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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 一元二次不等式及其解法学案 理 新人教A版


一元二次不等式及其解法
导学目标: 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二 次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元 二次不等式,会设计求解的程序框图.

自主梳理 1.一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式. 2.二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 2 Δ =b -4ac 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0) 的图象 一元二次方程 Δ >0 Δ =0 Δ <0

ax2+bx+c=0 (a>0)的根
一元二 次不等 2 式 ax +bx+ c>0 的解集

a>0

有两相异实根 x1,2= 2 -b± b -4ac 2a (x1<x2) {x|x<x1, 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

有两相等实根 x1=x2 =________ {x|x≠____}

没有实根

______

a<0

____

____

自我检测 2 1.(2011?广州模拟)已知 p:关于 x 的不等式 x +2ax-a>0 的解集是 R,q:-1<a<0, 则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 ?x -4x+6,x≥0, ? 2.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ) ? ?x+6, x<0, A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 2 2 2 3.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A,不等式 x +x-6<0 的解集是 B,不等式 x +ax +b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于( ) A.-3 B.1 C.-1 D.3 2 4.(2011?厦门月考)已知 f(x)=ax -x-c>0 的解集为(-3,2),则 y=f(-x)的图象 是( )

1

5.当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围为________________.

2

探究点一 一元二次不等式的解法 例 1 解下列不等式: 2 2 (1)-x +2x- >0; 3 (2)9x -6x+1≥0.
2

变式迁移 1 解下列不等式: 2 (1)2x +4x+3<0; 2 (2)-3x -2x+8≤0; 2 (3)8x-1≥16x .

探究点二 含参数的一元二次不等式的解法 2 例 2 已知常数 a∈R,解关于 x 的不等式 ax -2x+a<0.

2

变式迁移 2 解关于 x 的不等式 ax -(a+1)x+1<0.

2

探究点三 一元二次不等式恒成立问题 2 例 3 (2011?巢湖月考)已知 f(x)=x -2ax+2 (a∈R), 当 x∈[-1, +∞)时, f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

变式迁移 3 (1)关于 x 的不等式

4x+m <2 对任意实数 x 恒成立, 求实数 m 的取值范 x -2x+3
2

围. 2 (2)若不等式 x +px>4x+p-3 对一切 0≤p≤4 均成立,试求实数 x 的取值范围.

转化与化归思想的应用 2 2 例 (12 分)已知不等式 ax +bx+c>0 的解集为(α ,β ),且 0<α <β ,求不等式 cx +bx+a<0 的解集. 【答题模板】 解 由已知不等式的解集为(α ,β )可得 a<0, 2 ∵α ,β 为方程 ax +bx+c=0 的两根,

3

b ? ?a=- α +β ∴由根与系数的关系可得? c ? ?a=α β >0. ②
∵a<0,∴由②得 c<0,[5 分] 则 cx +bx+a<0 可化为 x + x+ >0.[6 分]
2 2



① [4 分]

b c

a c

b - ①÷②,得 = c

α +β α β

a 1 1 1 ?1 1? =-? + ?<0,由②得 = = ? >0, α β c α β α β ? ?

1 1 b a 2 ∴ 、 为方程 x + x+ =0 的两根.[10 分] α β c c 1 1 2 ∵0<α <β ,∴不等式 cx +bx+a<0 的解集为{x|x< 或 x> }.[12 分] β α 【突破思维障碍】 2 2 由 ax +bx+c>0 的解集是一个开区间,结合不等式对应的函数图象知 a<0,要求 cx +

c bx+a<0 的解集首先需要判断二次项系数 c 的正负,由方程根与系数关系知 =α ?β >0, a 2 因 a<0, ∴c<0, 从而知道 cx +bx+a<0 的解集是 x 大于大根及小于小根对应的两个集合. 要 2 想求出解集,需用已知量 α ,β 代替参数 c、b、a,需对不等式 cx +bx+a<0 两边同除 c 或 a, 用α 、 β 代替后, 就不难找到要求不等式对应方程的两根, 从而求出不等式的解集. 本
题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化. 1.三个“二次”的关系:二次函数是主体,一元二次方程和一元二次不等式分别为二 次函数的函数值为零和不为零的两种情况, 一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次 方程和一元二次不等式来研究, 而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二 次函数相联系, 通过二次函数的图象及性质来解决. 一元二次不等式解集的端点值就是 相应的一元二次方程的根, 也是相应的二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标, 即二次函 数的零点. 2. 解含参数的一元二次不等式的步骤: 解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行: 1°二次项若含有参数应讨论参数是等于 0、小于 0、还是大于 0.然后将不等式转化为 二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系.3°确定 无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集 的形式. 2 3.不等式恒成立问题:不等式恒成立,即不等式的解集为 R,一元二次不等式 ax +bx +c>0 (a≠0)恒成立的条件是? 是
? ?a>0, ?Δ =b -4ac<0; ?
2

ax2+bx+c<0 (a≠0)恒成立的条件
? ?a<0, ? 2 ?Δ =b -4ac<0. ?

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 y= log 1 x - 1 的定义域是(
2

(

2

)

)

A.[- 2,-1)∪(1, 2]

B.[- 2,-1]∪(1, 2)
4

D.(-2,-1)∪(1,2) x+1 2 2.(2010?抚顺模拟)已知集合 P={x| >0},集合 Q={x|x +x-2≥0},则 x∈Q 是 x-1 x∈P 的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2 2 3.(2011?银川模拟)已知集合 M={x|x -2 008x-2 009>0},N={x|x +ax+b≤0}, 若 M∪N=R,M∩N=(2 009,2 010],则( ) A.a=2 009,b=-2 010 B.a=-2 009,b=2 010 C.a=2 009,b=2 010 D.a=-2 009,b=-2 010 2 4.若(m+1)x -(m-1)x+3(m-1)<0 对任何实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.m>1 B.m<-1 13 13 C.m<- D.m>1 或 m<- 11 11 2 5.(创新题)已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix) <1 (i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是 ( ) ? 1? ? 2? A.?0, ? B.?0, ?

C.[-2,-1)∪(1,2]

? a1? ? 1? C.?0, ? ? a3?

? a1? ? 2? D.?0, ? ? a3?

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. 在 R 上定义运算?: x?y=x(1-y), 若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 恒成立, 则 a 的取值范围为________. ? ?log2x, x>0, 7 . 已 知 函 数 f(x) = ? 2 则 满 足 f(x)>1 的 x 的 取 值 范 围 为 ?x , x≤0, ? ______________. 8.(2011?泉州月考)

已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的 2 图 象 如 右 图 所 示 , 且 f( - 2) = 1 , f(3) = 1 , 则 不 等 式 f(x - 6)>1 的 解 集 为 __________________. 三、解答题(共 38 分) x-a 9.(12 分)解关于 x 的不等式 <0 (a∈R). x-a2

5

? ? 1 2 2 10.(12 分)若不等式 ax +bx+c≥0 的解集是?x|- ≤x≤2?,求不等式 cx +bx+a<0 3 ? ? 的解集.

11.(14 分)(2011?烟台月考)已知函数 f(x)=x +ax+3. (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围; (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

2

学案 34 自主梳理 1.2 2.-

一元二次不等式及其解法

b b - R ? ? 2a 2a

自我检测 1.C 2.A 3.A 4.D 5.(-∞,-5] 2 解析 记 f(x)=x +mx+4,根据题意得 Δ =m -16>0, ? ? , ?f ? , ?f
2

解得 m≤-5.

课堂活动区 例 1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤 2 2 (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax +bx+c>0(a>0),ax +bx +c<0(a>0). (2)计算相应的判别式. (3)当 Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根. (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 2 解 (1)两边都乘以-3,得 3x -6x+2<0, 2 因为 3>0,且方程 3x -6x+2=0 的解是 3 3 x1=1- ,x2=1+ , 3 3

6

所以原不等式的解集是{x|1-
2

3 3 <x<1+ }. 3 3

(2)∵不等式 9x -6x+1≥0, 2 其相应方程 9x -6x+1=0, 2 Δ =(-6) -4?9=0, 1 ∴上述方程有两相等实根 x= , 3 2 结合二次函数 y=9x -6x+1 的图象知,原不等式的解集为 R. 2 变式迁移 1 解 (1)∵不等式 2x +4x+3<0 可转化为 2 2 2(x+1) +1<0,而 2(x+1) +1>0, 2 ∴2x +4x+3<0 的解集为?. 2 (2)两边都乘以-1,得 3x +2x-8≥0, 2 因为 3>0,且方程 3x +2x-8=0 的解是 4 x1=-2,x2= , 3 4 所以原不等式的解集是(-∞,-2]∪[ ,+∞). 3 2 (3)原不等式可转化为 16x -8x+1≤0, 2 即(4x-1) ≤0, 1 ∴原不等式的解集为{ }. 4 例 2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解 因式, 再对参数进行讨论; 若不易因式分解, 则可对判别式进行分类讨论, 分类要不重不漏. (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零 时的情形,以便确定解集的形式. (3)其次对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 解 上述不等式不一定为一元二次不等式, 当 a=0 时为一元一次不等式, 当 a≠0 时为 一元二次不等式,故应对 a 进行讨论,然后分情况求解. (1)a=0 时,解为 x>0. 2 (2)a>0 时,Δ =4-4a . ①当 Δ >0,即 0<a<1 时, 2 1± 1-a 2 方程 ax -2x+a=0 的两根为 ,

a

1- 1-a 1+ 1-a ∴不等式的解集为{x| <x< }.

2

2

a

a

②当 Δ =0,即 a=1 时,x∈?; ③当 Δ <0,即 a>1 时,x∈?. (3)当 a<0 时, ①Δ >0,即-1<a<0 时, 2 2 1+ 1-a 1- 1-a 不等式的解集为{x|x< 或 x> }.

a

a

②Δ =0,即 a=-1 时,不等式化为(x+1) >0, ∴解为 x∈R 且 x≠-1. ③Δ <0,即 a<-1 时,x∈R. 综上所述,当 a≥1 时,原不等式的解集为?; 当 0<a<1 时,解集为 2 2 1- 1-a 1+ 1-a {x| <x< };

2

a

a

当 a=0 时,解集为{x|x>0};
7

当-1<a<0 时,解集为 2 2 1+ 1-a 1- 1-a {x|x< 或 x> };

a 当 a=-1 时,解集为{x|x∈R 且 x≠-1}; 当 a<-1 时,解集为{x|x∈R}. 变式迁移 2 解 ①当 a=0 时,解得 x>1.
1 ②当 a>0 时,原不等式变形为(x- )(x-1)<0,

a

a

1 ∴a>1 时,解得 <x<1;

a a=1 时,解得 x∈?;

1 0<a<1 时,解得 1<x< .

a

1 ③当 a<0 时,原不等式变形为(x- )(x-1)>0,

a

1 1 ∵ <1,∴解不等式可得 x< 或 x>1.

a

a

1 综上所述,当 a<0 时,不等式解集为(-∞, )∪(1,+∞);

a

当 a=0 时,不等式解集为(1,+∞); 1 当 0<a<1 时,不等式解集为(1, );

a

当 a=1 时,不等式解集为?; 1 当 a>1 时,不等式解集为( ,1).

a

例 3 解题导引 注意等价转化思想的运用,二次不等式在区间上恒成立的问题可转 化为二次函数区间最值问题. 2 2 解 方法一 f(x)=(x-a) +2-a ,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要 使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; 2 ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a , 2 由 2-a ≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1. 2 方法二 令 g(x)=x -2ax+2-a,由已知, 2 得 x -2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, Δ >0, ? ? 2 即 Δ =4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ? ?g - 解得-3≤a≤1. 2 2 变式迁移 3 解 (1)∵x -2x+3=(x-1) +2>0, 4x+m 2 2 ∴不等式 2 <2 同解于 4x+m<2x -4x+6,即 2x -8x+6-m>0. x -2x+3 2 要使原不等式对任意实数 x 恒成立,只要 2x -8x+6-m>0 对任意实数 x 恒成立. ∴Δ <0,即 64-8(6-m)<0, 整理并解得 m<-2. ∴实数 m 的取值范围为(-∞,-2). 2 (2)∵x +px>4x+p-3, 2 ∴(x-1)p+x -4x+3>0.
8

令 g(p)=(x-1)p+x -4x+3, 则要使它对 0≤p≤4 均有 g(p)>0, 只要有?
? ?g ?g ?

2

.

∴x>3 或 x<-1. ∴实数 x 的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞). 课后练习区 2 1.A [由已知有 log 1 (x -1)≥0,
2

? ?x -1>0, ∴? 2 ?x -1≤1. ?

2

?x>1或x<-1, ∴? ?- 2≤x≤ 2.

∴- 2≤x<-1 或 1<x≤ 2.] 2.D [化简得 P={x<-1,或 x>1},Q={x≤-2,或 x≥1},集合 P,Q 之间不存在包 含关系, 所以 x∈Q 是 x∈P 的既不充分又不必要条件.] 3.D [化简得 M={x|x<-1 或 x>2 009}, 由 M∪N=R,M∩N=(2 009,2 010]可知 N={x|-1≤x≤2 010},即-1,2 010 是方程 x2+ax+b=0 的两个根. 所以 b=-1?2 010=-2 010,-a=-1+2 010,即 a=-2 009.] 4.C [当 m=-1 时,不等式变为 2x-6<0,即 x<3,不符合题意. 当 m≠-1 时,由题意知 ? ?m+1<0,
? ?Δ = ?

m-

2



m+

m-



? ?m+1<0, 化简,得? 2 ?11m +2m-13>0, ?

13 解得 m<- .] 11 2 2 2 5.B [(1-aix) <1,即 aix -2aix<0, 即 aix(aix-2)<0,由于 ai>0,这个不等式可以化为 2 2 ? 2? x?x- ?<0,即 0<x< ,若对每个都成立,则 应最小,

?

ai?

ai

ai

2 即 ai 应最大,也即是 0<x< .]

a1

1 3 6.(- , ) 2 2 解析 由题意知,(x-a)?(x+a)<1 ?(x-a)(1-x-a)<1 2 2 ?x -x-(a -a-1)>0. 因上式对 x∈R 都成立, 2 所以 Δ =1+4(a -a-1)<0, 1 3 2 即 4a -4a-3<0.所以- <a< . 2 2 7.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 当 x>0 时,由 log2x>1,得 x>2; 2 当 x≤0 时,由 x >1,得 x<-1. 综上可知,x 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 8.(2,3)∪(-3,-2) 解析 由导函数图象知当 x<0 时,f′(x)>0,
9

即 f(x)在(-∞,0)上为增函数; 当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 2 2 2 2 故不等式 f(x -6)>1 等价于 f(x -6)>f(-2)或 f(x -6)>f(3),即-2<x -6≤0 或 2 0≤x -6<3, 解得 x∈(2,3)∪(-3,-2). x-a 2 9.解 <0?(x-a)(x-a )<0,(2 分) x- a2 ①当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为?;(4 分) 2 2 ②当 a<0 或 a>1 时,a<a ,此时 a<x<a ;(7 分) 2 2 ③当 0<a<1 时,a>a ,此时 a <x<a.(10 分) 2 综上,当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|a<x<a }; 2 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|a <x<a}; 当 a=0 或 a=1 时,原不等式解集为?.(12 分) 2 10.解 由 ax +bx+c≥0 的解集为 ? ? 1 ?x|- ≤x≤2?,知 a<0,(3 分) 3 ? ? 1 c ? ? 又?- ??2= <0,则 c>0. a ? 3? 1 2 又- ,2 为方程 ax +bx+c=0 的两个根,(6 分) 3 b 5 b 5 ∴- = ,即 =- . a 3 a 3 c 2 5 2 又∵ =- ,∴b=- a,c=- a.(8 分) a 3 3 3 2 ? ? 2 ? 5 ? 2 ∴不等式 cx +bx+a<0 变为?- a?x +?- a?x+a<0, ? 3 ? ? 3 ? 2 即 2ax +5ax-3a>0. 2 又∵a<0,∴2x +5x-3<0, ? 1? ∴所求不等式的解集为?x|-3<x< ?.(12 分) 2? ? 2 11.解 (1)∵x∈R 时,有 x +ax+3-a≥0 恒成立, 2 2 需 Δ =a -4(3-a)≤0,即 a +4a-12≤0, ∴-6≤a≤2.(4 分) 2 (2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x +ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):

①如图(1),当 g(x)的图象恒在 x 轴上方,满足条件时, 2 有 Δ =a -4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.(7 分) ②如图(2),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0, Δ ≥0, ? ? a 即?x=- <-2, 2 ? ?g - 0,

10

a- -a ? ? a 即?- <-2, 2 ? ?4-2a+3-a≥0

2



a≥2或a≤-6, ? ?a>4, ?? 7 a≤ , ? ? 3

解之,得 a∈?.(10 分) ③如图(3),g(x)的图象与 x 轴有交点, Δ ≥0, ? ? a 但在 x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,即?x=- >2, 2 ? ?g , -a ? ? a 即?- >2, 2 ? ?4+2a+3-a≥0

a2-



a≥2或a≤-6, ? ? ??a<-4, ? ?a≥-7

?-7≤a≤-6.(13 分) 综合①②③,得 a∈[-7,2].(14 分)

11


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