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高中数学论文:高中数学线性规划常考题型及策略改好


高中数学线性规划常考题型及求解策略 建水二中:贾雪光
和以往的高考相比,新课标下的高考更加注重对知识的探究过程的考查,更加体现了知识 在现实生活中的应用,而线性规划是数学知识中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一 个分支,它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题,现行高中阶段新 课程标准下人教 A 版教科书中的简单线性规划问题主要是涉及两个变量的、 一

是在人力、 物力、资金等资源一定的条件下如何使用它们来完成最多的任务,二是在给定一项任务时如 何合理规划以便能以最少的人力、物力、资金等资源来完成任务的两种类型。两种类型的问 题解答过程都突出体现了优化的思想、数形结合的思想、划归与转化的思想 同时线性规划部 分的知识在高中数学中又属于直线与不等式部分的知识应用内容,与实际生活联系紧密, 因 此在近年的高考中受到越来越多的重视。出题的形式也越来越灵活,同时线性规划知识又经 常与其他知识进行交叉融合,这样一来这部分内容涉及到的题目不仅可以体现高中数学常用 的数学思想,如数形结合思想,转化与化归思想,而且还能考查学生的综合分析问题的能力, 逻辑思维能力以及解决实际问题的能力,于是理所当然的这一知识点就越来越受到出题者的 青睐,当然这部分内容在高考备考复习中的地位自然也就不断提高了,固我们十分有必要在 高考备考中就涉及这部分内容的题目进行整理、归纳、探究。现将近几年这部分知识的常考 题型和解题方法做一点总结,以期能为高考备考略尽绵薄之力。 常见的考法分两大块,共七种类型。

第一块为直接型,具体为:
一、 直接型 (已知线性约束条件, 探求线性目标关系最值问题)

?2 x ? y ? 2 ? 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最 ? x ? y ?1 ?
大值为 。 解析:如图 1,画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18

?x ? 2 ? 2 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 ?x ? y ? 2 ?

图1 书、 11

y 2

范 围 是 ( )A、[2,6] B 、[2,5] C、[3,6] D、 3,5] ( 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l : x+2y = 0, 将 l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值 2 , 过 点 B( 2,2 ) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A 求解策略:以上两个例子主要考查与线性规划有关的目标函数的最 值问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值。 数形结合是数学思想的重要手段之一。求解方法是: “平移找解法” 。 二、求解面积型

B A

y =2 x x + y =2

O

2 x=2

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 3 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?

y





A、 4

B、 1

C、 5

D、 无 穷 大

x+y – 3 = 0 B M A y =2

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 O C x O M B C 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B 2x + y – 6= 0 求解策略:这种类型问题主要是求作出可行域再用割补法将可行域变 =5 换成三角形或者矩形等能够直接求解面积的几何图形即可求解常见的有如上面的这种还 有和绝对值不等式综合以后来求解面积的两种形式。 三、整点问题型 4( 1 ) 满 足 |x| + |y| ≤ 2 的 点 ( x , y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( 、 A、 9 个 B 、 10 个 C、 13 个 D、 14 个



( x?0,y ? 0) ? x ? y ?2 ? x ? y ?2 ( x?0,y 0) ? ? 解 : | x |+ |y| ≤ 2 等 价 于 ? ( x? 0 , y ? 0 ) ?? x ? y ?2 ?? x ? y ?2 ( x? 0 , y 0 ) ? ? 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) 想象 , 用一张长宽都为整数的网覆盖到可行域上去, 容易数得可 则 行 域 中 的 整 点 个 数 为 13 个 , 选 D
?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 4(2) 已知 x, y 满足不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求使 x ? y 取最大值的 、 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?

y

O

x

整数 x, y .
y

2 解: 不等式组的解集为三直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 ,2 : x ? 3 y ? 6 ? 0 , l 2

l1
A

,设 l1 与 l2 , l1 与 l3 : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围成的三角形内部(不含边界)

l3
C

O

x
l2

l3 , l2 与 l3 交 点 分 别 为 A, B, C , 则 A, B, C 坐 标 分 别 为 A(
B(0, ?3) , C (
75 12 ,? ) , 19 19

15 3 , ), 8 4

B

作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 : x ? y ? 0 ,当 l 往 l0 右上方移动时, t 随之增大, ∴当 l 过 C 点时 x ? y 最大为
63 75 ,但不是整数解,又由 0 ? x ? 知 x 可取 1, 2,3 , 19 19

当 x ? 1 时,代入原不等式组得 y ? ?2 , ∴ x ? y ? ?1 ;当 x ? 2 时,得 y ? 0 或 ?1 , ∴

x ? y ? 2 或1 ;

?x ? 2 ?x ? 3 当 x ? 3 时, y ? ?1 , ∴ x ? y ? 2 ,故 x ? y 的最大整数解为 ? 或? . ? y ? 0 ? y ? ?1
求 解 策 略 : 可 采 用 网 格 化 处 理 法 如 例 4 ( 1 ) , 也 可 采 用 整点调整法如例 4 ( 2) 即: 先按 “平移找解法” 求出非整点最优解及最优值, 再借助不定方程的知识调整最优值, 最后筛选出整点最优解. 四、数形结合转化型(已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题) ? x ? 1, ? 5(1) 、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 . ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 解析:如图 2,只要画出满足约束条件的可行域,而 x 2 ? y 2 转化为 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知 A(1,2)是满足条件 的最优解。 x 2 ? y 2 的最小值是为 5。 y?a 当目标函数形如 z ? 时,可把 z 看作是动点 P( x, y) 与定点 x ?b
Q(b, a) 连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率
图2

的最值。 ?x-y+2≤0, ? y 5(2)已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ?x+y-7≤0, ? 9 (A)[ ,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞) 解析 9 (B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6] ).

y 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O x

5 9 y (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , )时, 取得 2 2 x 9 y 最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 5 x 求 解 策 略 : 当目标函数时非线性函数时,一般要借助目标函数的几何意义,然后根据其几 何意义,数形结合,来求其最优解。近年来,在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范 围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的 能力要求越来越高.常见的有以上两种,求解过程中要充分考虑目标函数的几何意义,再联系 数形结合的思想的应用。 五、约束条件变动型(约束条件设计成含有参数的形式,考查目标函数取值范围问题) 。

6、在约束条件 ? y ? 0 ?

?x ? 0

? ?y ? x ? s ? y ? 2x ? 4 ?

下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数

C

z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是()

A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析:画出可行域如图 3 所示,当 3 ? s ? 4 时, 目标函数 z ? 3x ? 2 y 在 B(4 ? s, 2s ? 4) 处 取 得 最 大 值 , 即 zmax ? 3(4 ? s) ? 2(2s ? 4) ? s ? 4 ?[7,8) ;当 4 ? s ? 5 时, 目标函
z ? 3x ? 2 y 在 点 E ( 0 , 处 )取 得 最 大 值 , 即 4



zmax ? 3? 0 ? 2 ? 4 ? 8 ,故 z ? [7,8] ,从而选 D; 7、 已 知 | 2 x- y + m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0 ) 和 ( - 1,1 ) 则 m 的 取 , 值范围是 ( ) y A 、 -3 , 6 ) B 、 0 ,6 ) C 、 0,3 ) D、 -3,3 ) ( ( ( ( 2x – y + 3 = 0
2x – y = 0

?2 x ? y ? m ?3 ?0 解 : | 2 x- y+ m| < 3 等 价 于 ? ?2 x ? y ? m ?3 ?0 ?m ? 3 ? 3 由右图可知 ? ,故 0< m < 3, 选 C ?m ? 3 ? 0

O

求 解 策 略 : 这两道题的设计都很有新意,求解时可以先作出可行域,寻求最优解条件,然 后转化为目标函数 Z 关于 S 的函数关系来求解。最终是采用平移过原点的目标函数的方法来 求解,其实质还是考查线性规划的通性通法。

第二块为逆向考查型:
六、线性规划的逆向问题(已知平面区域,逆向考查约束条件;已知最优解求解约束条件或 者是目标函数中的参数。 ) 2 例 8 (1)已知双曲线 x ? y 2 ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示该区域 的不等式组是() ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? ? (A) ? x ? y ? 0 (B) ? x ? y ? 0 (C) ? x ? y ? 0 (D) ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ? ? ? 解析:双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,与直线 x ? 3 围成 一个三角形区域(如图 4 所示)时有 ?
?x ? y ? 0 。 ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

2 4 例 8 (2)给出平面区域如图所示.若当且仅当 x= ,y= 3 5 时,目标函数 z=ax-y 取最小值,则实数 a 的取值范

围是 解析

. 2 4 当直线 y=ax-z(a<0)过点(3, 5) ,且不与直线 AC,BC 重合时,-z 取得最 4 5-1 12 3 kAC=2 =- 5 ,kBC= 2 =- 10. 3-1 3 4 5

大值,从而 z 取得最小值.

12 3 所以,实数 a 的取值范围是(- 5 ,- 10). 求 解 策 略 : 第一题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的 方法。第二题通过作出可行域,在挖掘 ? a与 z 的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直 线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的 a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基 本功,同时对几何动态问题的能力要求较高。 七、逆向考查与基本不等式综合 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 9、已知目标函数满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 若目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值 ? x ? 0, y ? 0 ? 为 8,则 a ? b 的最小值是为( )A、2 B、4 C、6 D、8 解析:作出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 8x-y=4 的交点 A(1,4)处,目标函数 z 最大值为 8 即此时 a ? b ? 4 ? 8 ,即 a ? b ? 4 又由 a ? b ? 2 a ? b 知道 a ? b 的最小值为 4 所以选择 B ?x ? y ? 3 ? 例 10、已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 10, ?2 x ? y ? 3 ?
5 4 ? 的最小值是为( )A、6 B、7 C、8 D、9 a b 解析:作出可行域,得在直线 2x-y=3 与直线 x-y=-1 的交点 A(4,5)处,目标函数 z 最大值为 10 即此时 4a ? 5b ? 10 , 5 4 5 4 1 1 5 4 1 25b 16 a ? 又由于 ? = ( ? ) ? 10 ? = ( ? ) (4a ? 5b) = ? (20+20+ ) 10 10 a b a b a b a b 10 5 4 1 所以有 ? ? (40 ? 2 25 ? 16 ) ? 8 所以本题选择 C a b 10 求解策略:这种类型题目不仅要注意线性规划的问题,同时还要考虑基本不 等式应用时的条件,即“一正,二定,三相等”如上面两道题目就是本类型 题目的代表很是值得研习。 以上是我在教学实践中所发现的点滴规律, 展示出来供各位奋斗在教学一线的数学教师参 考,与各位辛勤的同仁分享,希望能对你的教学有所帮助,以期能为高考备考略尽绵薄之力




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