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2013高三数学选择题解题技巧方法PPT(文科)


汕头市砺青中学 李友华

多思考一点 , 少计算一点!

由于选择题与其他题型特点不同,解题方法也有很大 区别,做选择题最忌讳:

(1)见到题就埋头运算,按着解答题的思路去 求解,得到结果再去和选项对照,这样做花费 时间较长,有时还可能得不到正确答案. 2) 随意“蒙”一个答案,准确率只有25%!但 经过筛选、淘汰,

正确率就可以大幅度提 高。

选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、 基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、 解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是: 要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。 一般说来,能定性判断的,就不再使用复杂的定量计 算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能 使用间接法解的,就不必采用直接解;对于明显可以 否定的选择应及早排除,以缩小选择的范围;对于具 有多种解题思路的,宜选最简解法等。解题时应仔细 审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真 检验,确保准确。

解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间 接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常 用的方法;但高考的题量较大,如果所有选择 题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有 些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些 特殊的解答选择题的方法.

方法技巧
1、直接法: 直接从题设条件出发,运用有关概念、性 质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推

理和准确的运算,从而得出正确的结论,然后
对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相

应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简
单的题目常用直接法.

例1.若sin2x>cos2x,则x的取值范围是( D )

(A){x|2kπ-

3? 4

<x<2kπ+

(B) {x|2kπ+

(C) {x|kπ- ? <x<kπ+ ? (D) {x|kπ+
4 ? 4

? <x<2kπ+ 4

? ,k 4 5? ,k 4

Z} ?

4

Z ?} ,k ? } Z
,k

<x<kπ+

解:(直接法)由sin2x>cos2x得cos2x-sin2x<0, 3 即cos2x<0,所以:? +2kπ <2x<? +2kπ ,选 2 2 D. 另解:数形结合法:由已知得|sinx|>|cosx|,画 出y=|sinx|和y=|cosx|的图象,从图象中可知选D.

3? 4

Z ?}

例2.设f(x)是(-∞,∞)是的偶函数,f(x+2)=-

f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( A ) (A) 0.5 (B) -0.5
(C) 1.5 (D) -1.5

解:由f(x+2)=-f(x)得f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)
=-f(1.5)=f(-0.5),由f(x)是偶函数,得

f(-0.5)=f(0.5)=0.5,所以选A.
也可由f(x+2)=-f(x),得到周期T=4,所以f(7.5) =f(-0.5)=f(0.5)=0.5.

小结:
直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档

选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围很广,
只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选

择题的能力,准确地把握中档题目的“个性”,用
简便方法巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的 基础上,否则一味求快则会快中出错.

2、特例法: 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普

遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,
从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、

特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊
位置等.

例3.已知长方形的四个项点A(0,0),B(2,0),C(2,

1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ 的方
向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和

P4(入射角等于反射角),设P4坐标为(x4,0),若1<x4<2,
则tanθ的取值范围是( C
3


5 2
5 3

2 1 1 (A)( ,1) (B) ( 1 , 2 ) (C) ( , ) (D) ( 2 , 2 )

解:考虑由P0射到BC的中点上,这样依次反射最终回到P0,
此时容易求出tanθ = 1
2 1 tan≠ ,排除A、B、D,故选C. 2

3 3

,由题设条件知,1<x4<2,则

另解:(直接法)注意入射角等于反射角,??,所以选C.

例4.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,

则它的前3m项和为(
(A)130 (B)170

) C
(C)210 (D)260

解:(特例法)取m=1,依题意a1=30,a1+a2=
100,则a2=70,又{an}是等差数列,进而a3=110,

故S3=210,选(C).
直接法:因为Sm、S2m-Sm、S3m-S2m也成等差数列,可 直接求出S3m=210 故选C

1 例5.若 a ? b ? 1,P = lg a ? lg b ,Q = ? lg a ? lg b ?, 2 a?b

R = lg ? ?
?

(A)R<P<Q

2

?,则( B) ? ?

(B)P<Q< R

(C)Q<P<R =lg ,R=lg55=lg

(D)P<R<Q ,比较可知
3 2

解:取a=100,b=10,此时P= 2 ,Q=
1000

3025

P<Q<R,故选(B)

小结: 当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成 立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行 探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通

过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本
类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或

结合特例法解答的约占30%左右.

3、筛选法: 从题设条件出发,运用定理、性质、公式推 演,根据“四选一”的指令,逐步剔除干扰项, 从而得出正确的判断.

例6.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,
则a的取值范围是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)[2,+∞) 解:∵ 2-ax是在[0,1]上是减函数,所以a>1,排 除答案A、C;若a=2,由2-ax>0得x<1,这与

x∈[0,1]不符合,排除答案D.所以选(B).

例7.过抛物线y2=4x的焦点,作直线与此抛物线相交 于两点P和Q,那么线段PQ中点的轨迹方程是( B ) (A)y2=2x-1 (B)y2=2x-2 (C)y2=-2x+1 (D)y2=-2x+2 解:(筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1, 0),开口向右,由此排除答案A、C、D,所以选(B); 另解:(直接法)设过焦点的直线y=k(x-1),则,

? y ? kx ? 1 消y得:kx-2(k+2)x+k=0, ? 2 ? y ? 4x ? x ? x k ? 2
中点坐标有
?x ? 2 ? k 2 ? ? 2 ? y ? k ( k ? 2 ? 1) ? 2 ? k2 k ?
1 2 2

,消k得y=2x-2,选B.

小结: 筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题. 当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选 择支中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另

一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾,这样
逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图 解法等结合使用是解选择题的常用方法,近几年高 考选择题中约占40%.

4、代入法: 将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获 得正确的判断.即将各选择支分别作为条件,去验 证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案.

例8.函数y=sin( ?-2x)+sin2x的最小正周期是 ( B )
3

? (A) (B)? (C)2 ? (D)4 ? 2 ? ? ? 解:(代入法)f(x+ )=sin[ 3 -2(x+ )]+ 2 2 ? ? sin[2(x+ )]=-f(x),而f(x+π )=sin[ - 3 2 2(x+π )]+sin[2(x+π )]=f(x).所以应选(B);

另解:(直接法)y=
3

sin(2x+ ? ),T=π ,选(B).

3 2

1 cos2x- sin2x+sin2x= 2

例9.函数y=sin(2x+ 的方程是( A ) ? ? (A)x=- (B)x=- 4 ? 2 5? (C)x= (D)x= 8 4 ? 解:(代入法)把选择支逐次代入,当x=- 时, 2 ? y=-1,可见x=- 是对称轴,又因为统一前提规 2 定“只有一项是符合要求的”,故选(A). 另解:(直接法) ∵函数y=sin(2x+ 5? )的图 2 ? 5? 象的对称轴方程为2x+ =kπ + ,即 2 2 k? ? x= 2 -π ,当k=1时,x=- ,选(A).
2

5? )的图象的一条对称轴 2

小结: 代入法适应于题设复杂,结论简单的选择

题。若能据题意确定代入顺序,则能较大提
高解题速度。

5、图解法: 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图 形,借助几何图形的直观性作出正确的判断。习 惯上也叫数形结合法。

例10.在 (0, 2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的x的取 值范围是( C ) (A)( ? , ? ) ? (? , 5? ) (B)( ? , ? )
4 2 (C) ? , 5? ) ( 4 4 4

4 (D) ? , ? ) ? ( 5? , 3? ) ( 4 4 2

解:(图解法)在同一直角坐标系中分别作出y=

sinx与y=cosx的图象,便可观察选(C).
另解:(直接法)由 sin x ? cos x 得sin(x- ) (C).
4

>0,即2 kπ <x- ? <2kπ +π ,取k=0即知选

? 4

例11.在圆x2+y2=4上与直线4x+3y-12=0距离
最小的点的坐标是(
8 6 (A)( , 5 5 8 (C)(- 5


8 6 (B)( ,- ) 5 5 8 6 (D)(- ,- 5 5


6 , ) 5

)

解:(图解法)在同一直角坐标系中作出圆x2+y2
=4和直线4x+3y-12=0后,由图可知距离最小的

点在第一象限内,所以选(A)。
直接法:先求得过原点的垂线,再与已知直线相交

而得。

例12.设函数

?2? x ? 1 x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 x?0 ?x 2 ?

,若 f ( x0 ) ? 1 ,则x0

的取值范围是( D ) (A)(-1 ,1) (B)(-1 ,+∞ )

(C)(-∞ ,-1)(0,+ ∞ )
(D)(-∞,-1)(1,+∞)

解:(图解法)在同一直角坐标系中,作出函数
y ? f ( x) 的图象和直线y=1,它们相交于(-1,1)

和(1,1)两点,由 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 。

注意: 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路 范畴,而是一种数形结合的解题策略。但它在解 有关选择题时非常简便有效。不过运用图解法解

题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形
较熟悉,否则错误的图象反而会导致错误的选择

如:

小结: 数形结合,借助几何图形的直观性,迅速 作正确的判断是高考考查的重点之一;历年高 考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思 想求解的题目约占50%左右。

6、割补法: “能割善补”是解决几何问题常用的方法, 巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化为 规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而简

化解题过程。

例13.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶

点在同一球面上,则此球的表面积为( A )
(A)3 ? (B)4

?

(C)3 3?

(D)6

?

解:如图,将正四面体ABCD补形成 正方体,则正四面体、正方体的中 心与其外接球的球心共一点。因为 正四面体棱长为 2 ,所以正方体 棱长为1,从而外接球半径R= 3 . 2 故S球=3 ? 。

A D C B

小结:

我们在初中学习平面几何时,经常用到“割
补法”,在立体几何中推导锥体的体积公式时又 一次用到了“割补法”,这些蕴涵在课本上的方 法当然是各类考试的重点内容。因此,当我们遇

到不规则的几何图形或几何体时,自然要想到
“割补法”。

7、极限法: 从有限到无限,从近似到精确,从量变到 质变。应用极限思想解决某些问题,可以避开 抽象、复杂的运算,降低解题难度,优化解题 过程。

? 例14.对任意θ ∈(0, )都有( D ) 2 (A)sin(sinθ )<cosθ <cos(cosθ )

(B)sin(sinθ )>cosθ >cos(cosθ )

(C)sin(cosθ )<cos(sinθ )<cosθ
(D) sin(cosθ )<cosθ <cos(sinθ ) 解:当θ →0时,sin(sinθ )→0,cosθ →1, cos(cosθ )→cos1,故排除(A),(B)。 当θ →
? 2

时,cos(sinθ )→cos1,cosθ →0,

故排除(C),因此选(D)。

?x ? 0 例15.不等式组 ? 3 ? x 2 ? x ? ?3 ? x ? 2 ? x ?

的解集是( C )

(A)(0,2)

(B)(0,2.5) (D)(0,3)

(C)(0, 6 )

解:不等式的“极限”即方程,则只需验证
x=2,2.5, 6 和3哪个为方程 3 ? x ? 2 ? x 的根, 3? x 2? x 逐一代入,选(C)。

小结: 用极限法是解选择题的一种有效方法。它根

据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于
缩小选择面,迅速找到答案。

8、估值法: 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答 又无需过程。因此可以猜测、合情推理、估算而 获得。这样往往可以减少运算量,当然自然加强 了思维的层次。

例16、如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边

长为3的正方形,EF∥AB,EF ? 3 ,EF与面AC的距离
为2,则该多面体的体积为( (A)9
2
2

) (D)15
2

(B)5

(C)6

解:由已知条件可知,EF∥平面ABCD,则F到平面

ABCD的距离为2,∴VF-ABCD= 1 ·32·2=6,而该多 3 面体的体积必大于6,故选(D)。
E F

D C

A

B

例17、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的

距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面
积是( D )
16 (A) π 9 8 (B) π 3 (D)64 π 9

(C)4π

解∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r= 2 3 3 ,
则S球=4π R2≥4π r2= π >5π ,故选(D).
16 3

小结: 估算,省去了很多推导过程和比较复杂的 计算,节省了时间,从而显得快捷。其应用广 泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题

的一种重要的运算方法。

8、直觉判断法
数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式,逻辑思 维严格遵守概念和逻辑规则,而直觉思维不受固定的 逻辑规则约束,直接领悟事物本质,大大节约思考时 间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位,而 直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性 的成分。两者具有辨证互补的关系。因此,作为选拔 人才的高考命题人,很自然要考虑对直觉思维的考查。

例18.已知
4 A、 ? 3

1 sin x ? cos x ? , ? ? x ? 2? 5
4 3

则的值为( )

? B、



?

3 4

C、

?

3 4

4 D、3

【解析】由题目中出现的数字3、4、5是勾股数 以及的范围,直接意识到,从而得到,选C 。

例19.已知a、b是不相等的两个正数,如果 设
1 1 p ? (a ? )(b ? ) a b
1 2 , r ? ( a ? b ? 2 )2 q ? ( ab ? ) 2 a?b ab



那么数值最大的一个是( ) A、 p B、 q C、 r D、与a、b的值有关。

(提示:显然p、q、r都趋向于正无穷大,无法比较 大小,选D。要注意,这里似乎是考核均值不等 式,其实根本不具备条件——缺乏定值条件!)

三、总结提炼 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用 什么“策略”,“手段”都是无关紧要的。所以人称可以 “不择手段”。但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正 确的理由与错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往 往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才 会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊, 避免小题大作,真正做到准确和快速。 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原 则上都可以指导选择题的解答,但更应该充分挖掘题目的 “个性”,寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用, 迅速地作出正确的选择。这样不但可以迅速 、 准确地获 取正确答案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间。


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