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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二数学上学期12月月考试卷 理


汕头市金山中学 2015-2016 学年度第一学期第二次月考 高二理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知命题 p:? x∈R,sin x≤1,则( A.?p:? x0∈R,sin x0≥1 C.?p:? x0∈R,sin x0>1 2. 如果方程 ). B.?p:? x∈R,sin x≥1 D.?p:? x∈R,sin x>1 )

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是(

A.3<m<4 C.

B. D.

3 .椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A , B ,左、右焦点分别是 F1 , F2. 若 a 2 b2
) D.

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

5-2

4.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 ,则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题; 其中真命题为( ) A.①② B.②③ C.①③

D.③④
2

5.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( A. 2
2

) C. ? D. ?

B.

2 2

2 6.设圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ

-1-

的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ,则 M 的轨迹方程为 ( A、

) D、

4x2 4 y 2 ? ?1 25 21

B、

4x2 4 y 2 ? ?1 21 25

C、

4x2 4 y 2 ? ?1 25 21

4x2 4 y 2 ? ?1 21 25

7.设条件 p:|x-2|<3,条件 q:0<x<a,其中 a 为正常数.若 p 是 q 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. )

8. 点 P 在椭圆 7x 2 +4y2 ? 28 上,则点 P 到直线 3x-2y-16=0 的距离的最大值为( A. 13 B.

24 28 13 D. 13 13 13 x2 y 2 9.已知斜率为 k ? 1 的直线与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于 A, B 两点,若 A, B 的中点 a b
C. 为 M (1,3) ,则双曲线的渐近线方程为( A. x ? 3 y ? 0 B. ) C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

16 13 13

3x ? y ? 0

10. 已知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,一条长度为 4 p 的线段 AB 的两个端点 A 、 B 在抛物线 C 上运动,则线段 AB 的中点 D 到 y 轴距离的最小值为
y A





O

x

B

A、 2 p

B、

5 p 2

C、

3 p 2

D、 3 p

11.双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右顶点分别为 A 1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围 5 3
,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 ( B. [ , ] ) D. [

是[-4,-2] A. [?1, ?

??4, ?2?

3 ] 10
2

3 3 8 4

C. [?

3 3 ,? ] 10 20

3 3 , ] 20 10

12. 已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,则△ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是( A.2 B. 3 C. )

17 2 8

D. 10

-2-

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、命题“存在 x0 ? R ,使得 x 0 ? 2x0 ? 5 ? 0 ”的否定是 __________________ 14.与椭圆 4x2 ? 9 y 2 ? 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为___________ 15. 已知点 F 是双曲线 - =1 的左焦点, 定点 A 的坐标为(1,4), P 是双曲线右支上的动点, 4 12 则|PF|+|PA|的最小值为________ 16 . 命 题 p : 关 于
2

x2

y2

x 的 不 等 式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 , 对 一 切 x ? R 恒 成 立 ; 命 题 q : 函 数

f ( x) ? (3 ? 2a ) x 在 R 上是增函数.若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,则实数 a 的取值范围为
_______. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
n ?1 17.已知数列 ?a n ? 满足 a ? 2 , a n ?1 ? 4a n ? 2 n? N? . 1

?

?

(1)令 bn ?

an ?b ? ? 1 ,求证:数列 n 为等比数列; n 2

(2)求满足 a n ? 240 的最小正整数 n

18.如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ?

1 10 , cos ?ADC ? ? . 4 8

(1)求 sin ?BAD 的值; (2)求 AC 边的长.

19.如图,在四面体 ABCD 中,已知∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2, (1)求证:AC⊥BD; (2)若平面 ABD⊥平面 CBD,且 BD= ,求二面角 C﹣AD﹣B 的余弦值.

-3-

20. 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上任一点到点 F(2,0)的距离减去它到 y 轴的距离的差 都是 2 (1)求曲线 C 的方程; (2)一直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|AF|+|BF|=8,证:AB 的垂直平分线恒过定点.

21. 如图,椭圆 M : 形 ABCD 的面积为 8.

3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 M 的标准方程; (2) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的 交点 S , T .求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

-4-

高二月考(理科数学)参考答案 1.C 2.D 3.B
2

4.C 5.C

6.A 7.A 8.C
2

9.B 10.C 11.C 12.B

13. ? x∈R,x +2x+5≠0 15.9 16. ?1,2 ? ? ?? ?,?2?

14.

x y2 ? ?1 15 10

17.解: (1)

a n ?1 ? 4a n ? 2 n ?1

an ?1 a a ?1 a ?4 n ? 2? 2 ? n ?4 n ?2 n n n ?1 2 2 2 2n b ? 2bn , 数列 ?bn ? 是以 2 为首项以 2 为公比的等 即 n ?1 ? an ?1 an ? 2 ? n ?1 ? 2 ? 4 n ? 2 ? 2 2 2 a ?1 ?a ? ? n ?1 ? 2? n ? 1? n ?1 n 2 ?2 ?
比数列; (2)由(1)得 由

bn ? 2 n

,?

an ? 4 n ? 2 n



a n ? 4 n ? 2 n ? 240

,得 2 n ? 16 ( 2 n ? ?15 舍) ,解得 n ? 4 ,

? 满足

a n ? 240 的最小正整数 n 为 . 4

18.解: (1) Q cos B ?

10 3 6 ,?sin B ? ; 8, 8

1 15 6 cos?ADC ? ? ,? sin ?ADC ? ? sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? ; 4 4 4
3 3 6 AD BD ? (2)在 ?ABD 中,由正弦定理,得 sin B sin ?BAD ,即 8
解得 BD ? 2 ?故 DC ? 2 ,从而在 ?ADC 中,由余弦定理,
2 2 得 AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? (? ) ? 16 ;

?

BD 6 4 ,

1 4

AC=

4 ;

-5-

19.(1)证明:∵∠ABD=∠CBD,AB=BC,BD=BD.∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD. 取 AC 的中点 E,连结 BE,DE,则 BE⊥AC,DE⊥AC. 又∵BE∩DE=E,BE? 平面 BED,BD? 平面 BED,∴AC⊥平面 BED,∴AC⊥BD. (2)解:过 C 作 CH⊥BD 于点 H.则 CH? 平面 BCD, 又∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴CH⊥平面 ABD. 过 H 做 HK⊥AD 于点 K,连接 CK. ∵CH⊥平面 ABD,∴CH⊥AD,又 HK∩CH=H, ∴AD⊥平面 CHK,∴CK⊥AD. ∴∠CKH 为二面角 C﹣AD﹣B 的平面角. 连接 AH.∵△ABD≌△CBD,∴AH⊥BD. ∵∠ABD=∠CBD=60°,AB=BC=2, ∴AH=CH= ∴AD= ∴tan ∴cos ,BH=1.∵BD= ,∴DH= . ,∴HK= = , ,∴二面角 C﹣AD﹣B 的余弦值为 . = .

20.解:(1)由条件,P 到 F(2,0)的距离等于到直线 x=-2 的距离, ∴曲线 C 是以 F 为焦点、直线 x=-2 为准线的抛物线,其方程为 y ? 8x (1)
2

(2)设直线为: l : x ? my ? n (2) 则中垂线斜率为 ?m 联立(1) (2) : y ?8 (m y n? )
2

即 y ? 8my ? 8n ? 0
2

中点横坐标

x1 +x 2 y +y ? 2 横坐标 1 2 ? 4m 2 2

y ? 4m ? ?m ? x ? 2?

∴方程为 y ? 4m ? ?m ? x ? 2? 即 y ? ?mx ? 6m ∴AB 的垂直平分线恒过定点(6,0)

-6-

21. 解:(1) e ?

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ??① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ??②

由①②解得: a ? 2, b ? 1 ,∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y 2 ? 1 . ???????4 分 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (2) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , ? y ? x ? m, 8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5 由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

???????5 分

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ? C l m ? 1 l 当 过 A 点时, ,当 过 点时, m ? ?1 .

2

???????7 分

① 当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ? 1 ,其中 t ? m ? 3 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t | PQ | 1 3 4 5 2 由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5 . ????9 分 | ST | t 4 3 3 5 | PQ | 5 2 ②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? 时, 取得最大值 5 . ???10 分 | ST | 3 5 | PQ | 2 ? 5 ? m2 , ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , | ST | 5 | PQ | 2 由此知,当 m ? 0 时, 取得最大值 ???11 分 5. | ST | 5 | PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 ???12 分 5. | ST | 3 5

-7-


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