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离散性随机变量的概念



离散性随机变量的概念
知识归纳 1.离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量. 如果随机变量所有可能取的值, 可以按一 定次序一一列出,这样的随机变量叫做 随机变量. 如果随机变量可以取某一区间内 的一切值,这样的随机变量叫做 随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1、x2、?、xi、?、xn,X 取每个值 xi(i=1,2,? n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表

为随机变量 X 的分布列. X 的分布列也可简记为: P(X=xi)=pi,i=1、2、?、n. (2)离散型随机变量的两个性质: ①pi≥0,i=1,2,?n; ②p1+p2+p3+?pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 3.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为

其中 0<p<1, 则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布, 称 p=P(X=1)为成功概率.
4.条件概率 一般地,设 A、B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A) = P(AB) 为在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率, P(A)

一般把 P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间,即 0≤P(B|A)≤1,如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B ∪C|A)= 5.事件的独立性 设 A、B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与 B 相互独立.

(1)如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立.

(2)如果 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B),即事件 A 的发生与否不影响事件 B 的发生. (3)对于 n 个事件 A1、A2、?、An,如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件的影响, 则这 n 个事件 A1、A2、?、An 相互独立.如果 A1、A2、?、An 相互独立,那么 P(A1A2?An) = 6.独立重复试验与二项分布 (1)一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.各次试验的结果不 受其它试验的影响. (2)一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生 的概率都为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k n-k P(X=k)=Ck ,k=0,1,2,?,n. np (1-p)

则称随机变量 X 服从参数为 n、P 的二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率. 7.超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}发 生的概率为

P(X=k)=

k n k CM CN-M ,k=0,1,2,?,m,(其中 m 是 M, Cn N


n 中的最小值,n≤N,M≤N,n、M、N∈N*). 称分布列 X P 0


1


? ?

m
n m Cm MCN-M n CN


n 0 1 n 1 C0 MCN-M CMCN-M n CN Cn N

为超几何分布列,如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何 分布. 超几何分布给出了求解这类问题的方法,可以当公式直接运用. 误区警示 1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别 它们是两个不同的概念,相同点都是对两个事件而言的,不同点是:“互斥事件”是说两个 事件不能同时发生, “相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有 影响. 2.对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件 第一:每次试验是在同样条件下进行.第二:各次试验中的条件是相互独立的.第三,每次 试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生 3.(1)准确理解事件和随机变量取值的意义,对实际问题中事件之间的关系要清楚. (2)认真审题, 找准关键字句, 提高解题能力. 如 “至少有一个发生” , “至多有一个发生” , “恰有一个发生”等.

一、解决概率问题的步骤 第一步,确定事件的性质:古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验,把所给问题归 结为某一种. 第二步,判断事件的运算(和事件、积事件),确定事件至少有一个发生还是同时发生等等. 第三步,运用公式求概率
m 古典概型 P(A)= n ; 互斥事件 P(A∪B)=P(A)+P(B); P(AB) 条件概率 P(B|A)= ; P(A) 独立事件 P(AB)=P(A)P(B);
k n-k n 次独立重复试验:P(X=k)=Ck . np (1-p)

1、 写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果. (1)小明要去北京旅游,可能乘火车、乘汽车,也可能乘飞机,旅费分别为 100 元、60 元和 600 元,将他的旅费记为 ξ; (2)正方体的骰子,各面分别刻着 1、2、3、4、5、6,随意掷两次,所得的点数之和为 ξ; (3)一个人要开房门,他共有 10 把钥匙,其中仅有一把是能开门的,他随机取钥匙去开门并 且用后不放回,其中打开门所试的钥匙个数为 ξ; (4)电台在每个整点都报时,某人随机打开收音机对表,他所等待的时间 ξ(min).

2、(09·广东)已知离散型随机变量 X 的分布列如右表, 若 E(X)=0, D(X)=1, , 则 a=______, b=______.

设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= 则 E(ξ)= 12 A.25 C. 13 50 23 B.25 D. 46 25

c ,k=0,1,2,3, k+1 ( )

3 一次数学摸底考试, 某班 60 名同学成绩的频率分布直方图如图所示. 若得分 90 分以上为 及格.从该班任取一位同学,其分、数是否及格记为 ξ,求 ξ 的分布列.

4 从某批产品中,有放回地抽取产品两次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A:“取出的 2 件 产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P(A)=0.96. (1)求从该批产品中任取一件是二等品的概率 p; (2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,ξ 表示取出的 2 件产品中二等品的件数,求 ξ 的分布列. 5 某学习小组有 6 个同学,其中 4 个同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2 个同学曾 经参加过数学研究性学习活动. (1)现从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到 1 个曾经参加过数学 研究性学习活动的同学的概率; (2)若从该小组中任选 2 个同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过 数学研究性学习活动的同学个数 ξ 是一个随机变量, 求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ).

6 在 100 件产品中有 95 件合格品, 5 件不合格品. 现从中不放回地取两次, 每次任取 1 件. 试 求: (1)第一次取到不合格品的概率; (2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

7 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量 ξ 表示方程 x2+bx+c=0 实根 的个数(重根按一个计). (1)求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望; (3)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下, 方程 x2+bx+c=0 有实根的概率.

8

(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (2)求 p,q 的值; (3)求数学期望 E(ξ).

9.(2010·甘肃省质检)某机械零件加工由 2 道工序组成,第 1 道工序的废品率为 a,第 2 道工序的废品率为 b,假定这 2 道工序出废品的概率彼此无关,那么产品的合格率是( ) A.ab-a-b+1 B.1-a-b C.1-ab D.1-2ab

10.(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大小 形状完全一样的小球,现从袋中同时摸出 3 只小球,用随机变量 X 表示摸出的 3 只球中的 最大号码数,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=( )
44 A. 5 7 C. 2 B. 83 10

9 D. 2

11.(2010·福建福州)在研究性学习的一次活动中,甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地 分配承担 H,I,J,K 四项不同的任务,每项任务至少安排一位同学承担. (1)求甲、乙两人同时承担 H 任务的概率; (2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率; (3)设这五位同学中承担 H 任务的人数为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ).

12.(2010·云南统考)某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试.该测试包括心 理健康测试和身体健康测试两个项目, 每个项目的测试结果为 A、B、C、 D、 E 五个等级. 假 设该单位 50 位职工全部参加了测试,测试结果如下:x 表示心理健康测试结果,y 表示身体 健康测试结果. (1)求 a+b 的值; (2)如果在该单位随机找一位职工谈话,求找到的职工在这次测试中,心理健康为 D 等级且 身体健康为 C 等级的概率; (3)若“职工的心理健康为 D 等级”与“职工的身体健康为 B 等级”是相互独立事件,求 a、 b 的值.

13.(2010·河北唐山)已知 7 件产品中有 2 件次品,现逐一不放回地进行检验,直到 2 件次 品都能被确认为止. (1)求检验次数为 4 的概率; (2)设检验次数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

14.(2010·浙江金华十校联考)质地均匀的正四面体玩具的 4 个面上分别刻着数字 1,2,3,4, 将 4 个这样的玩具同时抛掷于桌面上. (1)求与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积不能被 4 整除的概率; (2)设 ξ 为与桌面接触的 4 个面上数字中偶数的个数,求 ξ 的分布列及期望 E(ξ).

15.(2010·河南调研)甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先赢四局 者为胜,若甲、乙两人水平相当,且已知甲先赢了前两局,求: (1)乙取胜的概率; (2)比赛进行完七局的概率; (3)记比赛局数为 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ).


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