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2015-7-13 7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(1)


7.3二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题

1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是 ( ) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 2.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域 内,则m的取值范围是( ) A.m≥1 B.m≤1 C.m<1 D.m>1

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1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+ By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面 区域(半平面) 不包括 边界直线,不等式 Ax+By+C≥0 所 表示的平面区域(半平面) 包括 边界直线.

(2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有的点(x,y), 使得 Ax+By+C 值的符号相同, 也就是位于同一半平面的点, 其坐标适合 Ax+By+C>0 ;而位于另一半平面的点,其坐 标适合 Ax+By+C<0 . (3)可以在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点,一般 取特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的 符号 来判断 Ax+By +C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域.

画出不等式

表示的平面区域.

练习:1.已知点A(3,1)和B(-4,6), 直线3x-2y+a=0与线段 AB相交,求a的取值范围.

2.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示 为________.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 已知x、y满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?
(1)求出该不等式组表示平面区域的面积 平面区域内有多少个整点? (2)分别写出x、y的取值范围, 并x、y能同时取到最小值吗? (3)求

(4)求
(5)求

y ?1 (6)求 的取值范围. x ?1

2.基本概念 (1)线性约束条件:由 x,y(或方程)组成的不等式组,是 关于 x 与 y 的 一次不等式(或等式).

要求最大值或最小值的函数 如 z=2x+y, (2)目标函数:
z=x2+y2. (3)线性目标函数:关于 x,y 的 一次函数. (4)可行解:满足 线性约束条件 的解(x,y)叫可行解.
(5)可行域: 由所有的可行解 组成的集合叫做可行域. (6)最优解:使目标函数达到 最大值或最小值的可行解 叫最优解. (7)线性规划问题:在 线性约束条件下求线性目标函数 的最大值或最小值的问题叫做线性规划问题.

1.不等式x2-y2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是 (

)

4.在平面直角坐标系中,不等式组

(a为常数)

表示的平面区域面积是16,那么实数a的值为_____.

2011浙江

2011全国

2011湖南

【练习】 设f(x)=ax2+bx且1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,
(1)求a,b的取值范围 (2)求f(-2)的取值范 围.

[反思感悟]

此题易有如下错误解法:

?3 ? ?2≤a≤3, ?1≤a-b≤2, 由? 得到? ? ?2≤a+b≤4, ?0≤b≤3. ? 2 再由不等式性质得:
? ?6≤4a≤12, ? ? ?-3≤-2b≤0,

进而得 3≤4a-2b≤12,

即 3≤f(-2)≤12.
? ?1≤a-b≤2, 错误原因是满足 ? ? ?2≤a+b≤4

的点 (a, b)的集合与满

?3 ?2≤a≤3, 足? ?0≤b≤3 2 ?

的点(a,b)的集合不等价.

? ?1≤a-b≤2, 由? ? ?2≤a+b≤4

确定的平面区域如图,

当 f(-2)=4a-2b 过点

?3 1? A?2,2?时, ? ?

3 1 取得最小值 4× -2× =5, 2 2 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.


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