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第4讲:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


第 4 讲 正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 【2013 年高考会这样考】 1.考查正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 2.结合三角恒等变换考查 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用. 3.考查 y=sin x 到 y=A sin(ωx+φ)的图象的两种变换途径. 【复习指导】 本讲复习时,重点掌握正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的“五点”作图法,图象的三种变 换方法,以及利用三角函数的性质解决有关问题.

基础梳理 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

2π 3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= ω 1 叫做周期,f= 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. T 4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形. 2 (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.

一种方法 M-m M+m 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= ,k= ,ω 2 2 2π 由周期 T 确定,即由 =T 求出,φ 由特殊点确定. ω 一个区别

由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换 |φ| (伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω ω >0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是 依赖于 ωx 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据 周期性作出整个函数的图象. 双基自测 π? 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin? ?2x-4? 的振幅、频率和初相分别为( 1 π 1 π A.2, ,- B.2, ,- π 4 2π 4 1 π C.2, ,- π 8 答案 A π? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)? 则该简谐运动的最小正周期 ?|φ|<2?的部分图象如图所示, T 和初相 φ 分别为( ). 1 π D.2, ,- 2π 8

).

π A.T=6π,φ= 6 π C.T=6,φ= 6

π B.T=6π,φ= 3 π D.T=6,φ= 3

π π ? 解析 由题图象知 T=2(4-1)=6?ω= ,由图象过点(1,2)且 A=2,可得 sin? ?3×1+φ?=1, 3 π π 又|φ|< ,得 φ= . 2 6 答案 C π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析 2 式应为( ). A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x π? 解析 由图象的平移得 g(x)=cos? ?x+2?=-sin x. 答案 A π? 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin? ?ωx+3?+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象重合,则 ω 的最 小值是( ).

2 A. 3 解析

4 3 B. C. D.3 3 2 π? 4π ? ? 4π? π? y = sin ? ?ωx+3? + 2 向 右 平 移 3 个 单 位 后 得 到 y1 = sin ?ω?x- 3 ?+3? + 2 =

π 4π ? 4π sin? ?ωx+3- 3 ω?+2,又 y 与 y1 的图象重合,则- 3 ω=2kπ(k∈Z). 3 ∴ω=- k.又 ω>0,k∈Z, 2 3 ∴当 k=-1 时,ω 取最小值为 ,故选 C. 2 答案 C 5.(2011· 重庆六校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=________.

T 2 π π 4 2π 3 解析 由题意设函数周期为 T,则 = π- = ,故 T= π.∴ω= = . 4 3 3 3 3 T 2 答案 3 2

例题解析 π 3 ? ?π? 【例 1】?设函数 f(x)=cos(ωx+φ)? ?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?4?= 2 . (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. [审题视点] (1)由已知条件可求 ω,φ; (2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π].

2π 解 (1)周期 T= =π,∴ω=2, ω π? 3 ? π ? ?π ? ∵f? ?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin φ= 2 , π π ∵- <φ<0,∴φ=- . 2 3 π? (2)由(1)知 f(x)=cos? ?2x-3?,列表如下: π 2x- 3 - π 3 0 π 2 π 3 π 2 5 π 3

x f(x) 图象如图:

0 1 2

π 6 1

5 π 12 0

2 π 3 -1

11 π 12 0

π 1 2

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可. (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 ωx+ φ x+ ?来确定平移单位. φ=ω? ? ω? 1 π? 【训练 1】 已知函数 f(x)=3sin? ?2x-4?,x∈R. (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 解 (1)列表取值: x 1 π x- 2 4 f(x) π 2 0 0 3 π 2 π 2 3 5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再 4 把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象. 【例 2】?(2011· 江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图 所示,则 f(0)的值是________.

[审题视点] 由最高、最低点确定 A,由周期确定 ω,然后由图象过的特殊点确定 φ.

T 7π π π π 2π 解析 由图可知:A= 2, = - = ,所以 T=2kπ+π,∴φ=2kπ+ ,令 k=0,ω= 4 12 3 4 3 T π ? π π =2,又函数图象经过点? ?3,0?,所以 2×3+φ=π,则 φ=3,故函数的解析式为 f(x)= 2 π? π 6 sin? ?2x+3?,所以 f(0)= 2sin3= 2 . 答案 6 2 解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定 A,h 的值,函数的 周期确定 ω 的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值. π 【训练 2】 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< ,ω>0)的图象的一部分如图所示. 2

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程. 解 (1)观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω· 0+φ), 1 即 sin φ= . 2 π π 11 ∵|φ|< ,∴φ= .又∵ π 是函数的一个零点,且是图象递增穿过 x 轴形成的零点, 2 6 12 11π π ∴ ω+ =2π,∴ω=2. 12 6 π? ∴f(x)=2sin? ?2x+6?. π (2)设 2x+ =B,则函数 y=2sin B 的对称轴方程为 6 π B= +kπ,k∈Z, 2 π π 即 2x+ = +kπ(k∈Z), 6 2 kπ π 解上式得 x= + (k∈Z), 2 6 π kπ π 2x+ ?的对称轴方程为 x= + (k∈Z). ∴f(x)=2sin? 6 ? ? 2 6 π 【例 3】?已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,w>0)的最小正周期为 π,初相为 ,振幅为 2 6 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (3)求函数 f ( x ) 的对称中心和对称轴; (4)求当函数 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合;

(5) 求 f(x)的值域; (6)若 x ? [0, ? ] ,求 f(x)的值域。 π 【例 4】?(2012· 西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的 2 2π π ? 图象与 x 轴的交点中, 相邻两个交点之间的距离为 , 且图象上的一个最低点为 M? ? 3 ,-2?. 2 (1)求 f(x)的解析式; π π? (2)当 x∈? ?12,2?时,求 f(x)的值域. [审题视点] 先由图象上的一个最低点确定 A 的值,再由相邻两个交点之间的距离确定 ω 的 π 值,最后由点 M 在图象上求得 φ 的值,进而得到函数的解析式;先由 x 的范围,求得 2x+ 6 的范围,再求得 f(x)的值域. 2π ? 解 (1)由最低点为 M? ? 3 ,-2?,得 A=2. π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 ,得 = ,即 T=π,所以 ω= = =2.由点 2 2 2 T π 2π ? ? 2π ? ?4π ? M? ? 3 ,-2?在图象上,得 2sin?2× 3 +φ?=-2,即 sin? 3 +φ?=-1. 4π π 11π 故 +φ=2kπ- ,k∈Z,所以 φ=2kπ- (k∈Z). 3 2 6 π? π 又 φ∈? ?0,2?,所以 φ=6. π? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. π π? π π 7π , ,所以 2x+ ∈? , ?. (2)因为 x∈? 12 2 ? ? 6 ?3 6 ? π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. 1 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的 个最小正周 2 期,去求解参数 ω 的值,利用图象的最低点为三角函数最值点,去求解参数 A 的值等.在 求函数值域时,由定义域转化成 ωx+φ 的范围,即把 ωx+φ 看作一个整体. π ? 【训练 3】 (2011· 南京模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点 P? ?12,0?, π ? 图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q? ?3,5?. (1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间. π π? 解 (1)依题意得:A=5,周期 T=4? ?3-12?=π, π 2π ? ∴ω= =2.故 y=5sin(2x+φ),又图象过点 P? ?12,0?, π

π ? ∴5sin? ?6+φ?=0, π π 由已知可得 +φ=0,∴φ=- 6 6 π? ∴y=5sin? ?2x-6?. π π π (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π 得:- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 6 3 π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 故函数 f(x)的递增区间为:? 6 3? ? π? 【例 5】(1)函数 y=cos? ?2x+3?图象的对称轴方程可能是( π π A.x=- B.x=- 6 12 π π C.x= D.x= 6 12 ).

π π ? (2)若 0<α< 2 ,g(x)=sin? ?2x+ 4 +α?是偶函数,则 α 的值为________. 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是 中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. π |φ|< ?的一条对称轴为 x= π ,则 φ=________. 【训练 4】(1)函数 y=2sin(3x+φ)? 2? ? 12 (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则 φ=________. 【例 6】 【2012 陕西】函数 f ( x) ? A sin(? x ? 图像相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的的单调递增区间; (3)设 ? ? (0,

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其

? , 2

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值 2 2

?

【训练 5】已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 为 (2, 2) ,最低点为 (8, ?4) 。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的的单调递增区间。

?
2

) 在同一个周期上的最高点

【例 7】 (1) 【2012 浙江理 4】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

(2)把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 象上所有点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2 ? x ? (A) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (B) y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? ) ,x?R (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? 3 3

x ? (3)为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像, 只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的 3 6

点 (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移

? ? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3

6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵坐标不变)

(D) 向右平移

?
6

【训练 6】(1)将函数 y ? cos x 的图像作怎样的变换可以得到函数 y ? 2 cos(2x ? 像?

?
4

) 的图

π 4π ωx+ ?+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合, (2)设 ω>0, 函数 y=sin? 则 ω 的最小 3? ? 3 值是( ). 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 (3)为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( A ) 3?
B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

(4)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象向左平移 的图象所对应函数的解析式是 A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ?

? 个单位, 平移后的图象如图所示, 则平移后 6
?
6 ) )

?

?
3

6

) )

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

?
3


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