|?m=-6, 2 2 |-6| 即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 16.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是① 15° ② 30° ③ 45° ④ 60° ⑤ 75° ,其中正确答案的序号是 ________.(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤ [解析] 两平行线间的距离为 d= |3-1| = 2, 1+1 |m+5| =3, 72+242

由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30° ,l1 的倾斜角为 45° , 所以直线 m 的倾斜角等于 30° +45° =75° 或 45° -30° =15° . [点评] 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结合的 思想.是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目,但是只要基础扎实、方法灵活、 思想深刻, 这一问题还是不难解决的. 所以在学习中知识是基础、 方法是骨架、 思想是灵魂, 只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 3 17.(本小题满分 10 分)已知直线 l 经过点 P(-2,5)且斜率为- , 4
4

(1)求直线 l 的方程; (2)若直线 m 平行于直线 l,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程. 3 [解析] (1)直线 l 的方程为:y-5=- (x+2)整理得 4 3x+4y-14=0. (2)设直线 m 的方程为 3x+4y+n=0, |3×?-2?+4×5+n| d= =3, 32+42 解得 n=1 或-29. ∴直线 m 的方程为 3x+4y+1=0 或 3x+4y-29=0. 18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A(5,-2),B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程. x+5 3+y [解析] (1)设点 C 的坐标为(x,y),则有 =0, =0, 2 2 ∴x=-5,y=-3,故 C 的坐标为(-5,-3). 5 (2)由题意在,M(0,- ),N(1,0), 2 y ∴直线 MN 的方程为 x+ =1,即 5x-2y-5=0. 5 - 2 19. (本小题满分 12 分)求经过两直线 3x+4y-5=0 与 2x-3y+8=0 的交点 M, 且与直 线 l1:2x+y+5=0 平行的直线 l2 的方程,并求 l1 与 l2 间的距离.
?3x+4y-5=0 ?x=-1 ? ? [解析] 由? 解得? ,所以交点 M(-1,2). ?2x-3y+8=0 ?y=2 ? ?

由直线 l2 与直线 l1:2x+y+5=0 平行,得直线 l2 的斜率为-2. 所以直线 l2 的方程为 y-2=-2(x+1),即 2x+y=0. 由两平行直线间的距离公式,得 l1 与 l2 间的距离为 20.(本小题满分 12 分)根据下列条件求直线方程: (1)已知直线过点 P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1; (2)过两直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点,且垂直于直线 x+3y+4=0. x y [解析] (1)设所求直线的方程为 + =1. a b |5-0| = 5. 22+12

5

2 2 + =1 ?- a b 由题意得? 1 ?2|ab|=1
?a=2, ?a=-1 ? ? 解得? 或? ?b=1, ? ? ?b=-2

x x y 故所求直线方程为 +y=1 或 + =1, 2 -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0. (2)解法一:设所求直线方程为 3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,即(3+λ)x+(3λ-2)y+(1+ 4λ)=0. 由所求直线垂直于直线 x+3y+4=0,得 3+λ 1 - · (- )=-1. 3 3λ-2 3 解得 λ= . 10 故所求直线方程是 3x-y+2=0. 解法二:设所求直线方程为 3x-y+m=0.
?3x-2y+1=0, ?x=-1, ? ? 由? 解得? ?x+3y+4=0, ?y=-1, ? ?

即两已知直线的交点为(-1,-1). 又 3x-y+m=0 过点(-1,-1), 故-3+1+m=0,m=2. 故所求直线方程为 3x-y+2=0. 4 21.(本小题满分 12 分)直线过点 P( ,2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点, 3 O 为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件: (1)△AOB 的周长为 12; (2)△AOB 的面积为 6. 若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由. x y [解析] 设直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b 若满足条件(1),则 a+b+ a2+b2=12, 4 4 2 又∵直线过点 P( ,2),∵ + =1. 3 3a b 由①②可得 5a2-32a+48=0, ① ②

6

?a=4, ? 解得? 或 ?b=3, ?

? a= 5 , ? 9 ?b=2,

12

x y 5x 2y ∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 4 3 12 9 即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0. 若满足条件(2),则 ab=12, 4 2 由题意得, + =1, 3a b 由③④整理得 a2-6a+8=0,
? ? ?a=4, ?a=2, 解得? 或? ?b=3 ? ? ?b=6,

③ ④

x y x y ∴所求直线的方程为 + =1 或 + =1, 4 3 2 6 即 3x+4y-12=0 或 3x+y-6=0. 综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为 3x+4y-12=0. 22. (本小题满分 12 分)有定点 P(6,4)及定直线 l: y=4x, 点 Q 是 l 上在第一象限内的点, PQ 交 x 轴的正半轴于点 M,问点 Q 在什么位置时,△OMQ 的面积最小,并求出最小值. [解析] 如图,由点 Q 在直线 y=4x 上,设点 Q(x0,4x0),且 x0>0.需求直线 PQ 与 x 轴的交点 M 的横坐标,因为 S△OQM= 1 · |OM|· 4x0=f(x0)是 x0 的函数,利用函数求最小值的方法求得面积 2 的最小值及点 Q 的坐标. 设点 Q(x0,4x0)(x0>0 且 x0≠6), 4x0-4 ∴直线 PQ 的方程为 y-4= (x-6). x0-6 5x0 令 y=0 得 x= , x0-1 5x0 ∴点 M 的坐标为( ,0). x0-1 设△OMQ 的面积为 S, 1 10x2 0 则 S= |OM|· 4x0= , 2 x0-1 即 10x2 0-Sx0+S=0. ∵x0∈R,∴关于 x0 的一元二次方程有实根. ∴Δ=S2-40S≥0,即 S≥40. 当 S=40 时,x0=2,4x0=8,
7

∴点 Q 的坐标为(2,8). 而当 x0=6 时,点 Q 的坐标为(6,24), 1 此时 S= ×6×24=72>40,不符合要求. 2 故当点 Q 的坐标为(2,8)时,△OMQ 的面积最小,且最小值为 40.

8


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