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江西省信丰中学高中数学必修四:4.11已知三角函数值求角


§4.11 已知三角函数值求角
新课引入 学习目标 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结
作业

§4.11 已知三角函数值求角
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作业

引例

1 ? ?? 已知 sin ? ? ,且? ? ?0, ?,求? . 3

? 2?

解:

1 sin ? ? 3
? ?? ? ? ?0, ? ? 2?

?

1 ? ? ? arcsin 3

§4.11 已知三角函数值求角
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目标 1

作业

简单理解并掌握反正弦的意义

目标 2

简单理解并掌握反余弦的意义

目标 3

简单理解并掌握反正切的意义

目标 1

目标 2

目标 3

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作业

目标 1

目标 2

目标 3

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作业

一、反正弦的意义
y
? 2
? ? 2

y ?
?
0
? 2
2?
4?

2

? 2?

??

x

??

?

? 2

?

x

0
?

1. 正弦函数y ? sin x在R上无反函数;
sin ? ? a, a ? ?? 1,1?
? ? ?? ? ? ?? , ? ? 2 2?

? 2

? 2

? ? ?? ? ? ?? 2. 在?? , ?上是一一对应的,且区间简单, 称函数y ? sin x , x ? ?? , ?的反函数为反正弦函数. ? 2 2? ? 2 2?

? ? ?? ( 1 ) arcsin a 是一个角,且 arcsin a ? ; 3. 符号arcsin a的意义 ?? 2 , ? 2? ? (2)角arcsin a的正弦值恰好等于a,
即sin(arcsin a) ? a.
目标 1 目标 2 目标 3

?

?

? ? arcsin a

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作业

二、反余弦的意义
y
??
? 2?

y

?

x
2?

??

?

x

0

3?

0

1. 余弦函数y ? cos x在R上无反函数;
2. 在?0, ? ?上是一一对应的, 且区间简单,
称函数 y ? cos x, x ? ?0, ? ?的反函数为反余弦函数.

cos ? ? a, a ? ?? 1,1?
? ? ?0, ? ?

?

?

? ? arccos a

3. 符号arccos a的意义

(1) arccos a是一个角,且 arccos a ? ?0, ? ?; (2)角arccos a的余弦值恰好等于a, 即cos(arccos a) ? a.

目标 1

目标 2

目标 3

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作业

三、反正切的意义
y y
3? 2

?

??

?

?
2

0

?
2

?

3? 2

x

?

?
2

0

?
2

x

1. 正切函数 y ? tan x 在 定义域上无反函数;

? ? ?? ? ? ?? 2. 在? ? , ?上是一一对应的, 且区间简单, 称函数 y ? tan x, x ? ? ? , ? 的反函数为反正切函数 ? 2 2? ? 2 2?

3. 符号arctan a的意义

? ? ?? ? ??? , ? ? 2 2?

tan ? ? a, a ? R

?

?

? ? arctan a

? ? ?? (1) arctan a是一个角,且 arctan a ? ? ? , ?; ? 2 2? (2)角arctan a的正切值恰好等于a,
即 tan(arctan a) ? a.

目标 1

目标 2

目标 3

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作业

例题 1

例题 2

例题 3

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例题 1
(1) 已知 sin x ? 2 ? ? ?? , 且 x ? ?? , ?, 求角 x. 2 ? 2 2?

作业

解:

2 (2) 已知 sin x ? , 且 x ? ?0,? ?, 求角 x. 2 2 ? sin x ? ?0 解: ? x是第一或第二象限角, 2 ? ? 2 而 sin( ? ? ) ? sin ? 4 4 2

x ? ?? , ? ? 2 2?

2 sin x ? 2 ? ? ??

?

?

? 2 ? x ? arcsin 2 4

即 x ? arcsin

4 2 (3) 已知 sin x ? , 求角 x. 2 x ? 2k? ?
例题 1 例题 2

?x ?

?

4

或 x ?? ?

2 ? 2 ? 3? ? 或 x ? ? ? arcsin ?? ? ? 2 4 2 4 4

?

?

3? 4

?

4

或 x ? 2k? ?

3? 4

例题 3

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例题 2

作业

2 解: cos x ? 0.7660 ? x ? arccos 0.7660 ? ? x ? ?0, ? ? 9
(2) 已知 cos x ? 0.7660, 且 x ? ?0,2? ?, 求角 x.

(1) 已知 cos x ? 0.7660, 且 x ? ?0, ? ?, 求角 x.

?

? cos x ? 0.7660 ? 0 ? x是第一或第四象限角, 解:
而 cos( 2? ?

2 2 16 即 x ? arccos 0.7660 ? ? 或 x ? 2? ? arccos 0.7660 ? 2? ? ? ? ? 9 9 9

2? 2? ) ? cos ? 0.7660 9 9

2 2 16 ? x ? ? 或 x ? 2? ? ? ? ? 9 9 9

(3) 已知 cos x ? 0.7660, 求角 x.

2 16 x ? 2k? ? ? 或 x ? 2k? ? ? 9 9
例题 1 例题 2 例题 3

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例题 3

作业

1 解: x ? ? 10
解: x ?

1 ? ? ?? (1) 已知 tan x ? , 且 x ? ? ? , ?, 求角 x. 3 ? 2 2?

1 (2) 已知 tan x ? , 且 x ? ?0,2? ?, 求角 x. 3

1 11 ? 或x? ? 10 10

1 (3) 已知 tan x ? , 求角 x. 3

解: x ? k? ?

1 ? 10

例题 1

例题 2

例题 3

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作业

练习 1

练习 2

练习 3

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练习 1

作业

3 , 分别求符合下列条件角 x. 2 ? 解:( 1 ) x ? (1) x为锐角; 3 ? 2? (2) x为三角形的内角; (2)x ? 或 3 3 (3) x为第二象限角; 2? (3)x ? 2k? ? ,k ?Z (4) x ? R 3 ? 2? (4)x ? 2k? ? 或x ? 2k? ? ,k ?Z 3 3 ? ? 2k ? ? x ? 2k? ? ? 2k? ? ? (2k ) ? ? ? (?1) ? 3 3 3 2? ? ? 而 x ? 2k? ? ? 2k? ? ? ? ? (2k ? 1)? ? (?1) 2 k ?1 ? 3 3 3 已知 sin x ?

? x ? k? ? (?1) ?
k

?

3

练习 1

练习 2

练习 3

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练习 2

作业

求符合下列条件角 x的集合.

(1) 2 cos x ? 2 (2) 3 tan 2 x ? 1 ? 0; (3) sin x ? ? 3 ; 5

x ? R;

? ? ? 解:( 1 )x ? ? x | x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 ? ? ? ? ? (2)x ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 6 ? ? ? ? 3 k (3)x ? ? x | x ? k? ? (?1) ? arcsin ,k ?Z? 5 ? ?
练习 1 练习 2 练习 3

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练习 3
直角三角形?ABC中,锐角A、B满足: 2 cos 2 B ? tan A ? sin A ? 1, 求?A. 2

作业

练习 1

练习 2

练习 3

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作业

小结 1

小结 2

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小结 1

作业

1. arcsin a的意义 (1) arcsin a是一个角,且 arcsin a ? ? ?

(2) sin(arcsin a) ? a.

? ? ?? , ?; ? 2 2?

2. arccos a的意义 (1) arccos a是一个角,且 arccos a ? 0, ? ;

? ?

(2) cos(arccos a) ? a.
? ? ?? ( 1 ) arctan a 是一个角,且 arctan a ? 3. arctan a的意义 ? ? , ?; ? 2 2? (2) tan(arctan a) ? a.

小结 1

小结 2

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小结 2

作业

若 sin ? ? a

则? ? k? ? (?1) k ? arcsin a, k ? Z
则? ? 2k? ? arccos a, k ? Z

若 cos ? ? a

若 tan ? ? a

则? ? k? ? arctan a, k ? Z

小结 1

小结 2

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