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抽象函数的对称性与周期性


一、 抽象函数的对称性

定理 1.

若函数 y=f (x) 定义域为 R,且满足条件:f (a+x)=f (b

a?b -x),则函数 y=f (x) 的图象关于直线 x= 2 对称。

推论 1.

若函数 y=f (x) 定义域为 R,且满足条件:f (a+x)=f (a -x) (或 f (2a-x)= f (x) ),则函数 y=f (x) 的图像关于直线 x= a 对称。

推论 2.

若函数 y=f (x) 定义域为 R,且满足条件:f (a+x)=f (a -x), 又若方程 f (x)=0 有 n 个根,则此 n 个根的和为 na 。

定理 2.
称。

若函数 y=f (x) 定义域为 R,且满足条件:f (a+x)+f (b
(

a?b c , ) -x)=c, (a,b,c 为常数) , 则函数 y=f (x) 的图象关于点 2 2



推论 1.若函数 y=f

(x) 定义域为 R,且满足条件:f (a+x)+f (a- x)=0, (a 为常数) ,则函数 y=f (x) 的图象关于点(a ,0)对称。

定理 3.若函数 y=f

(x) 定义域为 R,则函数 y=f (a+x) 与 y=f (b

b?a -x)两函数的图象关于直线 x= 2 对称。

定理 4.若函数 y=f (x)

定义域为 R, 则函数 y=f (a+x) 与 y=c-f (b
(

b?a c , ) -x)两函数的图象关于点 2 2 对称。

性质 1:对函数 y=f(x),若 f(a+x)=
a?b 图象关于点( 2 ,0)对称。

-f(b-x)成立,则 y=f(x)的

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性质 2: 函数 y=f(x-a)与函数 y=f(a-x)的图象关于直线 x=a 对称。 性质 3: 函数 y=f(a+x)与函数 y=f(a-x)的图象关于直线 x=0 对称。 性质
b?a 4:函数 y=f(a+x)与函数 y=-f(b-x)图象关于点( 2 ,0)

对称。

二、抽象函数的周期性

定理 5.若函数 y=f

(x) 定义域为 R,且满足条件 f (x+a)=f (x- b),则 y=f (x) 是以 T=a+b 为周期的周期函数。

定理 6.若函数 y=f (x) 定理 7.若函数 y=f

定义域为 R,且满足条件 f (x+a)= -f (x -b),则 y=f (x) 是以 T=2(a+b)为周期的周期函数。 (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b (a≠b)对称, 则 y=f (x) 是以 T=2(b-a)为周期的周期函数。

定理 8.若函数 y=f

(x)的图象关于点(a,0)与点(b,0) , (a≠b)对 称,则 y=f (x) 是以 T=2(b-a)为周期的周期函数。

定理 9.若函数 y=f

(x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a≠b)对 称,则 y=f (x) 是以 T=4(b-a)为周期的周期函数。

性质 1:若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)及 f(b-x)=f(b+x)
≠b,ab≠0),则函数 f(x)有周期 2(a-b);

(a

性质 2:若函数 f(x)满足 f(a-x)=

- f(a+x)及 f(b-x)=- f(b +x),(a≠b,ab≠0),则函数有周期 2(a-b). 特别:若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且 f(x)是偶函数, 则函数 f(x)有周期 2a.

性质 3:若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)及 f(b-x)=

- f(b+

x) (a≠b,ab≠0),则函数有周期 4(a-b). 特别:若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且 f(x)是奇函数, 则函数 f(x)有周期 4a。
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练习:
1. 设 f ( x) ? x ? 1 ,求 f(x+1)关于直线 x=2 对称的曲线方程。 2.函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则下列结 论中正确的是( )
2

A.

B. 3.已知函数 f(x-1)的图象,通过怎样的变换可以得到函数 f(-x+2) 的图象。 4. 若函数 f (x)=x2+bx+c 对一切实数都有 f (2 + x) = f (2 - x) 则 ( ) (A) f (2)<f (1)< f(4) (B)f (1)<f (2)< f(4) (C) f (2)<f (4)< f(1) (D)f (4)<f (2)< f(1) 5、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上,则函数 y= f (x-1)与 y= f (1- x)的图象关于( )对称。 (A)直线 y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1 6、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上,且满足 f (x-1)= f (1-x),则 函数 y= f (x)的图象关于( )对称。 (A)直线 y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1 7、设函数 f (x)=(x+a)3 对任意实数 x 都有 f (2+x) =-f (2-x) ,则 f (-3)+f (3) = ( ) (A) -124 (B) 124 (C) -56 (D) 56 8、已知实系数多项式函数 f (x) 满足 f (1-x) = f (3+x) , 并且方程 f (x)=0 有四个根,求这四个根之和。 9、函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f (12-x) = f (x) ,方程 f (x) =0 有 n 个实数根,这 n 个实数根的和为 1992,那么 n 为( ) (A) 996 (B) 498 (C) 332 (D) 116 10、设 f (x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f (10+x) = f (10- x)与 f (20-x)= -f (20+x),则 f (x)是 ( ) (A)偶函数,又是周期函数, (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数, (D)奇函数,但不是周期函数 11、设 y=f (x) 是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f (-x) = f (x)与 f (4-x)=f (x),若当 x∈[0,2]时,f (x) =--x2 +1 ,则当 x∈[-6 , -4 ]时 f (x)= ( ) 2 2 2 2 (A)-x +1 (B) -(x-2) +1 (C)-(x+4) +1 (D) - (x+2) +1 12、设 f (x)= x2 +1 , 若 g (x)的图象与 y= f (x+2) 的图象关于点 (1, 1)对称,求 g (x).
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5 7 f(1)<f( 2 )<f( 2 ) 7 5 C. f( 2 )<f( 2 )<f(1)

7 5 B. f( 2 )<f(1)< f( 2 ) 5 7 D f( 2 )<f(1) <f( 2 ).

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