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2014年人教版必修4高一数学第一章 《三角函数》测试题(A卷)及答案


高中数学必修 4 第一章 《三角函数》测试题 A 卷
考试时间:100 分钟,满分:150 分 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 5 0 分). 1.若 α 是第 二象限角,则 180° -α 是( A.第一象限角 B.第二象限角 ) C.第三象限角 D.第四象限角 )

2.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 B.sin2 2 C. sin1 D.2sin1
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3.如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若∠AOP=θ,则点 P 的坐 标是( )

A.(cosθ,sinθ)

B.(-cosθ,sinθ )

C.(sinθ,cosθ)

D.( -sinθ,cosθ) ( )

1 4.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cosα= x,则 tanα= 5 4 A. 3 3 B. 4 3 C.- 4 4 D.- 3 ( 23 D. - 16 )

sinα-2cosα 5.如果 =-5,那么 tanα 的值为 3sinα+5cosα A.-2 B.2 23 C. 16

6.将下列各式按大小顺序排列,其中正确的是( ) 1 1 A.cos0<cos <cos1<cos30° B.cos0<cos <cos30° <cos1 2 2 1 1 C.cos0>cos >cos1>cos30° D.cos0>cos >cos30° >cos1 2 2 π 7.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈ R,ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)的图象向左平移|φ| 4 个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是( ) π 3π π π A. B. C. D. 2 8 4 8 π 8.已知 α∈(0, ),且 4tan(2π+α)+3sin(6π+β)-10= 0,-2tan(-α)-12sin(-β)+2=0, 2 则 tanα 的值为( ) A.-3 B.3 C.± 3 D.不确定 9.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是(

)

10.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M,N 两点,则|MN|的最 大值为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 二、填空题(每小题 6 分,共计 24 分). 1 11.若 cos(75° +α)= ,其中 α 为第三象限角,则 cos(105° -α)+sin(α-105° )=________. 3 12.函数 y=lg(sinx)+ 16-x2的定义域为________________. 13.已知把函数 y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标伸长到原来 π 的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度,这样得到的曲线和 y=2sin x 的图 2 象相同,则已知函数 y=f(x)的解析式为____________. 14.下面四个结论: ①y=sin|x|的图象关于原点对称; ②y=sin(|x|+2)的图象是把 y=sin|x|的图象向左平移 2 个单位而得到的; ③y=sin(x+2)的图象是把 y=sinx 的图象向左平移 2 个单位而得到的; ④y=sin(|x|+2)的图象是由 y=sin(x+2)(x≥0)的图象及 y=-sin(x-2)(x<0)的图象组成的. 其中,正确的结论有________.(请把正确结论的序号都填上) 三、解答题(共 76 分). π 2π 15.(本题满分 12 分)已知 x∈[- , ], 3 3 (1)求函数 y=cosx 的值域; (2)求函数 y=-3sin2x-4cosx+4 的值域.

1 7 16. (本题满分 12 分) 已知 tanα、 是关于 x 的方程 x2-kx+k2-3=0 的两实根, 且 3π<α< tanα 2 π,求 cos(3π+α)-sin(π+α)的值.

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π 17.(本题满分 12 分)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在 x∈(0,7π)内取到一个最 2 大值和一个最小值,且当 x=π 时,y 有最大值 3,当 x=6π 时,y 有最小值-3. (1)求此函数解析式; (2)写出该函数的单调递增区间.

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18.(本题满分 12 分)求下列函数的值域: sinx-1 (1)y= ;(2)y=acosx+b. sinx+1

19.(本题满分 14 分) 如图,是函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的一段图象.

(1)求此函数解析式; (2)分析一下该函数是如何通过 y=sinx 变换得来的?

20.(本题满分 14 分)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离 s(cm)和时间 t(s)的函

π 数关系式为 s=6sin (2πt+ )(t≥0). 6 (1)作出它的图象; (2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少 cm? (3)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少 cm? (4)单摆来回摆动一次需要多少时间?

高中数学必修 4 第一章 《三角函数》测试题 A 卷参考答案
一、 选择题 1.【答案】 A [解析] α 为第二象限角,不妨取 α=120° ,则 180° -α 为第一象限角. 2.【答案】 C 1 2 [解析] 由题设,圆弧的半径 r= ,∴圆心角所对的弧长 l=2r= . sin1 sin1 3.【答案】 A 【解析】设 P(x,y),由三角函数定义知 sinθ=y,cosθ=x,故 P 点坐标为(cosθ,sinθ). 4.【答案】 D 【解析】 x<0,r= x2+16,∴cosα= 5.【答案】 D 23 【解析】∵sinα-2cosα=-5(3sinα+5cosα),∴ 16sinα=-23cosα,∴tan=- . 16 6. 【答案】D. 1 π 1 【解析】∵0< < <1,cosx 在(0,π)上是减函数.∴cos0>cos >cos30° >cos1. 2 6 2 7.【答案】D. 2π 【解析】由已知,最小正周期为 π= ,ω=2,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶 ω π 函数,sin[2(x+φ)+ ]=± cos2x,故选 D. 4 8.【答案】B.
? ?4tanα+3sinβ-10=0, 【解析】将条件化为? ?2tanα+12sinβ+2=0. ?

x 1 4 = x,∴x2=9,∴x=-3,∴tanα=- . 5 3 x +16
2

① ②

由①×4-②得 14tanα-42=0,∴tanα

=3.故选 B. 9. 【答案 】D. 2π 【解析】函数的最小正周期为 T= ,∴当|a|>1 时,T<2π,当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图形 |a| 中周期与振幅的关系,发现选项 D 不符合要求,故选 D. 10. 【答案】B. 【解析 】

π 在同一坐标系中作出函数 f(x)和 g(x)的图象,如图所示,易知当 x=a=kπ- (k∈Z)时,|MN| 4 π π 取得最大值|sin(kπ- )-cos(kπ- )|= 2(k∈Z). 4 4

二、

填空题 2 2-1 11.【答案】 3 【解析】 cos(105° -α)+sin(α-105° )=-cos(75° +α)-sin(α+75° ). ∵180° <α<270° , ∴255° <α 2 2-1 1 2 1 2 +75° <345° .又∵cos(α+75° )= ,∴sin(α+75° )=- 2.∴原式=- + 2= . 3 3 3 3 3 12.【答案】 [-4,-π)∪(0,π)

? ? ?sinx>0, ?2kπ<x<2kπ+π, 【解析】由已知,得? 解得? 即 x∈[-4,-π)∪(0,π). 2 ?16-x ≥0. ?-4≤x≤4, ? ?

1 π 13.【答案】y= sin(2x- ) 2 2 【解析】 y=2sinx 象
纵坐标缩短到原来的4
1

1 π π π 右移 个单位长度 横坐标缩短到原来的2 2 的图象― ― ― ― ― ― →y=2sin(x- )的图象 ― ― ― ― ― ― → y=2sin(2x- )的图

2

2

1 π ― ― ― ― ― ― → y= sin(2x- )的图象. 2 2

14. 【答案】③④ 【解析】①中 y=sin|x|的图象关于 y 轴对称,因此①不正确;②中 y=sin|x|的图象向左平移 2 个单位得到 y=sin|x+2|的图象,而不是得到 y=sin(|x|+2)的图象,故②不正确; ③正确; ? ? ?x≥0? ?sin?x+2? ?x≥0? ?sin?x+2? ④y=sin(|x|+2)=? =? ,故正确. ?sin?2-x? ?x<0? ?-sin?x-2? ?x<0? ? ?

三、

解答题

15. 解:

π 2π (1)∵y=cosx 在[- ,0]上为增函数,在[0, ]上为减函数, 3 3

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∴当 x=0 时,y 取最大值 1; 2π 1 x= 时,y 取最小值- . 3 2 1 ∴y=cosx 的值域为[- ,1]. 2 (2)原函数化为:y=3cos2x-4cosx+1, 2 1 1 1 15 即 y=3(cosx- )2- ,由(1)知,cosx∈[- ,1],故 y 的值域为[- , ]. 3 3 2 3 4 1 7 16. 解: 由题意,根据韦达定理,得 tanα =k2-3=1,∴k=± 2.又∵3π<α< π,∴tanα>0, tanα 2 1 >0, tanα 1 1 2 ∴tanα+ =k>0,即 k=2,而 k=-2 舍去,∴tanα= =1,∴sinα=cosα=- ,∴ tanα tanα 2 cos(3π+α)-sin(π+α)=sinα-cosα=0. T 17 解:(1)∵A=3, =5π,∴T=10π, 2 1 3π? 2π 1 π π 3π ∴ω= = , +φ= ?φ= , ∴y=3sin? ?5x+10?. T 5 5 2 10 π 1 3π π (2)令 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 10kπ-4π≤x≤10kπ+π,k∈Z. 2 5 10 2 ∴函数的单调递增区间为 {x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π,k∈Z}. sinx-1 1+y 18. 解:(1)由 y= ,解得 sinx= . sinx+1 1-y 1+y 1+y 1+y 2 由于-1<sinx≤1,∴-1< ≤1. 由-1< 得 +1>0. ∴ >0, 1-y 1-y 1-y 1-y ∴1-y>0,y<1.① 1+y 1+y 2y y 由 ≤1 得 -1≤0, ≤0,即 ≥0. 1-y 1-y 1-y y-1 ∴y>1 或 y≤0.② 由①②求交集得 y≤0,∴值域为(-∞,0]. (2)∵任意 x∈R,有-1≤cosx≤1, ∴当 a>0 时,-a+b≤acosx+b≤a+b; 当 a<0 时,a+b≤acosx+b≤-a+b; 当 a=0 时,acosx+b=b. 故当 a≥0 时,值域为{y|b-a≤ y≤b+a}; 当 a<0 时,值域为{y|a+b≤y≤b-a}. 1 3 1 3 - -?- ? - +?- ? 2 2 1 2 2 19. 解:(1)由图象知 A= = , k= =-1, 2 2 2 2π π 2π T=2×( - )=π,∴ω= =2. 3 6 T 1 ∴y= sin(2x+φ)-1. 2

π π π π 当 x= 时,2× +φ= ,∴φ= . 6 6 2 6 1 π ∴所求函数解析式为 y= sin(2x+ )-1. 2 6 π π (2)把 y=sinx 向左平移 个单位,得到 y=sin(x+ ),然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原 6 6 1 π 1 1 π 来的 ,得到 y=sin(2x+ ),再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 得到 y= sin(2x+ ), 2 6 2 2 6 1 π 1 π 最后把函数 y= sin(2x+ )的图象向下平移 1 个单位,得到 y= sin(2x+ )-1 的图象. 2 6 2 6 所以单摆来回摆动一次需要的时间为 1 s. 20. 解:(1)找出曲线上的六个特殊点,列表如下: 1 5 2 t 0 6 12 3 π π π 3π 2πt+ π 6 6 2 2

11 12 2π

1 13π 6

-6 s 3 6 0 0 3 用光滑曲线连接这些点, 并将这段图象向右平移, 每次平移 1 个单位长度则得函数 s=6sin(2πt π + )在[0,+∞)上的图象(如图). 6

π (2)当 t=0 时,s=6sin =3(cm),即单摆开始摆动时,离开平衡位置 3 cm. 6 π (3)s=6sin(2πt+ )的振幅为 6, 6 所以单摆摆动到最右边时,离开平衡位置 6 cm. π 2π (4)s=6sin(2πt+ )的周期 T= =1, 6 2π


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