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高三一轮复习:第八章 平面解析几何第六节 椭圆


第六节 椭圆
一、选择题(6×5 分=30 分) 3 1.(2011· 山东聊城)已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( 4 x2 y2 A. + =1 16 9 x2 y2 C. + =1 16 25 3 解析:∵a=4,e= ,∴c=3, 4 ∴b2=a2-c2=16-9=7, x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程是 + =1 或 + =1. 16 7 7 16 答案:B x2 2.(2011· 台州第一次调研)已知点 M( 3,0),椭圆 +y2=1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 4 A、B,则△ABM 的周长为( A.4 C.12 ) B.8 D.16 x2 y2 x2 y2 B. + =1 或 + =1 16 7 7 16 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 16 25 25 16 )

x2 解析:直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、N 恰为椭圆 +y2=1 的两个焦点, 4 由椭圆定义知△ABM 的周长为 4a=4×2=8. 答案:B 3.(2011· 滨州一模)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1,则 椭圆长轴的最小值为( A.1 C.2
2 2

) B. 2 D.2 2

x y 解析:设椭圆 2+ 2=1(a>b>0),则使三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭 a b 圆短轴端点, b2+c2 a2 1 ∴S= ×2c×b=bc=1≤ = . 2 2 2 ∴a2≥2.∴a≥ 2.

∴长轴长 2a≥2 2,故选 D. 答案:D x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x a b

1

→ → 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( A. 3 2 B. 2 2

)

1 C. 3 解析:如图,由 BF⊥x 轴, b2 故 xB=-c,yB= ,设 P(0,t), a → → ∵AP=2PB, b2 ∴(-a,t)=2(-c, -t), a c 1 ∴a=2c,∴e= = . a 2 答案:D

1 D. 2

5.(2010· 广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆 的离心率是( 4 A. 5 2 C. 5 ) 3 B. 5 1 D. 5

解析:由题意知 2b=a+c,又 b2=a2-c2, ∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. ∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0. 3 ∴5e2+2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去). 5 答案:B x2 y2 6.(2010· 福建高考)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆 4 3 → → 上的任意一点,则OP· FP的最大值为( A.2 C.6 ) B.3 D.8

解析:由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0), → → 则OP· FP=(x0,y0)· (x0+1,y0)=x02+x0+y02. x02 y02 ∵P 为椭圆上一点,∴ + =1. 4 3 x02 → → ∴OP· FP=x02+x0+3(1- ) 4

2



x02 1 +x0+3= (x0+2)2+2. 4 4

∵-2≤x0≤2. → → ∴OP· FP的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. 答案:C 二、填空题(3×5 分=15 分) 7.(2010· 全国Ⅰ)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长 → → 线交 C 于点 D,且BF=2FD,则 C 的离心率为________. → → 解析:如图,|BF|= b2+c2=a,作 DD1⊥y 轴于点 D1,则由BF=2FD, 得 |OF| |BF| 2 = = , |DD1| |BD| 3

3 3 所以|DD1|= |OF|= c, 2 2 3c 即 xD= , 2 a2 3c 3c2 由椭圆的第二定义得|FD|=e( - )=a- . c 2 2a 又由|BF|=2|FD|,得 a=2a- 1 3 即 e2= ,解得 e= . 3 3 答案: 3 3 3c2 ,整理得 a2=3c2, a

x2 y2 8.(2011· 枣庄一模)设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同, m n 1 离心率为 ,则此椭圆的标准方程为____________. 2 m2-n2 解析: 抛物线 y =8x 的焦点是(2,0), ∴椭圆的半焦距 c=2, 即 m -n =4, 又 e= m
2 2 2

2 1 = = , m 2 x2 y2 ∴m=4,n =12.从而椭圆的方程为 + =1. 16 12
2

x2 y2 答案: + =1 16 12 9.(2011· 珠海模拟)B1、B2 是椭圆短轴的两端点,O 为椭圆中心,过左焦点 F1 作长轴的 |PF1| 垂线交椭圆于 P,若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项,则 的值是____________. |OB2| 解析:由已知 2bc=a2=b2+c2,

3

∴b=c=

2 a. 2

设 P(x0,y0),则 x0=-c,|y0|=|PF1|. ?-c?2 y02 ∵ 2 + 2 =1, a b ∴ y02 c2 b2 1 |PF1| 2 = . 2 =1- 2= 2= .∴ b a a 2 |OB2| 2 2 2

答案:

三、解答题(共 37 分) 10.(12 分)已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. x2 y2 解析:椭圆方程即为 + =1, m m m+3 m ∴a2=m,b2= , m+3 m2+2m ∴c2=a2-b2= , m+3 m2+2m 3 3 又 e= ,∴ = ,解得 m=1. 2 m?m+3? 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= , 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, 焦点坐标为(- 3 3 ,0),( ,0), 2 2 3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和 2

1 1 顶点坐标为:(-1,0),(1,0),(0,- ),(0, ). 2 2 x2 y2 11.(理)(12 分)(2010· 安徽模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点 F1、F2,点 P 在椭圆 C a b 4 14 上,且 PF1⊥F1F2,|PF1|= ,|PF2|= . 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 解析:(1)∵点 P 在椭圆 C 上, ∴2a=|PF1|+|PF2|=6. 在 Rt△PF1F2 中,

4

|F1F2|= |PF2|2-|PF1|2=2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5,从而 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为: + =1. 9 4 (2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5 所以圆心 M 的坐标为(-2,1) 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), x12 y12 由题意 x1≠x2 且 + =1① 9 4 x22 y22 + =1② 9 4 由①-②得 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0③ 9 4 因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+x2=-4,y1+y2=2. y1-y2 8 8 代入③得 = ,即直线 l 的斜率为 , 9 9 x1-x2 8 所以直线 l 的方程 y-1= (x+2), 9 即 8x-9y+25=0(经检验,所求直线方程符合题意). (文)根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1; (2)以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形,且焦点到椭圆的最短距离 为 3.
? ?a-c=1, 解析:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c,由已知得? 解得 a=4,c= ? ?a+c=7,

x2 y2 3,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 7 (2)由已知条件和椭圆的定义知 a=2c,且 a-c= 3, ∴a=2 3,c= 3,b2=a2-c2=9. x2 y2 当焦点在 x 轴上,所求方程为 + =1; 12 9 x2 y2 当焦点在 y 轴上,所求方程为 + =1. 9 12 x2 y2 12.(13 分)(2010· 辽宁高考)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l a b
5

→ → 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° ,AF=2FB. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= 15 ,求椭圆 C 的方程. 4

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2.

? ?y= 3?x-c?, 联立?x2 y2 得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0. + = 1 , 2 2 ? ?a b
- 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 解得 y1= ,y2= . 3a2+b2 3a2+b2 → → 因为AF=2FB,所以-y1=2y2. 即 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? = 2· . 3a2+b2 3a2+b2

c 2 得离心率 e= = . a 3 (2)因为|AB|= 1 2 4 3ab2 15 1+ |y2-y1|,所以 · 2 2= . 3 4 3 3a +b

c 2 5 5 15 由 = 得 b= a,所以 a= ,得 a=3,b= 5. a 3 3 4 4 x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5

6


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