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北京2013届顺义区高三数学一模理科试题及答案


顺义区 2013 届高三第一次统练数学试卷(理工类)201304
一、选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? x ? R 2 x ? 1 ? 0 , B ? x ? R ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0 ,则 A ? B ? A. ?? ?,?1? B. ? ? 1,?

r />
?

?

?

?

? ?

1? ? 2?

C. ? ?

? ?

1 ? ,2 ? 2 ?

D. ?2,?? ?

2.在复平面内,复数 A. ?0,?1?

1 ? 2i 对应的点的坐标为 2?i
B. ?0,1? C. ?

?4 3? ,? ? ?5 5?

D. ?

?4 3? , ? ?5 5?

3.参数方程 ?

?x ? 2 ? t, (为参数)与极坐标方程 ? ? sin ? 所表示的图形分别是 ? y ? ?1 ? 2t
B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线

A.直线、直线

4.已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 2, k ? ,且 a ? (2a ? b) ,则实数 k ? A. ? 14 B. ? 6 C.6 D.14

?

? ?

5.如图, AB, AC 分别与圆 O 相切于点 B, C , ADE 是⊙ O 的割线,连接 CD, BD, BE , CE .则

A. AB ? AD ? DE
2

B. CD ? DE ? AC ? CE

C. BE ? CD ? BD ? CE

D. AD ? AE ? BD ? CD

6.从 0,1 中选一个数字,从 2,4,6 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 A.36 B.30 C.24 D.12

? x ? y ? 4, ? 2 2 7.设不等式组 ? y ? x ? 0, 表示的平面区域为 D .若圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2 ?x ? 1 ? 0 ?
点,则 r 的取值范围是 A. 2 2 ,2 5

?r ? 0? 不经过区域 D 上的

?

?

B. 2 2 ,3 2

?

?

C. 3 2 ,2 5

?

?

D. 0,2 2 ? 2 5 ,??

?

? ?

?
-1-

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8.已知函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) .则下列

?

?

6

2

结论正确的是 A. f ?

? 11 ? ? ? ? ?1 ? 12 ?

B. f ?

? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ?5?
? ?

C. f ? x ? 是奇函数

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 .

10.在 ?ABC 中,若 b ? 4, cos B ? ?

1 , sin A ? 4

15 ,则 a ? 8

,c ?

.

11.下图是根据 50 个城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的 范 围 是

?20.5,26.5?

,

















?20.5,21.5?

,

?21.5,22.5? , ?22.5,23.5? , ?23.5,24.5? , ?24.5,25.5? , ?25.5,26.5? .由图中数据可知 a ?
气温不低于 23.5℃的城市个数为 .

;样本中平均

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12. 已 知 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f ? x ? 在 ?? ?,0? 上 是 减 函 数 , 且 f ? 为 .
2

?1? x ? ? 2 ,则不等式 f 2 ? 2 的解集 ?2?

? ?

13.在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l, P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂 足.如果直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,那么 PF ? .

14.函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如,函数

f ?x ? ? x ? 1?x ? R ? 是单函数.下列命题:
①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos? 2?x ? (I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 在区间 ??

? ?

??

?? ? 2 ? ? cos? 2?x ? ? ? 1 ? 2 sin ?x, ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 6? 6? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 4 3? ?

16.(本小题满分 13 分) 已知 ?a n ? 为等差数列,且 a 2 ? ?1, a5 ? 8 . (I)求数列 a n 的前 n 项和; (II)求数列 2 n ? a n 的前 n 项和.

? ?

?

?

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17.(本小题满分 13 分) 现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为 向乙靶射击一次,命中的概率为 手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

3 ,每命中一次得 1 分,没有命中得 0 分; 4

2 ,命中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射 3

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax?a ? 0 ?, g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 . 3

(I)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线,求 a, b 的值; (II)当 a ? 1 ? 2b 时,若函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 ? 2b ? 1 时,求函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值.

19.(本小题满分 14 分)

x2 2 已 知 椭 圆 C : 2 ? y ? 1?a ? 1? 的 上 顶 点 为 A , 左 焦 点 为 F , 直 线 AF 与 圆 a
1? ? M : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 ? 0,? ? 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点. 2? ?
(I)求椭圆 C 的方程; (II)当 ?APQ 的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且点 ?n, S n ? 在函数 y ? 2 (I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ?满足: b1 ? 0, bn ?1 ? bn ? a n ?n ? N *? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式; (III)在第(II)问的条件下,若对于任意的 n ? N * 不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,求实数 ? 的取值范围.
x ?1

? 2 的图像上.

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顺义区 2013 届高三第一次统练 一、1、B 2、A 3、B

数学试卷(理工类)参考答案 7、D 8、D

4、D 5、C 6、C

1、 【答案】B 解析: A ? {x x ? ? } , B ? {x ?1 ? x ? 2},所以 A ? B ? {x ?1 ? x ? ? } ,选 B.

1 2

1 2

2、 【答案】A 解析:

1 ? 2i (1 ? 2i)(2 ? i) ?5i ? ? ? ?i ,所以对应点的坐标为 (0, ?1) ,选 A. 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5

3、 【答案】 解析: B 将参数方程 ?

?x ? 2 ? t, 消去参数 t 得 2 x ? y ? 5 ? 0 , 所以对应图形为直线。 ? ? sin ? 由 ? y ? ?1 ? 2t
2

1 ,对应图形为圆,所以选 B. 4 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4、 【答案】D 解析:因为 a ? (2a ? b) ,所以 a ? (2a ? b) ? 0 ,即 2 a ? a ? b ? 0 ,所以 2 ? 5 ? (?4 ? k ) ? 0 ,
得 ? 2 ? ? sin ? ,即 x2 ? y 2 ? y ,即 x ? ( y ? ) ?
2

1 2

解得 k ? 14 。选 D. 5、 【答案】C 解析:由切线长定理知 AB ? AD ? AE ,所以 A 错误。选 C.
2

2 1 2 2 3 2 6、 【答案】 解析: C 若选 1, 则有 C3 C2 A2 ? 12 种。 若选 0, 则有 C3 ( A3 ? A2 ) ? 12 种, 所以共有 12 ? 12 ? 24 ,

选 C. 7、 【答案】D 解析:不等式对应的区域为 ABE.圆心为 (?1, ?1) ,区域中,A 到圆心的距离最小,B 到圆心的 距离最大,所以要使圆不经过区域 D,则有 0 ? r ? AC 或 r ? BC .由 ?

?x ? 1 ?x ? 1 得? ,即 A(1,1) 。由 ?y ? x ?y ?1

?x ? 1 ?x ? 1 ,3) 。所以 AC ? 2 2 , BC ? 2 5 ,所以 0 ? r ? 2 2 或 r ? 2 5 ,即 r ,得 ? ,即 B(1 ? ? y ? ?x ? 4 ?y ? 3
的取值范围是 (0, 2 2) ? (2 5, ??) ,选 D.

8、 【答案】D 解析:因为 f ( x) ? f ( ) 恒成立,所以

?

6

? ? ? 是函数的对称轴,即 2 ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,所 6 2 6

以? ?

?

? k? , k ? Z , f ( ) ? ( )? , f i n i ? 又 所以 sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) , ? s ? s 即 n 6 2
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?

? , sin ? ? 0 , 所以
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所以 ? ?

?
6

,即 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) 。由 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,即

函数的单调递增区间是 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? ,所以 D 正确,选 D.

二、9. ? 2 ;10. 2,3

;11.0.18,33;12. ?? 1,?? ? ;13.4;14.③

1 ?1 3 ?1 1 1 ? ;第二次循环, i ? 3, s ? 2 9、 【答案】 ? 2 解析:第一次循环, i ? 2, s ? ? ? ;第三次循环, 1 3 ?1 2 3 ?1 2 1 ? ?1 i ? 4, s ? 3 ? ?2 ;第四次循环,不满足条件,输出 s ? ?2 。 1 ? ?1 3
10、 【答案】 2,3 解析:由 cos B ? ?
2 2 2 2

1 a b 15 2 ? 得, sin B ? 1 ? cos B ? 。由正弦定理 得a ? 2。 4 sin A sin B 4

又 b ? a ? c ? 2ac cos B ,即 c ? c ? 12 ? 0 ,解得 c ? 3 。 11、 【答案】0.18,33 解析:因为 (0.10 ? 0.12 ? 2 ? a ? 0.22 ? 0.26) ?1 ? 1 ,所以 a ? 0.18 。不低于 23.5℃ 的频率为 (0.18 ? 0.22 ? 0.26) ?1 ? 0.66 ,所以样本中平均气温不低于 23.5℃的城市个数为 0.66 ? 50 ? 33 。 12、 【答案】 ?? 1,?? ? 解析:因为函数为你偶函数,所以 f (? ) ? f ( ) ? 2 ,且函数在 (0, ??) 上递增。所

1 2

1 2

x 以由 f (2 ) ? 2 得 2 ?
x

1 x ,即 x ? ?1 ,所以不等式 f 2 ? 2 的解集为 ?? 1,?? ? 。 2

? ?

13、 【答案】4 解析:抛物线的焦点坐标为 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 。因为直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,所 以 ?AFO ? 60 ,又 tan 60 ?
0

?

yA 2 , 所以 yA ? 2 3 。 因为 PA ? l , 所以 yP ? yA ? 2 3 ,代入 y ? 4 x , 1 ? (?1)

得 xA ? 3 ,所以 PF ? PA ? 3 ? (?1) ? 4 . 14 、【 答 案 】 ③ 解 析 : ① 若 f ( x)? x? 2 x 则 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 得 x12 ? 2x1 ? x22 ? 2x2 , 即 ,
2

?log 2 x, x ? 2, ( x1 ? x2 ) ( x1? x2? 2 )? ,解得 x1 ? x2 , 或x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,所以①不是单函数。②若 f ? x ? ? ? 0 ?2 ? x , x ? 2
则由函数图象可知当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,时, x1 ? x2 ,所以②不是单函数。③根据单函数的定义可知,③正确。 ④在在定义域内某个区间 D 上具有单调性, 单在整个定义域上不一定单调, 所以④不一定正确, 比如②函数。 所以真命题为③。
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三、 15.解:(I)

f ? x ? ? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x

?? ? ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin ? 2?x ? ? .?????? ???5 分 4? ?
因为 f ? x ? 是最小正周期为 ? ,所以 (II)由(I)可知, f ? x ? ? 因为 ?

2? ? ? ,因此 ? ? 1 .?? ??7 分 2?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?
?
4 ? 2x ?

?
4

?x?

?
3 ?

,所以 ?

?
4

?

于是当 2 x ? 当 2x ?

?

?
2

?

4 4

,即 x ?

?
8

11? .???? ????9 分 12

时, f ? x ? 取得最大值 2 ;???????11 分

??

?
4

,即 x ? ?

?
4

时, f ? x ? 取得最小值 ? 1 .?????13 分

16.解:(I)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d , 因为 a 2 ? ?1, a5 ? 8 ,所以 ?

?a1 ? d ? ?1, ?a1 ? 4d ? 8

解得 a1 ? ?4, d ? 3 ,? ???2 分

所以 a n ? ?4 ? 3?n ? 1? ? 3n ? 7 ,?????????????????3 分 因此 a n ? 3n ? 7 ? ?

?? 3n ? 7, n ? 1,2, ???????????????4 分 ?3n ? 7, n ? 3

记数列 a n 的前 n 项和为 S n , 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 4 , 当 n ? 2 时, S 2 ? a1 ? a 2 ? 5 , 当 n ? 3 时, S n ? S 2 ? a3 ? a 4 ? ? ? a n ? 5 ? ?3 ? 3 ? 7 ? ? ?3 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ?3n ? 7 ? =5 ?

? ?

?n ? 2??2 ? ?3n ? 7 ?? ?
2

3 2 11 n ? n ? 10 , 2 2

又当 n ? 2 时满足此式,

?4, n ? 1, ? 综上, S n ? ? 3 2 11 ????????????????8 分 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 2 ?
(II)记数列 2 n a n 的前 n 项和为 Tn .
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?

?

-7-

则 Tn ? 2a1 ? 2 2 a 2 ? 2 3 a3 ? ? ? 2 n a n ,

2Tn ? 2 2 a1 ? 2 3 a 2 ? 2 4 a3 ? ? ? 2 n a n ?1 ? 2 n ?1 a n ,
所以 ? Tn ? 2a1 ? d 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? 2 n ?1 a n . 由(I)可知, a1 ? ?4, d ? 3, a n ? 3n ? 7 , 所以 ? Tn ? ?8 ? 3 ?

?

?

4 1 ? 2 n ?1 ? ?3n ? 7 ? ? 2 n ?1 ? ?20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 , 1? 2

?

?

故 Tn ? 20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 .??????????????????13 分 17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件 A ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件 B ,“该射手第二次 射击甲靶命中”为事件 C ,“该射手射击乙靶命中”为事件 D . 由题意知, P ?B ? ? P ?C ? ?

所以 P? A? ? P BC D ? P BC D ? P BCD ? P?B ?P?C ?P D ? P?B ?P C P?D ? ? P B P?C ?P?D ?

?

? ?

3 2 , P ?D ? ? , 4 3

? ?

?

? ?

??

??

?

7 3 3 ? 2? 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 .?? ????4 分 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 4 ? 3? 4 ? 4? 3 ? 4 ? 4 3 16

(II)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

3? ? 3? ? 2? 1 ? , P ? X ? 0 ? ? P B C D ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 48 ?
P? X ? 1? ? P BC D ? P BC D ?
P? X ? 2 ? ? P BC D ? P BC D ? P? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

?

?

? ?

?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? . 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 8 3 3 ? 2? ? 3? ? 3 ? 2 11 , ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? ? 4? ? 4 ? 3 48 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4

?

? ?

?

?

? ?

?

P? X ? 4? ? P?BCD ? ?
故 X 的分布列是

3 3 2 3 ? ? ? , 4 4 3 8

X

0

1

2

3

4

P
????????8 分

1 48

1 8

11 48

1 4

3 8

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-8-

所以 EX ? 0 ?

1 1 11 1 3 17 .?????????9 分 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 48 8 48 4 8 6

(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件 A1 ,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射 击未命中”为事件 B1 ,“该射手向甲靶射击命中 2 次且向乙靶射击命中”为事件 B2 ,则 A1 ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件.

P? A1 ? ? P?B1 ? ? P?B2 ? ?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 3 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? . 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 4 4 3 2
1 .???13 分 2

所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为 18.解:(I) f ?? x ? ? x ? a, g ?? x ? ? 2bx .
2

因 为 曲 线 y ? f ? x ? 与 曲 线 y ? g ? x ? 在 它 们 的 交 点 ?1, c ? 处 具 有 公 共 切 线 , 所 以 f ?1? ? g ?1? , 且

f ??1? ? g ??1? ,


1 1 1 ? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b ,解得 a ? , b ? .??????3 分 3 3 3

(II)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b 时,

h? x ? ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a , 3 2

h ?? x ? ? x 2 ? ?1 ? a ?x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? ,
令 h ?? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
— ↘

a
0 极小值

?a,?? ?
?


h? x ?

所以函数 h? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ;单调递减区间为 ?? 1, a ? ,?????6 分 故 h? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减, 从而函数 h? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当

?h?? 2 ? ? 0, 1 ? ? 1? ?h?? 1? ? 0, 解得 0 ? a ? ,所以 a 的取值范围是 ? 0, ? .???? ???9 分 3 ? 3? ?h?0 ? ? 0 ?
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(III)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b ? 1 时, h? x ? ?

1 3 x ? x ?1. 3

由(II)可知,函数 h? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ;单调递减区间为 ?? 1,1? . ①当 t ? 3 ? ?1 时,即 t ? ?4 时, h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为

h?t ? 3? ?

1 ?t ? 3?3 ? ?t ? 3? ? 1 ? 1 t 3 ? 3t 2 ? 8t ? 5 ; 3 3

②当 t ? ?1 且 ? 1 ? t ? 3 ? 1 ,即 ? 4 ? t ? ?2 时, h? x ? 在区间 ?t ,?1? 上单调递增,在区间 ?? 1, t ? 3? 上单调 递减,所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?? 1? ? ?

1 ; 3

当 t ? ?1 且 t ? 3 ? 1 ,即 ? 2 ? t ? ?1 时,t+3<2 且 h(2)=h(-1),所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为

h?? 1? ? ?

1 ; 3

③当 ? 1 ? t ? 1 时, t ? 3 ? 2 ? 1 ,

h? x ? 在区间 ?t ,1? 上单调递减,在区间 ?1, t ? 3? 上单调递增,而最大值为 h?t ? 与 h?t ? 3? 中的较大者.
由 h?t ? 3? ? h?t ? ? 3?t ? 1??t ? 2 ? 知,当 ? 1 ? t ? 1 时, h?t ? 3? ? h?t ? , 所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?t ? 3? ?

1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5 ;??13 分 3

④当 t ? 1 时, h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为

h?t ? 3? ?

1 3 t ? 3t 2 ? 8t ? 5 .??????????????????14 分 3
2 2
2 2

19.解:(I)将圆 M 的一般方程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化为标准方程 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 3 ,则圆 M 的圆 心 M ?? 3,1? ,半径 r ?

3 .由 A?0,1?, F ?? c,0 ? c ? a 2 ? 1 得直线 AF 的方程为 x ? cy ? c ? 0 .

?

?

由直线 AF 与圆 M 相切,得

?3?c ?c 1? c2

? 3 ,所以 c ? 2 或 c ? ? 2 (舍去).
x2 ? y 2 ? 1 .??? ???5 分 3
1 . 2

当c ?

2 时, a 2 ? c 2 ? 1 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k , 则直线的方程为 y ? kx ? 因为点 ? 0,?

? ?

1? ? 在椭圆内,所以对任意 k ? R ,直线都与椭圆 C 交于不同的两点. 2?

1 ? ? y ? kx ? 2 , 9 ? 由? 2 得 ?1 ? 3k 2 ?x 2 ? 3kx ? ? 0 . 4 ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?
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设点 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ?, ? x 2 , y 2 ? ,则

y1 ? kx1 ?

1 1 3k 9 , , y 2 ? kx 2 ? , x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? ? 2 2 2 1 ? 3k 4 1 ? 3k 2

?

?

所以 PQ ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

?

?1 ? k ???x
2

1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 2

?

3 1 ? k 2 1 ? 4k 2 . 1 ? 3k 2

?

??

?

又因为点 A?0,1? 到直线 y ? kx ?

3 1 的距离 d ? , 2 2 k 2 ?1

所以 ?APQ 的面积为 S ? 设t ?

1 9 1 ? 4k 2 PQ ? d ? .??????????10 分 2 4 1 ? 3k 2

?

?

1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 且 k 2 ? ? , 2 3t 3 1 ? 3k

S?

9 4 1 9 t? ? ? 4 3t 3 4

4t t 2 9 1 4 2 ? ? ? ?t ? 2 ? ? . 3 3 4 3 3
1 ? 1 ,即 k ? 0 . 1 ? 3k 2

因为 0 ? t ? 1 ,所以当 t ? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大,此时 故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y ? ? 20.解:(I)由题意可知, S n ? 2 n ?1 ? 2 . 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2
1?1

1 .???????14 分 2

?

?

? 2 ? 2 也满足上式,

所以 a n ? 2 n ?n ? N *? .??????????????????????3 分 (II)由(I)可知 bn ?1 ? bn ? 2 n ?n ? N *? ,即 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? . 当 k ? 1 时, b2 ? b1 ? 2 ,???①
1

当 k ? 2 时, b3 ? b2 ? 2 2 ,所以 ? b3 ? b2 ? ?2 2 ,???② 当 k ? 3 时, b4 ? b3 ? 2 3 ,???③ 当 k ? 4 时, b5 ? b4 ? 2 4 ,所以 ? b5 ? b4 ? ?2 4 ,???④ ?? 当 k ? n ? 1 时( n 为偶数), bn ? bn ?1 ? 2 n ?1 ,所以 ? bn ? bn ?1 ? ?2 n ?1 ??? n ? 1 以上 n ? 1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1
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?

2 1 ? ?? 2 ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?1 ? 2 ? ? 2
n ?1

n

3

3

?

2 . 3

又 b1 ? 0 ,所以,当 n 为偶数时, bn ?

2n 2 ? . 3 3
2 1 ? ?? 2 ? 1 ? ?? 2 ?

同理,当 n 为奇数时, ? bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1 ?

?

n ?1

? ? 2?2
3

n

,

所以,当 n 为奇数时, bn ?

2n 2 ? .?????????????????6 分 3 3

因此,当 n 为偶数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
2 ? 2n 2 ? 2 ? ? 23 2 ? ? 2 4 2 ? ?2 2? ?2 ?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3 3? ? 3 3? ?3 3? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?

2 22 2n 1 2 1 ? 2n 2 n ?1 2 ? ? ??? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 1? 2 3 3
当 n 为奇数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn
2 ? 2 n ?1 2 ? ? 2 n 2 ? 2? ?2 2? ?2 ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 3 ? 3 ??? 3 ? 3 ? ? ? ? 3? ?3 3? ? 3 ? ? ? ? ?

?

?

? 2 22 2 n ? 2 2 n ?1 4 ?? ? ?? ? ??? ? . ?3 3 3 ? 3 3 3 ? ?
? 2 n ?1 2 ? ? ? 3 3 故数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ? ? n ?1 ?2 ? 4 ? 3 3 ? ? 2n 2 ? ? ? 3 3 (III)由(II)可知 bn ? ? n ?2 ? 2 ? 3 3 ?

?n为偶数? ?n为奇数?
.??????????8 分

?n为偶数? ?n为奇数?

①当 n 为偶数时,

bn bn ?1

2n 2 ? 2n ? 2 1 3 3 , ? n ?1 3 ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

所以

bn b b 随 n 的增大而减小,从而,当 n 为偶数时, n 的最大值是 2 ? 1 . bn ?1 bn ?1 b3

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②当 n 为奇数时,

bn bn ?1

2n 2 ? 2n ? 2 1 3 3 , ? n ?1 3 ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

所以

bn b 1 3 1 ? ? 1. 随 n 的增大而增大,且 n ? ? n ?1 bn ?1 bn ?1 2 2 ? 2 2 bn 的最大值是 1. bn ?1

综上,

因此,若对于任意的 n ? N * ,不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,只需 ? ? 1 , 故实数 ? 的取值范围是 ?1,?? ? .??????????????????13 分

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