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陕西省西工大附中2008年高三数学(理科)模拟考试试卷


陕西省西工大附中 2008 年高三数学(理科)模拟考试试卷
第一卷:选择题
一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合要求的。) 1.已知集合 M= {x | y ? lg(1 ? x)} ,集合 N ? { y | y ? e x , x ? R}(e 为自然对数的底数), 则M ?

N = A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. ?

2.函数 f ( x) ? 3x ? sin x, x ?[0,1) 的反函数的定义域是: A. [0,1) B. [1,3 ? sin1) C. [0, 4) D. [0, ??)

3. 一个容量为 64 的样本数据,分组后,组别与频数如下表: 组别 频数

?10, 20?
1 C6

? 20,30?
3 C6

? 30, 40?
5 C6

? 40,50?
0 C6

? 50,60?
2 C6

? 60,70?
m

? 70,80?
6 C6

则样本在 ? 50,70? 上频率为: A.

13 32

B.

15 32

C.

1 2

D.

17 32

4.数列 ?an ? 中, a1 ? 2i,(1 ? i)an?1 ? (1 ? i)an (n ? N * , i 是虚数单位),则 a10 的值为: A. 2 5.将函数 y ? sin(6 x ? B. ?2 C. 2i D.1024i

?
4

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移

? 个单 8

位,得到的函数的一个对称中心是: A. (

?
2

, 0)

B.

( , 0) 4

?

C.

( , 0) 9

?

D. (

?
16

, 0)

6.已知 n 为等差数列 ? 4,?2,0,? 中的第 8 项,则二项式 ( x 2 ? 2 ) n 展开式中常数项是: x A.第 7 项 B.第 8 项 C.第 9 项 D.第 10 项

7 .已知 A(2, 0), B(0,1) , O 是坐标原点,动点 M 满足 OM ? ? OB? (1? ? ) OA ,并且

OM AB ? 2 ,则实数 ? 的取值范围是:
A. ? ? 2 B. ? ?

6 5

C.

6 ???2 5

D. 1 ? ? ? 2

? x3 ? 8 ? x ? 2 ( x ? 2) ? ? f ( x) 的值是: 8.已知函数 f ( x) ? ? 10 ( x ? 2) ,则 lim x ? 2? ? x ? 2 ( x ? 2) ? ? ?
A.不存在 B.4 C.10 D. 12

B C 中,?C ? ?B 是 sin C ? sin B 的充分不必要条件;命题 q :a ? b 是 9. 命题 p : 在 ?A

ac2 ? bc2 的充分不必要条件,则
A. p 真 q 假 C.“ p 或 q ”为假





B. p 假 q 真 D.“ p 且 q ”为真

AB ? 4, BC ? 3 , 10. 矩形 ABCD 中, 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D ,
则四面体 ABCD 的外接球的体积为: A.

125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

D.

125 3

11.已知 |a| =

2|b| ? 0 ,且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的
?? ? ?? 2? ? ?? ?

取值范围是 A. ?0,

? ?? ? ? 6?
2

B. ? , ? ? ?3 ?

C. ? , ? ?3 3 ?

D. ? , ? ? ?6 ?

12.设曲线 y ? x 上任一点 ( x, y ) 处的切线的的斜率为 g ( x) ,则函数 h( x) ? g ( x) cos x 的 部分图象可以为:

第二卷:非选择题

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。)
13.先后抛掷两枚均匀正方体骰子,骰子朝上的面的点数分别为 x 、 y ,则 log 2 x y ? 1的概 率为 ; ;。

14.棱长为 1 的正八面体的体积是

15.已知点 A 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右支上, ABC 是等边 三角形,则 ABC 的面积是 16 . 已 知 函 数 f ( x) ? Cn ? Cn x ?
0 1



f ( 2? 2 x ? ) f (2) lim ? x ?0 x

1 2 2 Cn x ? 2


1 k k ? Cn x ? k

1 n n ? Cn x , n

n? N* , 则

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 8sin (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值.
2

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 . 2

18.(本小题满分 12 分)
1 9 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 ,若一个坑 2

至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内种子都没有发芽,则这个坑需要补 种。 (Ⅰ)求甲坑不 需要补种的概率; . (Ⅱ)记 ? 为需要补种的坑的个数,求 ? 的分布列和数学期望。

19.(本小题满分 12 分)

已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的每条棱长均为 2, M 为棱 A1C1 上一动点。 (Ⅰ)当 M 在何处时, BC1 ∥平面 MB1 A ,并证明之; (Ⅱ)在(Ⅰ)下,求二面角 A1 ? AB1 ? M 大小; (Ⅲ)求三棱锥 B ? AB1 M 体积的最大值。

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2loga (2 x ? t ? 2) 和 g ( x) ? loga x (其中 a ? 1, t ? R ) 的图象在 x ? 2 处 的切线互相平行。 (Ⅰ)求 t 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 x ? [1, 4] 时, F ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 4 x , F 是抛物线 C 的焦点,过 F 点的直线 l 与抛物线 C 相交于
2

A、B 两点,记 O 为坐标原点。 (Ⅰ)求 OA OB 的值; (Ⅱ)设 AF ? ? FB ,当△ OAB 的面积 S
OAB

?

5 时,求 ? 的值。 2

22.(本小题满分 14 分)

已知:曲线 C: xy ? 1 ,过 C 上一点 An ( xn , yn ) ,作斜率为 k n ? ? 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) ,点 An (n ? 1, 2,3, (Ⅰ)求 x n 与 xn ?1 的关系式(用 x n 表示 xn ?1 ) (Ⅱ)求证:数列 {

1 的直线交曲线 C xn ? 2

) 的横坐标构成数列 { xn } 。其中 x1 ?

11 。 7

1 1 ? } 是等比数列; xn ? 2 3

(Ⅲ)求证: (?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ?

? (?1)n xn ? 1 (n ? N*) 。

参考答案
选择题(每题 5 分,共 60 分)
题 号 1 2 3 4 5 A 6 C 7 B 8 D 9 C 10 C 11 B 12 A 选 项 C B B A 二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.

1 12

14.

2 3

15. 3 3

16. 3 ? 1
n

三.解答题(共6道题,17 至 21 每题满分 12 分,22 题满分 14 分,共 74 分) 17.解:(1)在△ABC 中有 B+C=π -A,由条件可得 4[1-cos (B+C)]-4cos A+2=7. 又
2 2

??????????? 2 cos ( B+C ) =-cosA
'

'







4

cos A-4cosA+1=0 解 A= 得 : cosA=

???????????? 4

? 3
( 2 ) 由 cosA=

1 2

,



A





0



π







????????? 6 ?

1 2

知 ?????? 8 ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

=

1 2

,



(b ? c) 2 ? a 2 ? 3bc .
又 a=

3



b+c=3









bc ? 2 .

????????? 10?



?b ? c ? 3 ? ?bc ? 2

?
???????????? 12?

?b ? 1 ? ?c ? 2



?b ? 2 ? ?c ? 1

1 1 18.解.(Ⅰ)因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为 (1 ? )3 ? ,即甲坑需要补种的概 2 8



1 8


1 7 1? ? 8 8
















'









???????? 4

(Ⅱ)因为 ? 为需要补种的坑的个数,所以 ? 的可能值为:0,1,2,3,那么
7 7 7 343 ; P(? ? 0) ? ? ? ? 8 8 8 512 7 1 1 21 P(? ? 2) ? C32 ? ? ? ? 8 8 8 512 1 P(? ? 3 ) ? 8 1 ? 8 1 ? 8 1 ? 5 1 2 7 7 1 147 1 P(? ? 1) ? C3 ? ? ? ? 8 8 8 512

; ???????? 8
'

所以 ? 的分布列为:

?



343 512


147 512


21 512


1 512

???????? 10 所 3 E? ? 0 5 以
? 4 1 1 3' ???????? 12? 2

'


2

19.解.(Ⅰ)当M在 A1C1 的中点时, BC1 ∥平面 MB1 A

AM 、 CC1 ,使 AM 与 CC1 交于 N ,则 ∵M在 AC 1 1 的中点时,延长

NC1 ? CC1 ? 2 ,连结 NB1 并延长与 CB 交于 G ,则 BG ? CB, NB1 ? B1G ,
在 CGN 中, BC1 为中位线, BC1 ∥ GN ,又 GN ? 平面 MAB , ∴ BC1 ∥平面 MB1 A ?????? 4
'

E 为 A1 在平 (Ⅱ)过 A 1E ? AM ? E ,∵ B1M ? 面 AC 1作 A 1 1CA ,则

面 MB1 A 内的射影, 且在 Rt AA1M 中, A1 E ?

2 5 , 在等腰直角三角形 AA 取 AB1 1B 1 中, 5

EF ,则 ?AFE 的中点 F ,连结 A1F ,则 A1F ? AB1 且 A 是所求二面角的 1 1F ? 2 ,连结
平面角, ?????? 6
'

sin ?A1FE ?
10 。 5

A1E 10 ? A1F 5























arcsin

?????? 8

'

(Ⅲ)设动点 M 到平面 A 1 ABB 1 的距离为 h ,

VB ? AB1M ? VM ? AB1B ? S

ABB1

1 1 1 3 2 3 h ? ? ? 22 h ? ? 22 ? ?2 ? 3 2 6 2 3 2 3 , 此 时 M 点 与 C1 重 3

即 三 棱 锥 B ? A 1B M 体 积 的 最 大 值 为 合。 20 . ?????? 12 解 :
'








'

4 f ?( x ? ) 2x ? t ? 2

a

e

l , o

g

g ?( x) ?

1 log a e x

?????? 2

又∵函数 f ( x ) 、 g ( x) 的图象在 x ? 2 处的切线互相平行 ∴

f ?(2) ? g ?(2) , ∴
?????? 6
'

4 1 log a e ? log a e , t?2 2



t?6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 t ? 6 ,

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2log a (2 x ? 4) ? log a x ? log a

(2 x ? 4)2 , x ? [1, 4], x

∴ F ( x) ? 2 恒成立,即 loga

(2 x ? 4)2 (2 x ? 4) 2 ? 2 恒成立,又∵ a ? 1 即 ? a 2 恒成立 x x

x ? [1, 4],
令 h( x ) ?

(2 x ? 4)2 16 ? 4 x ? ? 16 , x ? [1, 4], x x

∴ h?( x) ? 4 ?

16 4( x ? 2)( x ? 2) ? , 当 1 ? x ? 2 时,h?( x) ? 0 ,当 2 ? x ? 4 时, x2 x2

h?( x) ? 0 ,
∴ 函 数 h( x) 在 [1, 2] 上 单 调 递 减 , 在 [1, 2] 上 单 调 递 增 , ∴

h( x)min ? h(2) ? 32 ,????? 9 '
【另法:∴ h( x) ? 2 4 x

16 ? 16 ? 32 ,(当且公当 x ? 2 时,“=”成立), x

h( x)min ? 32 】
∴ h( x)min ? 32 ? a2 且 a ? 1 , ∴ 1 ? a ? 4 2 所 以

a








'





1? a ? 4 2

???????? 12

21.解.(Ⅰ)∵抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,∴ F (1, 0) ∴设过 F 点的直线 l 的方程为:

x ? my ? 1 ,则
? y2 ? 4x ,消去 x 得: y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? x ? my ? 1 ?
设 A、B 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,则 y1 y2 ? ?4 , 又∵ y12 ? 4 x1 , y22 ? 4x2 ,∴ x1 x2 ? 故

1 2 2 y1 y2 ? 1 16
'

OA OB ? x1x1 ? y1 y1 ? ?3

???????????????? 6

(Ⅱ)∵ AF ? ? FB ,∴ (1 ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ?1, y2 ) ,即 ?

?1 ? x1 ? ? x2 ? ? , ? ? y1 ? ? y2

? 1 ? x1 ? ? x2 ? ? ? x1 ? ? ?1 ? x1 ? ? x2 ? ? ? ? ∴ ?1 即? ,解得: ? 1 2 2 2 1 2 (? y1 ) ? ? y2 x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ?4 4 ? ?
? y1 ? 2 ? ? 又 ∵ ? ?0 ∴ ? 1 , ? y2 ? 2 ? ?

? x ?? ? ? ? 1 ∴? ?x ? 1 ? 2 ? ? ?

y12 4 y2 2 4

y1 y2 ? ?4 ? 0 ,



y1 ? y2 ? 2 ? ? 2

1

?
? 1 1 5 OF y1 ? y2 ? ? ? ? , 2 ? 2
得 :

而S 解

OAB

??4
'



??

1 4

???????? 12

22.(本小题满分 14 分) 解.(Ⅰ)∵过 C : xy ? 1 上一点 An ( xn , yn ) ,作斜率为 k n 的直线交曲线 C 于另一点

An?1 ( xn?1 , yn?1 )
1 1 ? 1 y ? yn xn ?1 xn 1 ,又∵ k n ? ? , kn ? n ?1 ? ?? xn ? 2 xn ?1 ? xn xn ?1 ? xn xn ?1 xn
? 1 1 ?? xn ?1 xn xn ? 2
'

∴ ∴
x n ?1 ? xn ? 2 xn





???????? 5









an ?

1 1 ? xn ? 2 3







an ?1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?2( ? ) ? ?2an , x ? 2 xn ?1 ? 2 3 xn ? 2 3 n ?2 3 xn
又 ∵ x1 ?

1 1 1 1 11 , a1 ? ? ? ?2 ? 0 , 所 以 数 列 { ? }是等比数 7 x1 ? 2 3 xn ? 2 3
'

列???????? 10

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 得:an ? (?2)n , 则 xn ? 2 ? 当

1 (? 2) n ? 1 3

∴ (?1)n xn ? (?1)n 2 ? 数 时

1 (2)n ? (?1)n


1 3


n





(?1) n ?1 xn ?1 ? (?1) n xn ? ?2 ?

1 2n ?1 ? 1 3

?2?

1 2n ? 1 3

?

2n ?1 ? 2n 1 1 (2n ?1 ? )(2n ? ) 3 3

?

2n ?1 ? 2n 2n ?1 ? 2n 1 1 ? n n ?1 ? n ?1 ? n 1 1 2 2 2n 2n ?1 ? (2n ?1 ? ) 2 2 3 3

① 当 n 为偶数时,

(?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ?

? (?1)n xn ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 2 2 23 2 4

?

1 1 ? n n ?1 2 2

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1? 1 ? 1 ?2 1 2n 1? 2 ②当 n 为奇数时,前 n ? 1 项为偶数项,于是有:

(?1) x1 ? (?1)2 x2 ? (?1)3 x3 ?
? 1 ? (2 ?


? (?1)n xn ? 1 ? (?1)n xn ? 1? xn
1 ?1
① ② 得
*

1 1 (?2) ? 3
n

) ? ?1 ?


1 2 ? 3
n

(? x1

2

1

?

x2

n

n

)3

?

14' 1 ???????? x ? 3 (
【以上答案仅供参考】

? x

)


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