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高一数学重要知识点总结



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高一数学知识总结
必修一 一、集合 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如: 由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集 合 3.集合的表示:{ … } 如: {我校的篮球队员},{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 : A={ 我 校 的 篮 球 队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大 括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn 图: 4、集合的分类: (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 ? B 或 B? ?A A? 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集 合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子 集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B

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3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真 子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数 y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b 属于 Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b 属于 Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b 属于 Q) 指数函数对称规律: 1、函数 y=a^x 与 y=a^-x 关于 y 轴对称 2、函数 y=a^x 与 y=-a^x 关于 x 轴对称 3、函数 y=a^x 与 y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数 y=loga^x 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; ○ M 2 log a ? loga M - loga N ; ○ N 3 loga M n ? n loga M (n ? R) . ○ 注意:换底公式 logc b c ? 0, b ? 0) (a ? 0, 且 a ? 1; 且 c ? 1; . loga b ? logc a 幂函数 y=x^a(a 属于 R) 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂 函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过点 (1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时, 幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数. 在 第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限 地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限 地逼近 x 轴正半轴.

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方程的根与函数的零点 1 、 函 数 零 点 的 概 念 : 对 于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有 交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函 ○ 数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函 数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函 数的图象与 x 轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二 阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次 函数无零点. 三、平面向量 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、 OB, 以 OA、 OB 为邻边作平行四边形 OACB, 则以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的 平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a,有:0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,-(-a)=a,零向量的相 反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

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数乘运算 实数λ与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa| =|λ||a|,当λ > 0 时,λa 的方向和 a 的方向相同,当λ < 0 时,λa 的方 向和 a 的方向相反,当λ = 0 时,λa = 0。 设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λ μ)a = λa μa(3) λ(a ± b) = λa ± λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量 a、b,那么|a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积或内积,记作 a?b,θ是 a 与 b 的夹角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为 0。 a?b 的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数 1、善于用“1“巧解题 2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域 最 值

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

时 , ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小 值

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x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调 性



? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? ?? ? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ??? 上是增函数. ? k ??? 上是减函数.

?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

? k ??? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2 对 称 中 心



? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

无对称轴

必修四 角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?

? n ? ?* ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n 份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来
? 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 口诀:奇变偶不变,符号看象限.
是第几象限对应的标号即为

?

公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα

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公式六: π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上 k∈Z)

其他三角函数知识: 同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ? cotα=1 sinα ? cscα=1 cosα ? secα=1 商的关系: sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)

两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式

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sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα ? tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα ? tanβ

倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 2tanα tan2α=————— 1-tan^2(α)

半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) 1-cosα sin^2(α/2)=————— 2 1+cosα cos^2(α/2)=————— 2 1-cosα tan^2(α/2)=————— 1+cosα

万能公式

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⒌万能公式 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan^2(α/2) 1-tan^2(α/2) cosα=—————— 1+tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan^2(α/2)

和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式 α+β α-β sinα+sinβ=2sin—----? cos—--2 2 α+β α-β sinα-sinβ=2cos—----? sin—---2 2 α+β α-β cosα+cosβ=2cos—-----? cos—----2 2 α+β α-β cosα-cosβ=-2sin—-----? sin—----2 2 积化和差公式 ⒏三角函数的积化和差公式 sinα ? cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα ? sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα ? cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα ? sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]


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