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1.3.1函数的单调性与最大(小)值(一)


数学来源于生活,又将应用于生活.

气温变化图 T(Co)
30 20 10

O

8

12

13

18

20

T(h)

y

y

y ? x ?1
?1
1
O

y ? ?2x ? 2
x

2
1
O

x

y

y

y ? ? x 2 ? 2x
O

1 y? x
O

1

2

x

x

探究:图象有何变化趋势?

观察下面的表格描述二次函数f(x)=x 随x 增大函数值得变化特征?
x f(x)=x2 … -4 -3 -2 -1 0 1 … 2 3 4 … …

2

思考:如何证明f(x)=x 在[0,+∞)上
2

是随着x的增大而增大的?

一、函数单调性定义 1.增函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

2.减函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是减函数 .

二.函数的单调性定义
y
y ? f ( x)

y
f ( x2 )

y ? f ( x)

f ( x1 )

f ( x1 )

f ( x2 )

O

x1

x2

x

O

x1

x2

x

如果函数 y = f(x) 在区间 D 上是增函数或减 函数,那么就说函数 y = f(x) 在这一区间上具有 (严格的)单调性,区间 D 叫做 y = f(x) 的单调 区间. 增函数所在的区间称单调增区间, 减函数所在的区间称单调减区间.

例1、图1是定义在区间 [?5,5] 上的函数 y ? f ( x ) , 根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间

上,它是增函数还是减函数?

[例1] 证明函数f ( x) ? 2 x ? 1在区间 ( ? ?, ?)上是增函数。 ?

变式

证明函数f ( x) ? k x ? 1(k ? 0) 在区间 ? ?, ?)的单调性。 ( ?

三.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: 1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).

[ 例2 ] 判断函数 f(x) ? x ? 2x 的
2

单调性,并加以证明。
y
f(x) ? x 2 ? 2x
1

单调递减区间:

(??, 1]
单调递增区间:

o

2

x

[1 ,??)

我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。

k 例3、物理学中的玻意耳定律 p ? V (k为正常数) 告诉

证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 取值 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则 作差 V2 ? V1 k k p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ? k 变形 V1 V2 VV2 1 由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0
定号



p(V2 ) ? p(V1 )

也就是说,当体积V减少时,压强p将增大.

k 所以,函数 p ? V , V ? (0,??)是减函数. 结论

课堂练习
4 1.证明:函数 f ( x) ? x ? 在 (0,2) x

上是减函数.

1 变式.证明:函数 f ( x) ? x ? 在 x (0,2)上是增函数.

1 探究、画出反比例 y ? x 的图象. (1) 这个函数的定义域 I 是什么?

(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的?
3 2.5

3.5

y

2

1.5

1

0.5

-5

-4

-3

-2

-1 -0.5

O

1

2

3

x

4

5

-1

-1.5

-2

小结


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