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专题八 三角函数


专题五 三角函数

同角三角函数的基本关系﹑诱导公式 【背一背基础知识】
2 2 1. 掌握同角三角函数的基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ?

sin ? . cos ?

2. 诱导公式 诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? )

? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,其 中k ?Z
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(180 ? ?) ? ?cos ? ,tan(180 ? ? ) ? tan ? 诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;

cos(?? ) ? cos ? , tan(?? ) ? ? tan ?

诱导公式四: sin(180 ? ? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos ? , tan(180 ? ? ) ? ? tan ? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos? , tan(360 ? ? ) ? ? tan ? 诱导公式六: sin(90 ? ? ) ? cos ? ; 诱导公式七: sin(90 ? ? ) ? cos ? ;

cos(90 ? ? ) ? sin ? , tan(90 ? ? ) ? cot ? cos(90 ? ? ) ? ? sin ? , tan(90 ? ? ) ? ? tan ?

-? - sin ?

? ??
sin ?
- cos ? - tan ?

? ??
- sin ? -

2? ? ?
- sin ?

2k? ? ? ?k ? Z ?

?
2

?
??

2

??

sin

sin ?

cos?
sin ?

cos?
- sin ?

cos

cos?
- tan ?

cos? .Com]

cos?
- tan ?

cos?

tan

tan ?

tan ?

cot ?

- cot ?

记忆方法:可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”,要把角化成形式为 k ? 90 ? ? ( k 为常 整数) ; 奇变偶不变是指:当 k 为偶数时,三角函数名称不变,即前面若是正弦,后面也是正弦,名 称不变,当 k 为偶数时,三角函数名称变,即前面若是正弦,后面也是余弦,名称变;符号 看象限是指:把 ? 看成锐角时,为第几象限角,由原三角函数在各象限符号决定正负号,具 体一二象限正弦为正,一四象限余弦为正,一三象限正切为正,其它为负.
1

【讲一讲基本技能】 1.必备技能: (1)同角三角函数的基本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施 有:大角化小,切割化弦等,应用 “弦化切”的技巧,即分子、分母同除以一个不为零的

cos? ,得到一个只含 tan ? 的教简单的三角函数式。需注意的是:①这是一组同角关系式,
②利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,③计算中应尽可能少用平 方关系式. (2)应用同角关系式的两点技巧:(1)"1"的代换: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,(2)整体代换:为了 计算或化简需要可将计算式作适当变形,使得所给条件可整体代入. 几个常用关系式:

sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? cos ? ;(三式之间可以互相表示),设
2 ? , 1 ? 2sin ? cos ? ? t 2 即 sin ? cos ? ? t ? 1 , sin ? ? cos ? ? ? ? 2, 2 ? ? 2

? sin ? ? cos ? ?

2

? 1 ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 2 ? t 2 ,即
2

; sin ? ? cos? ? ? 2 ? t 2 (根据 ? 判断正负) (3) 应用诱导公式的重点是对"函数名称"与"正负号"的正确判断, 关键抓住题中的整数 k 是表示

? 的整数倍,所以做题时须把 k 分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论。给角求 2

值问题,利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值. 常用结论: sin ? x ? 2.典型例题: 例 1 【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷】已知 sin(? ? ? ) ? 象限的角,则 cos(? ? 2? ) = .

? ?

??

?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 4? 4? 4? ?4 ? ? ? ?4 ?

3 ,且 ? 为第四 5

例 2【2013 年北京海淀期末】若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 A.

1 的值为( cos ? ? sin 2?
2



10 3

B

5 3

C.

2 3

D. ?2

【练一练趁热打铁】

2

1. 【江西省百强中学 2014 届高三上学期第二次月考】 已知 sin(? ? 的值等于 A. ( ) B. ?

?
4

)?

1 o s ( , 则c 3

?
4

??)

2 2 3
1 3

2 2 3

C.

1 3

D. ?

2. 【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷】 已知 cos ? ? sin ? ?
4 4

则 cos(2? ?

2? )? 3

2 ? , ? ? (0, ) , 3 2

.

三角函数的图象与变换

【背一背基础知识】[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 1. 错误!未找到引用源。的图象与性质 性质 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 定义域 值域 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 当错误!未找到引用源。错 当错误!未找到引用源。时, 误!未找到引用源。时,错 错误!未找到引用源。 ;当错误! 误! 未找到引用源。 ; 当错误! 最值 未找到引用源。 错误!未找到引用源。时,错误! 错误!未找到引用源。时, 未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 . 周期性 奇偶性 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。奇函 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。偶函数 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。奇函 未找到引用源。 既无最大值,也无最小值 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

3

数 在错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。上是 增函数;在 单调性 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。上是 减函数. 对称中心错误!未找到引用 错误!未找到引用源。上是减函 数. 在错误!未找到引用源。上是增



在错误!未找到引用源。 函数;在错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。上是 增函数.

对称中心错误!未找到引用 源。 对称性 对称轴错误!未找到引用 源。 ,既是中心对称又是轴对 称图形。 2.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的问题: (1)“五点法”画图:分别令 ? x ? ? ? 0, 对称中心错误!未找到引用源。 源。 对称轴错误! 未找到引用源。 , 既 无对称轴,是中心对称但不 是中心对称又是轴对称图形。 是轴对称图形。

?
2

,? ,

3? , 2? ,求出五个特殊点; 2

(2) 由 y ? sin x 的图象变换出 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象一般有两个途径, 只有区别开 这两个途径,才能灵活 进行图象变换。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y ? sin x 的图象向左( ? ? 0 )或向右( ? ? 0 )平移 ? 个单位,再将图象上各点的纵坐标 不变,横坐标 变为原来的

1

?

倍( ? ? 0 ),再将图象上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的

A 倍( A ? 0 ),便得 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y ? sin x 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 左( ? ? 0 )或向右( ? ? 0 )平移

1

|? |

?

倍( ? ? 0 ),再沿 x 轴向

?

个单位, ,再将图象上各点的横坐标不变,纵坐标变为原

来的 A 倍( A ? 0 ),便得 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象。 【讲一讲基本技能】 1.必备技能: 利用图象的 变换作图象时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现 无
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论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而 不是“角变化”多少。研究类似于 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的性质时,一般是通过整体代换的
4

方法,将其化归成 y ? sin x 的形式.这样就可通过 y ? sin x 的性质来研究 对于 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A tan(? x ? ? ) 用同样 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的性质. 的方法来处理, 在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点: 一要弄清楚是平移哪个 函数的图象,得到哪个函数的图象;二要注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应 先利用诱导公式化为同名函数; 三是由 f ( x) ? A sin ? x 的图象得到 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ) 的图象时,需平移的单位数应为 2.典型例题: 例 1 【陕西省西安市第一中学 2014 届高三上学期期中考试】 为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( )

? 而不是 ? . ?
?
3

)

? 个单位 3 ? (C)向左平移 个单位 3
(A)向右平移

? 个单位 6 ? (D)向左平移 个单位 6
(B)向右平移 )

例 2 【2013?泸州模拟】已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

【练一练趁热打铁】 1. 【江西师大附中高三年级 2013-2014 开学考试数学试卷】要得到函数 y ? cos x 的图像, 只需将函数 y ? sin(2 x ?

) 的图像上所有的点的( ) 4 1 ? A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4 ? C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 个单位长度 4
5

?

D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动

? 个单位长度 8

2 . 【2013---2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考】函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 图像( A.向右平移 )

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

求三角函数的解析式 【背一背基础知识】1.由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b 的图象求其函数式,确定

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b 的解析式的步骤:
(1)求 A, b 确定函数的最大值 M 和最小值 m ,则 A ? (2)求 ? ,确定函数的周期 T ,则 ? ?

M _m M ?m ,b ? . 2 2

2? . T

(3)求 ? ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A, ? , b 已知)或代入图 象与直线 y ? b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法: 确定 ? 值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点 ? ?

? ? ? , 0 ? 作为突破口.具体如下:“第 ? ? ?

一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ? x ? ? ? 0 ;“第二点”(即图象的“峰点”)为

?x ?? ?

?
2

;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ? x ? ? ? ? ;“第四点”(即图

6

象的 “谷点”)为 ? x ? ? ?

3? ;“第五点”为 ? x ? ? ? 2? . 2

2.变换法,有关变换法需注意两点:①周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;② 在不同的变换次序下平移变换的量可能不同. 【讲一讲基本技能】 1.必备技能:求三角函数的解析式须注意 ? 的值, ? 是由函数图象的位置确定,但 ? 的值 是不确定的, 它有无数个, 事实上, 如果 ?0 是满足条件的一个 ? 值, 那么 2k? ? ?0 , ? k ? Z ? 都是满足条件的 ? 值,故这类题目一般都会限制 ? 的取值范围,若没限制 ? 的取值范围, 也能根据所给的图象去判断. 适时关注题设条件中 ? 的取值范围或数形结合, 避开此类问题 的陷阱.

2.典型例题: 例 1 【余江 一中 2013-2014 学年高三第二次模拟考试】已知函数 f ( x) ? A cos (? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 为

? ?


?
2

) 的部分图象如上图所示,则 f ( x ) 的函数解析式

例 2 【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷】把函数 y ? sin x( x ? R) 图像上所有 点的横坐标缩短到原来的

1 ? 倍(纵坐标不变),再把图像上所有的点向左平行移动 个单位 2 6


长度,得到的图像所表示的函数是(

(2 x ? A. y ? sin

?
3

)( x ? R ) )( x ? R)

(2 x + C. y ? sin

?
3

x ? )( x ? R) 2 6 2? (2 x + )( x ? R) D. y ? sin 3 ( + B. y ? sin

【练一练趁热打铁】

7

1. 【江西省百强中学 2014 届高三上学期第二次月考】如下图是函数

y ? 4sin(?x ? ?) (? ? 0,| ? |? ?) 图像的一部分,则(



A. ? ?

13 5? ,? ? 5 6

B. ? ?

11 ? ,? ? 5 6

C. ? ?

7 5? ,? ? 5 6

D. ? ?

23 ? ,? ? 5 6

2. 【改编试题】设 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? )最高点 D 的坐标为

? 2, 2 ? ,由最高点运动到相邻的最低点时,曲线与 x 轴交点 E 的坐标为 ? 6,0 ? ,则函数
f ( x) 的解析式为


三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性

【背一背基础知识】经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) , y ? A cos(? x ? ? ) ,

y ? A tan(? x ? ? ) ”的形式,利用 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的单调性、奇偶性、
对称性和周期性来解 1. 三角函数的单调区间: y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ?

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?

(k ? Z ) , 递减区间

是 ?2k? ?

? ?

?
2

, 2k? ?

3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) 2 2? ?
(k? ,0) 2. 对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? 2 ,对称中心为
y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ?

k ?Z ;

?
2

, 0) ;
8

y ? tan x 无对称轴,对称中心为 (

k? , 0) 2

k ? Z .[来源:Zxxk.Com]

3. 求三角函数的周期的常用方法:经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、

y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公式 T ?

2?

?

,另外还有图像法和定义法.

4. 判断三角函数的奇偶性的常用方法:一般根据函数的奇偶性的定义解答,首先必须考虑 函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数 的定义域关于原点对称,则继续求 f ? ? x ? ;最后比较 f ? ? x ? 和 f ? x ? 的关系,如果有

f ? ?x ? ? f ? x ? ,则函数是偶函数,如果有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,则函数是奇函数,否则是非
奇非偶 函数。 5.在做这一类题时经常用到三角恒等变化,要用到下面公式: 两角和与差的三角函数: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan(? ? ? ) ?
Z#X#X#K] 二倍角公式: sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

tan ? ? tan ? .[来源:学#科#网 1 tan ? tan ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
tan 2? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

降幂公式: sin ? cos ? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? . 2 2 2

辅助角公式: a sin x ? b cos x ?

a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,

其中sin ? ?

b a 2 ? b2

, cos ? ?

a a 2 ? b2

.

【讲一讲基本技能】 1.必备技能:三角函数性质的求解方法 (1)三角函数的性质问题,往往都要先化成 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式再求解. (2)要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的 基本思想即可求三角函数的单调性,最值与周期. [易错提示] (1)在求三角函数的最值时,要注意自变量 x 的范围对最值的影响,往往结合

9

图象求解. (2)求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要特别注意 A, ? 的正负,只有当 ? ? 0 时,才 可整体代入并求其解,当 ? ? 0 时,需把 ? 的符号化为正值后求解.

2.典型例题: 例 1【2013 天 津 模 拟 】已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , y ? f ? x ? 的图象 与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ? x ? 的单调递增区间是 ( A. ? k? ? C. ? k? ? )

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ,k ?Z 12 ? ? ,k ?Z 6? ?

B. ? k? ? D. ? k? ?

? ?

5? 11? ? , k? ? ,k ?Z 12 12 ? ? 2? ? ,k ?Z 3 ? ?
2

? ?

?
3

, k? ?

??

? ?

?
6

, k? ?

例 2 【景德镇市 2014 届高三第一次质检试卷】若函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x ? sin 2 x ,则

f ( x) 是(

) B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为 2 ? 的偶函数 【练一练趁热打铁】

? 的奇函数 2

1. 【2013—2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考】已知函数

3? ? ? 的是( f ( x) ? sin ? 2 x ? .. ? ( x ? R) ,下面结论错误 2 ? ?
A.函数 f ( x) 的最小正周期为 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ?



B.函数 f ( x) 是偶函 数

?
4

对称

D.函数 f ( x) 在区间 ?0,

? ?? 上是增函数 ? 2? ?


2. 【无锡一中 2014 届高三第一次检测】函数 y ? 3sin(

?
3

? 2 x) 的单调递减区间是

(一) 选择题(12*5=60 分)
10

1. 【江西省 2014 届新课程高三上学期第二次适应性测试】 cos 240 的值是( ) A. ?

?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2. 【江西省百强中学 2014 届高三上学期第二次月考】函数 y ? 2 sin( x ? 称轴方程是( A. x ? ) B. x ?

?
4

) 图象的一条对

3? 4

? 8

C. x ?

? 2

D. x ? 2?

3. 【2012 浙江】把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

? π? 4. 【陕西省西安市长安区第一中学 2014 届高三上学期第一次模拟】函数 y=cos?x+ ?, 3? ?
x∈R
( ) B.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

A.是奇函数 C.既不是奇函数也不是偶函数

1 5. 【陕西省西安市长安区第一中学 2014 届高三上学期第一次模拟】已知 sin(π +α )= , 2 则 cos α 的值为 ( 1 A.± 2 ) 1 B. 2 C. 3 2 D.± 3 2

6. 【江西省百强中学 2014 届高三上学期第二次月考】已知角 ? 的终边经过点

4 P ? ?8m, ?6 cos 60 ? ,且 cos ? ? ? ,则 m 的值为( 5
A.



1 2

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2
11

log 2 sin 7.【江西省 2014 届新课程高三上学期第二次适应性测试】
A. ?

?
8

? log 2 cos

?
8

的值( )

1 2

B. ?

3 2

C. ?1

D. ?2

8. 【陕西省长安一中 高新一中 交大附中 次模拟】函数 f ( x) ? lg | sin x | 是【 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 】.

师大附中 西安中学(五校)2013 届高三第三

B.最小正周期为 2? 的奇函数 D.最小正周期为 2? 的偶函数

9. 【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷】已知 a 是第二象限角, sin ? ?

5 ,则 13

cos ? ?
A. ?



) B. ?

5 13

12 13

C.

5 13

D.

12 13

10. 【江西师大附中高三年级数学期中考试试卷】 为了得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? 只需把函数 y ? 3 sin( x ?

?
6

) 的图像,

?
6

) 的图像上所有的点的(

)

1 倍 ,纵坐标不变 2 1 C.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变 2 ? 11. 【陕西省宝鸡市 2013 届高三第三次模拟】已知函数 f ( x ) ? sin(?x ? )(? ? 0) 和 6 ? g ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 1 的图象的对称轴完成相同。若 x ? [0, ] ,则 f ( x) 的取值范围是 2
A.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的 ( ) A. [ ?

1 ,1] 2

B. [ ,1]

1 2

C.[0,1]

D.[一 1,1]
2

12. 【江西师大附中 2014 届高三年级开学考试】已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2cos x ?1 ,将

f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1 ? 倍, 纵坐标不变, 再将所得图象向右平移 个 2 4


单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则函数 y ? g ( x) 的解析式为( A. g ( x) ? 2 sin x C. g ( x) ? B. g ( x) ? 2 cos x

2 sin(4 x ?

3? ) 4

D. g ( x) ? 2 cos 4x

(二) 填空题(4*5=20 分) 13.【江西省百强中学 2014 届高三上学期第二次月考】 已知 sin(

?
2

? ?) ?

3 , ?0 ? ? ? ? ? , 2
12

则 tan ? =________. 14. 【陕西省咸阳市范公中学 2014 届高三上学期摸底考试】如果 cos(? ? A) ? ?

1 ,那么 2

sin( ? A) ? 2

?

.

15.【陕西省西安市第一中学 2014 届高三上学期期中考试】 函数 y ? sin 2x ? 2 cos2 x ? 1 的 最小正周期为 .

16. 【江西省稳派名校学术联盟 2014 届高三 12 月调研考试】直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 为 ? ,则

1 的值为_________。 sin ? ? cos 2 ?
2

13


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