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2.3对数⑶教案


§2.3 对数函数(3)对数的运算性质
课 题:2.3 对数⑶对数的运算性质 教学目标:1.了解对数换底公式; 2.会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数; 3.会用换底公式进行一些简单的化简与证明; 4.了解对数的发明历史以及对数在简化运算中的作用. 重点难点:重点——运用换底公式; 难点——运用换底公式. 教学教程:一、问题情境 问题 1:在生产实践和科学研究中,经常要求一些对数的近似值 ,如在前面我们 曾经由 1.0225x=1.5,得 x=log1.02251.5,用数学用表、 计算器只能计算常用对数,怎样求 log1.02251.5 呢? 二、学生活动 怎样求 log1.02251.5? 必须将其转化成用常用对数表示 , 怎样把它化成常用对数 呢? 证明:设 t= log1.02251.5,则 1.0225t=1.5, 两边取常用对数,得 lg1.0225t=lg1.5 tlg1.0225=lg1.5 lg1.0225 t= lg1.5 lg1.0225 ∴ log1.02251.5= lg1.5 ≈18.2 对照课本 P53 思考⑴中的解法,比一比哪个方法更简单. 三、建构数学 logcN 一般地,有 logaN= log a c 其中 N>0,a>0,c>0 且 a≠1,c≠1.此公式称为对数的换底公式(change of base formula). 证明:设 t= logaN,则 at=N, 两边取对数,得 logcat=logcN tlogca=logcN logcN t= log a c logcN ∴ logaN= log a c 四、数学运用 1.例题 例 1 计算 log89 ⑴log227×log316 ⑵log 3 2 lg27 lg16 3lg3 4lg2 解: ⑴log227×log316= lg2 · lg3 = lg2 · lg3 =12 lg9 lg8 log89 2lg3 lg2 2 ⑵log 3 = lg3 = 3lg2·lg3 = 3 2 lg2

1 m ⑵log nbm= logab logba a n 1 lgb 证明:⑴右边= lga = lga =logab=左边 ∴原式得证 lgb lgbm mlgb m lgb m ⑵左边= lgan = nlga = n ·lga = n logab=右边 ∴原式得证 例3 党的十六大提出我国下一阶段奋斗目标是全面建设小康社会,在 2000 年基 础上再次实现国民生产总值(GDP)翻两番的目标.若我国 GDP 年平均增长 7.8%,问 经过多少年,就能实现翻两番的目标? 解:设经过 x 年,能实现翻两番的目标,2000 年我国国民生产总值(GDP)为 1. 由题意得 (1+7.8%)x=4 1.078x=4 lg4 x=log1.0784=lg1.078≈18.5 答:经过 19 年后,我国 GDP 就能实现翻两番的目标. 例 4 要测定出土的古代动植物年代,可以采用放射性碳法:动植物体内含有微量 的放射性元素 14C.动植物死亡后,不再产生 14C,且原有的 14C 会自动衰变,经过 5730 年,它的残留量只有原始量的一半 (半衰期).从我国辽东半岛发掘的古莲子还能发 芽开花,已测得古莲子中 14C 的残留量是原来的 87.9%,判断古莲子的埋藏年代. 解:设每经过一年,残留量是占原来的比率是 a,则经过 x 年, 1 残留量 y=ax,x=5730 时,y=2,得 1 a5730= 2 1 两边取常用对数,得 5730lga=lg2 lg2 lga=-5730 又由 y=87.9%=0.879 可知 ax=0.879 xlga=lg0.879 lg0.879 5730lg0.879 x= lga =- ≈1066 lg2 答:古莲子是约 1066 年前的遗物. 2.练习 P63 练习 1~4 五、回顾小结 本课学习了对数的换底公式,及运用换底公式计算,证明.在没有计算机的年代, 对数运算极大地简化了一些繁琐的计算,著名数学家拉普拉斯曾说:”对数把天文学 家的寿命延长了许多倍”. 例 2 求证:⑴logab= 六、课外作业 1.P63 习题§2.3⑴6~8 2.预习课本 P65~69 §2.2.2 对数函数


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