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26.3实际问题与二次函数(2)


探究:计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁 性物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道,叫做 磁道,如图,现有一张半径为45mm的磁盘.

(1)磁盘最内磁道的半径为r mm,其上每 0.015mm的弧长为1个存储单元,这条磁道有多 少个存储单元?
(2)磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁 盘的外圆周不是磁道,这张磁盘最多有多少条磁道?

r />
(3)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同.最 内磁道的半径r是多少时,磁盘的存储量最大?

y? x2 最大值

(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。 (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大? y
30

A

D

25
20 15 10 5 -1 0 1 2

x
B (0<x<10)
3 4 5 6 7 8 9 1o

y
C

x

如图,用长20米的篱笆围成一个一面靠 墙的长方形的菜园,设菜园的宽为x米,面 积为y平方米。 D A (1)求y与x的函数关系式及 自变量的取值范围; B C

(2)怎样围才能使菜园的面积最大? 最大面积是多少?

如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。

解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米

∴ 花圃宽为(24-4x)米
∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0<x<6)

A B

D C

4ac ? b 2 b (2)当x= ? ? 3 时,S最大值= 4a =36(平方米) 2a

(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24-4x ≤6 4≤x<6 ∴当x=4cm时,S最大值=32 平方米

想一想P62 1

何时面积最大
?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, 其中AB和AD分别在两直角边上.
M

?(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示? ?(2).设矩形的面积为ym2,当x取何 值时,y的最大值是多少?

30m

D ┐ A

C

40m

B

N

想一想P63 3

何时面积最大

?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, 其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
?(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB 边的长度如何表示? ?(2).设矩形的面积为ym2,当x取何 值时,y的最大值是多少?
M
30m

C
G

H

D P┐

B

A N 解 : ?1? .由勾股定理得MN ? 50m, PH ? 24m. 40m 12 设AB ? bm, 易得b ? ? x ? 24. 12 2 ? 12 ? 25 12 2 ? ? ?x ? 25? ? 300. ?2?. y ? xb ? x? ? x ? 24 ? ? ? x ? 24 x 25 25 ? 25 ? 2 b 4ac ? b 或用公式 : 当x ? ? ? 25时, y最大值 ? ? 300. 2a 4a

做一做P62 5

何时窗户通过的光线最多
?某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 ? 7 x ? ?x x x 解 : ?1?. 4 y ? 7 x ? ?x ? 15. 得, y ? 由 . 4 2 ?x 15 ? 7 x ? ?x ? ?x 2 ?

? 2 x? ?? 2 4 2 y 2 ? ? 7 2 15 7 15 225 ? ? x ? x? ? ?x? ? ? . ? ? 2 2 2 ? 14 ? 56 b 15 4ac ? b 2 225 或用公式 : 当x ? ? ? ? 1.07时, y最大值 ? ? ? 4.02. 2a 14 4a 56

?2?.窗户面积S ? 2 xy ?

例2:有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角 为45°的直角三角形纸板,其中直角三角形纸板的斜边长为 12cm.按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形 纸板的斜边AB上,且点D与点A重合.若直尺沿射线AB方向平 行移动,如图14—2,设平移的长度为x(cm),直尺和三角形 纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2). (1)当x=0时,S=_____________; 当x = 10时,S =______________; (2)当0<x≤4时,如图14—2,求S与x的函数关系式; (3)当6<x<10时,求S与x的函数关系式; (4)请你作出推测:当x为何值时,阴影部分的面积最大?并写 出最大值.
C C F G C C

F A E B 图14—1

A

x

D

E 图14—2

B
A 备选图一 B

A 备选图二

B

(D)

1.某工厂为了存放材料,需要围一个周长160米的 矩形场地,问矩形的长和宽各取多少米,才能使 存放场地的面积最大。 2.窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等 于6cm,要使窗能透过最多的光线,它的尺寸应 该如何设计? A

O

D

B

C

3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 一个水槽,水槽的横断面为底角120? 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大,它的 侧面AB应该是多长?
A D

B

C

4.如图3,规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受
损,断去一角,量得AF=30cm,CE=45 cm。现准备从五边形 地砖ABCEF上截出一个面积为S的矩形地砖PMBN。 (1)设BN=x,BM=y,请用含x的代数式表示y,并写出x的取 值范围; (2)请用含x的代数式表示S,并在给定的直角坐标系内画出该 函数的示意图; (3)利用函数图象回2答:当x取何值时,S有最大值?最大值 是多少?
B M A

F

N

P

C

E

D

图3

5.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A 出发,沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动,同时, 点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。 如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动, 回答下列问题: D C (1)运动开始后第几秒时, △PBQ的面积等于8cm2 Q (2)设运动开始后第t秒时, 五边形APQCD的面积为Scm2, 写出S与t的函数关系式, 并指出自变量t的取值范围; A B P t为何值时S最小?求出S的最小值。

6.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C 的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发, 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形 OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).

(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6), 试求S 与t的函数表达式; (3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积 是多少?

2 7.二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示, 已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和 点B(0,1)。(04杭州)

(1)请判断实数a的取值范围,并说明理由; -1<a<0 (2)设此二次函数的图象 与x轴的另一个交点为C, 当△AMC的面积为△ABC 的 5 倍时,求a的值。 4
y

1B A 1

O

x

议一议

4

“二次函数应用” 的思路
?回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解 决问题的过程,你能总结一下解决此类问题的基本 思路吗?与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解;

5.检验结果的合理性,拓展等.


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