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高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题12 函数(线性目标函数等)模型及其应用


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第 12 讲:函数(线性目标函数和综合函数)模型及其应用
【考纲要求】 1、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 2、会利用导数解决某些实际问题。 【基础知识】

三、线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x, y ; (2)列出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z = f ( x, y ) ; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) ; (5)利用线性目标函数作平行直线系 y = f ( x)( z为参数) ; (6)观察图形,找到直线 y = f ( x)( z为参数) 在可行域上使 z 取得欲求最值的位置,以确定 最优解,给出答案。 四、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: 1 (1)读题和审题,主要是读懂那些字母和数字的含义。 2 (2)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间 的函数关系 y = f ( x ) (注意确定函数的定义域) ;

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(2)建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都 是函数的解析式; (3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识 求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示:

六.解应用题的一般程序 (1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础; (2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.熟悉基本数学 模型,正确进行建“模”是关键的一关; (3)解:求解数学模型,得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注 意巧思妙作,优化过程; (4)答:将数学结论还原给实际问题的结果.

例1 某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品,这些产品分别需要在 A、B、C、D 四种不 同的设备上加工,按工艺规定,产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出. 已知各设备在计划期内有效台时数分别是 12,8,16,12(一台设备工作一小时称为一台时) , 该厂每生产一件产品甲可得利润 2 元,每生产一件产品乙可得利润 3 元,问应如何安排生产 计划,才能获得最大利润?? 设备 产品 甲 乙 A 2 2 B 1 2 C 4 0 D 0 4

解: 设计划期内生产甲 x 件,生产乙 y 件,

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?2 x + 2 y ≤ 12 ?x + 2 y ≤ 8 则 ?4 x ≤ 16 ? ? ? ?4 y ≤ 12 ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0 ?

?x + y ≤ 6 ?x + 2 y ≤ 8 即 ?x ≤ 4 ? ? ? ?y ≤ 3 ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0 ?

目标函数 z=2x+3y,作直线 2x+3y=t? 如图所示,可见当直线 2x+3y=t 过 A 点时,它在 y 轴上的截距最大,从而 t 最大.? 显然 A 点坐标为(4,2) .∴当 x=4,y=2 时,可获得最大利润 14 元.

函数模型 使用情景

综合函数 一般与复杂的综合函数有关 1 (1)读题和审题,主要是读懂那些字母和数字的含义。 2 (2)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实 际问题中变量之间的函数关系 y = f ( x) (注意确定函数的定义域) ;
/ / 3 (3)求函数的导数 f ( x) ,解方程 f ( x) = 0 ;

解题步骤

/ 4 (4)如果函数的定义域是闭区间,可以比较函数在区间端点和使 f ( x) = 0

的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; 如果函数的定义域不是闭区间, f ( x) = 0 又只有一个解,则该函数就在此 点取得函数的最大(小)值,但是要进行必要的单调性说明。 例2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年 的 能 源 消 耗 费 用 C ( 单 位 : 万 元 ) 与 隔 热 层 厚 度 x ( 单 位 : cm 满 足 关 系 : C ( x ) cm) =
/

k x (0 ≤ x ≤ 10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费 3x + 5

用与 20 年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x) f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x) f(x)达到最小,并求最小值。 解: (Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x ) =

k . 3x + 5
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再由 C (0) = 8 ,得 k = 40 , 因此 C ( x ) = 而建造费用为 C1 ( x ) = 6 x

40 . 3x + 5

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f ( x) = 20C ( x) + C1 ( x) = 20 ×

40 800 + 6x = + 6 x(0 ≤ x ≤ 10) 3x + 5 3x + 5

(Ⅱ) f '( x ) = 6 ?

2400 2400 ,令 f '( x ) = 0 ,即 =6. 2 (3x + 5) (3 x + 5) 2
25 . (舍去). 3

解得 x = 5 , x = ?

当 0 ? x ? 5 时, f '( x ) ? 0 , 当 5 ? x ? 10 时, f '( x ) ? 0 , 故 x = 5 是 f ( x ) 的 最小值点,对应的最小值为 f (5) = 6 × 5 +

800 = 70 。 15 + 5

当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用达到最小值为 70 万元。

【高考精选传真】 1、 (2012 年高考真题上海理 21) .海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置 为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰 y 在失事船的正南方向 12 海 P 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线

y=

12 49

x 2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救
O A

x

援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当 t = 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; 分) (6 (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?( 8 分) [解析](1) t = 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t = 中,得 P 的纵坐标 yP=3. | 由|AP|=
949 2
7 2

,代入抛物线方程 y =

12 49

x2

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.

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由 tan OAP= 3 +212 = tan∠

7

7 30

arctan 7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度.

【反馈训练】 ,70 , 1.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价为 60 元,70 元的单片软件和盒装磁盘,根 , , ( 据需要软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( ) A.5 种 B.6 种 C.7 种 D.8 种 2. 2.某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品, 由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需 耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料需 耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完 成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间 每天总获利最大的生产计划为( ) (A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 B 3. 3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每 B 吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可 B . 获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨. 那么该企业可获得最大利润是( ) A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 B 4. 4.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每 B 吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可 B 获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨, ( 那么该企业可获得最大利润是( ) A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 5、一个高为 H,水量为 V 的鱼缸的轴截面如图,其底部有一个洞,满缸水从洞中流出,如果
.

水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v = f ( h) 的大致图象是(



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A

B

C

D

7.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的 桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为 (2 +

x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,
C x A B

记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

8. 8.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 . 米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单 位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积 9. 9.请您设计一个帐篷。 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱, 上部的形状是侧棱长为 3m 的正 六棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最 大?

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10.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物, 6 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个 单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 。另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位 42 的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 。 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且 花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 ?

(2) 因为 p=100+3(5-x)+2(8-y),所以 3x+2y=131-p,设 131-p=k,那么当 k 最大时, 最小, p 在图中通过阴影部分区域且斜率为- 3 的直线 3x+2y=k 中,使 k 值最大的直线必通过点
2

(10,4),即当 y=4 时,p 最小,此时 x=10,v=12.5,w=30,p 的最小值为 93 元. 【变式演练 2 详细解析】 (1)若 x = 40 千米/小时,每小时耗油量为 y = 7 升/小时. 共耗油 7 × 所以,从甲地到乙地要耗油 17.5 升. (2)设当汽车以 x 千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少, ( 0 < x ≤ 120 ) ,耗油量为 S 升. 则S =

100 = 17.5 升. 40

1 800 100 ? 1 3 1 2 800 15 ? x3 ? x + 8 ? = x + ? , S'= x? 2 , ? 640 x x ? 128000 80 x 4 ? 1280

令 S ' = 0 ,解得, x = 80 . 列表:

x
S' S

80 ( 0, )

80 0
极小值 11.25

( 80,120)
+
单调增

120 0 y
170 80 12
70 (15,55) 升.

?
单调减

所以,当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,耗油量最少,为 11.25 【反馈训练详细解析】

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70 x 0 48

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1.C 1.C【解析】直接列举就可以得到选 C. 2.B【解析】 :设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱

? x + y ≤ 70 ? 则 ?10 x + 6 y ≤ 480 ? x, y ∈ N ?
280 300 目标函数 z=280x+300y 15 55 结合图象可得:当 x=15 y=55 时 z 最大 15, 本题也可以将答案逐项代入检验.所以选 B 3, D【解析】设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系: 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 A 原料 3x B 原料 2x 3y

y
13

y

(0,6)

?x > 0 ?y > 0 ? 则有: ? ?3x + y ≤ 13 ?2 x + 3 y ≤ 18 ?
目标函数 z = 5 x + 3 y 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知: 3 5 当 x =3, y =5 时可获得最大利润为 27 万元,故选 D

(3,4)

O



13 9 ,0) 3

x

y=0.065, 其中当 x = 10 2 时,y=0.065, y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y =

4 9 + (0 < x < 20) 2 x 400 ? x 2

4 9 8 9 × ( ?2 x ) 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 (2) y= 2+ , y'= ? 3 ? , 令 y' = 0 得 = x 400 ? x 2 x (400 ? x 2 ) 2 x 3 (400 ? x 2 ) 2

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7. 【解析】 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n + 1) x = m,即n= 所以

m ?1 x

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256(

m m -1)+ (2 + x ) x x x

=

256 x + m x + 2m ? 256. x
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) = ?
3 2

256m

x

2

1 3 m 3 + mx 2 = 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) = 0 ,得 x = 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0 <0, 0 64 f ( x) 在区间(0,64 64)内为减函数;

64 640)内为增函数, 当 64 < x < 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64 640 64,640 所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n = 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小

m 640 ?1 = ? 1 = 9. x 64

9. 【解析】 :设 OO1 为 x

m ,则 1 < x < 4
(单位: m ) 8 + 2x ? x 2 ,

由题设可得正六棱锥底面边长为: 3 2 ? ( x ? 1) 2 =

故底面正六边形的面积为: 6 ?

3 3 3 (单位: m 2 ) ? ( 8 + 2x ? x 2 ) 2 = ? (8 + 2 x ? x 2 ) , 4 2

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答:当 OO1 为 2

m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m 3 。

10. 【解析】 设为该儿童分别预订 x, y 个单位的午餐和晚餐, : 共花费 z 元, z = 2.5 x + 4 y , 则 且满足以下条件

y

?12 x + 8 y ≥ 64 ?6 x + 6 y ≥ 42 ? ? ?6 x + 10 y ≥ 54 ? x, y ≥ 0 ?

?3 x + 2 y ≥ 16 ?x + y ≥ 7 ? 即? ?3 x + 5 y ≥ 27 ? x, y ≥ 0 ?

3x+2y= 16 x+y=7

3x+5y=27

作直线 l : 2.5 x + 4 y = 0 ,平移直线 l 至 l0 , 当 l0 经过 C 点时,可使 z 达到最小值。 2.5x+4y=0

A C

B

x O

?3x + 5 y = 27 ? x = 4 由? ?? 即 C (4,3) , ?x + y = 7 ?y = 3
此时 z = 2.5 × 4 + 4 × 3 = 22 , : 答: 午餐和晚餐分别预定 4 个单位和 3 个单位,花费最少 z=22 元。

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