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2015人教A版高三数学(文)二轮复习 专题训练+对接高考 第1部分专题3第2讲


一、选择题 1.(2014· 杭州质量检测)设 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和.若 a4 <0,a5 >|a4 |, 则使 Sn >0 成立的最小正整数 n 为( A.6 C.8 解析 ∵a4 <0,a5 >|a4 |,∴a4 +a5 >0, ). B.7 D.9

8?a4 +a5 ? 8?a1 +a8 ? ∴S8 = = >0.∴最小正整数为 8. 2 2 答案 C ?n+1?π ,记 Sn 2

2.(2014· 广州综合测试)在数列{an }中,已知 a1 =1,an +1 -an =sin 为数列{an }的前 n 项和,则 S2 014 =( A.1 006 C.1 008 解析 由 an +1 -an =sin ). B.1 007 D.1 009

?n+1?π ?n+1?π ?an +1 =an +sin ,所以 a2 =a1 +sin π=1 2 2

+0=1,a3 =a2 +sin sin

3π =1+(-1)=0,a4 =a3 +sin 2π=0+0=0,a5 =a4 + 2

5π =0+1=1,∴a5 =a1 ,如此继续可得 an +4 =an (n∈N* ),数列{an }是一个 2

以 4 为周期的周期数列,而 2 014=4×503+2,因此 S2 014 =503×(a1 +a2 + a3 +a4 )+a1 +a2 =503×(1+1+0+0)+1+1=1 008. 答案 C

3.(2014· 成都诊断)在等差数列 {an }中,a1 =142,d=-2,从第一项起,每隔两 项取出一项,构成新的数列{bn },则此数列的前 n 项和 Sn 取得最大值时 n 的 值是( A.23 C.25 解析 ). B.24 D.26 因为从第一项起,每隔两项取出一项,构成数列 {bn },所以新数列的

首项为 b1 =a1 =142, 公差为 d′=-2×3=-6, 则 bn =142+(n-1)(-6). 令

1

2 bn ≥0,解得 n≤24 ,因为 n∈N* ,所以数列{bn }的前 24 项都为正数项,从 3 25 项开始为负数项.因此新数列{bn }的前 24 项和取得最大值.故选 B. 答案 B

4 .已知各项都为正的等比数列 {an }满足 a7 = a6 + 2a5 ,存在两项 am , an 使得 1 4 am · an =4a1 ,则 + 的最小值为( m n A. 3 2 B. 5 3 C. 25 6 ). D. 4 3

解析

由 a7 =a6 +2a5 ,得 a1 q6 =a1 q5 +2a1 q4 ,整理有 q2 -q-2=0,解得 q= am · an =4a1 , 1 m

2 或 q=-1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾, 舍去), 又由

2 m +n -2 得 am an =16a2 =16a2 1,即 a1 2 1,即有 m +n-2=4,亦即 m +n=6,那么

4 1 ? 1 4? 1?4m n ? 1? ?= ? + +5?≥ ?2 + = (m+n)? + ?m n? 6? n m ? 6? n 6 3 m +n=6,即 n=2m=4 时取得最小值 . 2 答案 A

4m n 4m n ? 3 当且仅当 = , · +5 ?= , ? 2 n m n m

二、填空题 5.(2013· 江西卷)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每 天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N* )等于________. 解析 每天植树棵数构成等比数列{an },

a1 ?1-qn ? + 其中 a1 =2,q=2,则 Sn = =2(2n -1)≥100,即 2n 1 ≥102.∴n≥6, 1-q ∴最少天数 n=6. 答案 6

6.(2014· 江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{an }中,a2 -a1 =1.当 a3 取最小 值时,数列{an }的通项公式 an =________. 解析 根据题意,由于各项均为正数的等比数列{an }中,

a2 -a1 =1,所以 q>1. a2 1 ∵ =q,∴a1 (q-1)=1,a1 = , a1 q-1

2

q2 ?q-1?2 +2?q-1?+1 ∴a3 = = q-1 q-1 =q-1+ 1 +2≥2 q-1 1 ?q-1?· +2=4, q-1

当且仅当 q=2 时取得等号,故可知数列{an }的通项公式 an =2n -1 . 答案 2n
-1

7.(2014· 咸阳一模)已知函数 f (x )=x +sin x ,项数为 19 的等差数列{an }满足 an ∈ ? π π? ?- , ? ,且公差 d≠0. 若 f (a1 ) + f (a2 ) +…+ f (a18 ) + f (a19 ) = 0 ,则 当 k = ? 2 2? ________时,f (ak)=0. 解析 因为函数 f (x )=x +sin x 是奇函数,所以图象关于原点对称,图象过原 ? π π? ? 若 f (a1 )+f (a2 )+…+f (a18 )+f (a19 ) 点. 而等差数列{an }有 19 项, an ∈? ?-2,2?, =0,则必有 f (a10 )=0,所以 k =10. 答案 10

8.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 =0,S15 =25, 则 nSn 的最小值为________. 10×9 ? ?S10=10a1+ 2 d=0, 由已知? 15×14 S = 15 a + d=25, ? 15 1 ? 2 2 解得 a1 =-3,d= ,那么 nSn 3

解析

n2 ?n-1? n3 10n2 x3 10x2 20 =n2 a1 + d= - ,由于函数 f (x )= - (x >0)在 x = 处取得 2 3 3 3 3 3 极小值也是最小值,因而检验 n=6 时,6S6 =-48,而 n=7 时,7S7 =-49. 答案 -49

三、解答题 7 63 9.(2014· 邯郸模拟)已知等比数列{an }前 n 项和为 Sn ,且满足 S3 = ,S6 = , 2 2 (1)求数列{an }的通项公式; (2)求 log2 a1 +log2 a3 +log2 a5 +…+ log2 a25 的值.

3



(1)法一

由?

7 ? ?S3=2,

? S6 = 2 , ?

63

a1 ?1-q ? 7 ? ? 1-q =2, 得? a1 ?1-q6 ? 63 ? ? 1-q = 2 ,
3

解得

1-q6 =9, 得 q=2, 1-q3

1 a1 = ,所以,通项公式为 an =2n -2 . 2

法二

? ?S3=2, 由? 63 ? S6 = 2 , ?

7

7 ? ?a1 +a2 +a3 = , 2 得? ? ?a4 +a5 +a6 =28,

1 得 q3 =8,q=2,a1 = , 2 所以,数列{an }的通项公式为 an =2n -2 . (2)因为 log2 an =n-2, 所 以 log2 a1 + log2 a3 + log2 a5 + … + log2 a25 = - 1 + 1 + 3 + … + 23 = ?-1+23?×13 =143. 2 10.(2014· 皖南八校联考)设点 Pn (an ,n)(n=1,2,…),且 P1 (1,1),Pn Pn +1 =(n+ 1,1). (1)求数列{an }的通项公式; (2)设 Sn 是数列?
?1 ? ?的前 ?an?

n 项的和,是否存在正整数 m,使得 Sn <

m-2 014 对 2

一切 n∈N* 成立?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. 解 (1)由题意得 an +1 -an =n+1,且 a1 =1, n?n+1? . 2

∴an =(an -an -1 )+(an -1 -an -2 )+…+(a2 -a1 )+a1 =1+2+…+n=

n?n+1? 即数列{an }的通项公式为 an = , 2 1 2 1 ? ?1 (2)由(1)知 = =2? - ?, an n?n+1? ?n n+1? 1 ? ? ∴Sn =2?1- ?<2. ? n+1?

4

m-2 014 若 Sn < 对一切 n∈N* 成立, 2 则 m -2 014 ≥2,∴m≥2 018.故 m 的最小值为 2 018. 2

11. 已知函数 f (x )=(x -1)2 , g(x )=4(x -1), 数列{an }是各项均不为 0 的等差数列, 其前 n 项和为 Sn ,点(an +1,S2 n -1 )在函数 f (x )的图象上;数列{bn }满足 b1 =2, bn ≠1,且(bn -bn +1 )· g(bn )=f (bn )(n∈N* ). (1)求 an 并证明数列{bn -1}是等比数列; (2)若数列{cn }满足 cn = (1)解 4
n -1

an ,证明:c1 +c2 +c3 +…+cn <3. · ?bn -1?

因为点(an +1,S2 n -1 )在函数 f (x )的图象上,所以 a2 n=S2 n -1 .

2 ?a2 ?a1 =a1 , 1=S1 , 令 n=1,n=2,得? 2 即? ?a2=S3 , ??a1 +d?2 =3a1 +3d,

解得 a1 =1,d=2(d=-1 舍去),则 an =2n-1. 由(bn -bn +1 )· g(bn )=f (bn ), 得 4(bn -bn +1 )(bn -1)=(bn -1)2 . 由题意 bn ≠1,所以 4(bn -bn +1 )=bn -1, bn +1 -1 3 即 3(bn -1)=4(bn +1 -1),所以 = . bn -1 4 3 所以数列{bn -1}是以 1 为首项,公比为 的等比数列. 4 (2)证明 ?3? ?n -1 由(1),得 bn -1= ? ?4? .

an 2n-1 2n-1 cn = n -1 = = n -1 . 4 · ?bn -1? 3 n -1 3 ? ? ? ? 4n -1 · ?4? 令 Tn =c1 +c2 +c3 +…+cn , 1 3 5 2n-3 2n-1 则 Tn = 0+ 1+ 2+…+ n -2 + n -1 ,① 3 3 3 3 3 1 1 3 5 2n-3 2n-1 Tn = 1+ 2+ 3+…+ n -1 + n ,② 3 3 3 3 3 3

5

1 1- n -1 2 1 2 2 2 2 2n-1 2 3 2n-1 ①-②得, Tn = 0+ 1+ 2+ 3+…+ n -1- n =1+ · - n =2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 1- 3 - 3
n -1-

1

2n-1 2?n+1? n+1 .所以 Tn =3- n -1 . n =2- n 3 3 3

n+1 所以 c1 +c2 +c3 +…+cn =3- n -1 <3. 3

6


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