当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数的最值和综合应用


最 值问题是 中学 数学 中永恒 的话题 , 它几乎涉及所有 中学数学教学 内容 , 也是高考数学的重中之重 ;   三角函数的最值 问题 自然 也成了考试的热点问题 , 它在高考 中的考查 方式不外乎有 以下两 种 : 一是直接  考查 , 即试题 的形 式是求某一三角 函数 的最值 ; 二是 间接考查 , 即试题 的形式是在立体几何 、 解析几何等 

其 他数学分 支的最值 问题 , 但可化归为三角函数的最值问题.  

三角函 数的最值和综合应用  
… ? … ?



?…



?







?



?



?

??

??



?

?

??

??  

0 浙 江 宁 波 市 北仑 中学

吴 文 尧 

重 点 :熟 悉 基 本 三 角 函 数 最 值 

基 本 的三 角 函数 化 为 基 本 的 三 角 函 

难点 : 含参 数 的三角 函数 最值 问  题: 三角 函数最 值 的综合 应用 问题 .  

的求 法 ; 通过变形 、 换 元 等 方 法 把 非 

数 或基 本 的代 数 函数 的最 值 问题 .  

1 .三 角 函数 的值 域 或 最值 的考  查, 一 般有 以 下 两种 形 式 : 一 种 是 化  为 一 个 角 的 三 角 函数 的 形 式 , 如  =   A   s i n ( t o x +  ̄ p )   ,要 注 意 角 的 取 值 范 
围的 考 虑 :另 一 种 是 转 化 为 以某 一 

( 3 ) Y = a s i n 2 x + b c o s x - 4 - c( 或Y =  
o s  + 6 s i  + c) 型: 先 进行 换元 . 化 
为 一 个 角 的 同名 三角 函数 形 式 的 一  元二次式 , 利 用 配 方 法 或 图 象 法  求 解.   ( 4) y —a
— 一

设t = s i n x  ̄ c o s x . 将s i n x ? C O S X 转化为t 的 

关 系 式 ,化为 关 于t 的函 数 的最 值 问 
题 进 行处 理.  
L  

( 7) y = a s i n x +  , _型: 利 用 函 数 
s i nx  

三 角 函数 为 未 知数 的常见 函数 问题 .  

s i n x +


如y - f ( s i n x ) , 要 注 意 数 形 结 合 思 想 
的应 用 .具 体类 型有 :  

 

S I I 1 X 4 -   b (   ) , =   a c o s x + b )  
 

的单 调性 求 解.  
2 .对 于 三 角 函数 最 值 的应 用 问  题 通 常可 用 “ 目标 函数 ” 的方 法 解 

CC0S  +d /  

型: 用 分离 常数 法化 为只 在分母 上 含  有 变量 的关 系 . 再 根 据有 界 性求 解.  
( 5 ) y : — a s i n


( 1 ) y = a s i n x + b ( 或y = a c o s x + b ) 型:  
利 用 三 角 函 数 的 有 界 性 或 单 调 性 
求 解.  

决 ,其 解 题步 骤 可 总 结 为 : “ 变 量一   函数一 值 域 ” . 变量 : 选 择 一个 量 为 目  

c c 0 s   + d\  

x + b   f 或 , , : — a c o s — x + b   1  
c s i n   + d/  

标 函数 的 自变量 ( 通 常 选 择 某 一 个 

( 2 ) y = a s i n x + b c o s x   :引用 辅 助 

型: 可 借 助 直 线 的斜 率 的 关 系 用 数 
形 结合 的方法 求 解.  
( 6 ) 含有s i n x + c o s x , s i n x ? C O S X 型:  

角为变量 ) ; 函数 : 求 出 目标 函数 的  
解 析 式 及 定 义域 : 最值 : 求 出 目标 函  数 的值域 , 即得 所 需结 论.  

角化为) , = 、 /  6   s i n ( x +  ̄ o ) 的形式再 
利用 三 角 函 数 的有 界性 求 解.  

静例 1  ( 2 0 1 4 年 高 考 新 课 标 

m  , 则 m的取值 范 围是 (  

)  

D.( - 0 0 , - 1 ) U( 4, + 。 。 )  

A.( 一 ∞, 一 6 ) U( 6 , + ∞)  

思索

要 求 得m的取 值 范 围 . 只 

卷I I ) 设 函数厂 (   ) = 、 / 了s i n   . 若存 
m  

B .( 一 ∞, 一 4 ) U( 4 , + ∞)   C .( 一 。 。 , - 2 ) U( 2, + 。 。 )  

需要得 到 m满 足 的不 等 式 , 故 把 条 件 

(   ) 的极 值 点 ‰满 足  +  ( ‰) ]   <  

“ 4 k  ̄ / 6 f ( x ) 的 极值 点  0 满足 

‰) ]   <  

难 点攻略 
m  ” 翻 译 成 关 于mS 不 等 式 .  
o 破 解  由— ' r i ' x | i } 叮 T +一 ' T 解 得 ‰: i  


2  ( 詈 甜 詈 < 詈) 朋,  ̄ x + 7 6 r =  s i n  








5   Ap


C A   3   一 

即 

AQ   3  

:  

i  .  



m 

2  

即  : 卫 时 y 取得 最大值 6 、 / 了.  


又因为C Q = 、 /3   P Q。 在R t AP Q A中,  

丢 ) m , 此 帆0 )   、 / 了 .   0 ) ] 2 <   例3 ( 2 0 1 4 年高考浙江卷 )   某 人 在 垂 直 于 水 平 地 面AB C   m 2 § (   +   1 ) 2 m 2 + 3 <   甘 (   + { )   <   如 图 1。
m E

一 一

2  

3  

‘  

t a n 1 9 -   : —5 _ . s i  ≤  
A Q  3  ̄' 3-  
‘ D : 9 0 。 时, t a n   的 最大值 为 
9  



即 

9  
.  

3 ( 其中  ∈z) 由题 意 可知 , 存 在 


的 墙 面 前 的 点 A处 进 行 射 击 训 练 .  
已知 点A到墙 面 的距 离 为AB,某 目  

点评

这 是 一 个 立 体 几 何 与 三 

整 数   使 不 等 式  { )   <  成   为 了准 确 瞄 准 目标 点P, 需 计 算 由 点 
立 , 所 以  < ___ m2 - 3


标点P 沿墙 面 的射 线 C M移 动 ,此 人 

角 函数 综合 的 最值 问题 ,解 决 这 类 

问题 通 常 有 以. 下 两种 方 法 :一是 利 
用 目标 函数 法 解 决 : 二 是 利 用 几 何  

解 得 m2 > 4, 即 

A观察 点P 的仰 角 的大小.若A B =  
1 5   m. AC = 2 5   m,  B C M= 3 0 。 , 则t a n 0  

4  

m 

意 义 法解 决.在 用 目标 函数 法 求 最 
值 时 . 当 可 用 某 一 线 段 长 作 为 目 标  函 数 的 变 量 .也 可 用 某 一 角 的 大 小 

m< 一2 或 m> 2 .故 选 C.  

的最 大 值是 一

( 仰 角0 为 直 线 

例2在 AA B C   r  ̄,已知 内  
角A=   ' I T 边B c = 2 、 / 了 .设 内角B  ,  


A 脐口 平 面A B c 卢 斤 成 的角 )  

作 为 目标 函 数 的 变量 时 , 多数 情 况 
下 选 择 以 角 为 变 量 . 因 为 角 的 几 何 

周长 为 

意 义 比较 明显 .且 学过 的 一 些 三 角  

( 1 ) 求 函数y = f ( x ) 的 解 析式 和定 
义域 :  

公 式可 以发 挥作 用 ( 如该 例题 没 有 

选择 以B Q 或C Q 为目标函数的变量 ,  
而选 择 
图 1  

( 2 ) 求Y 的最 大值.   思索 三 角 函数 最值 的考 查 更 
多是 综 合 性 的 应 用 . 三 角 函 数 中 的 

C 为 目标 函数 的 变 量 ) .  

本 题 还 可 以 利 用 几 何 意 义 法解 决 .   你 能想 到吗 ?  

思索   ( 1 ) 注 意 到 在 图 中 没 有 
画 出角0 , 所 以 首 先 要 画 出 直 线AP 和 
平 面AB C 所 成 的 角.  

三 角形 问题 与三 角公 式 的 恒 等 变换  的 结合 是 近年 高考 考查 的热 点. 本题 

例4 ( 2 o 1 4 年高考辽宁卷 )  
对 于c > 0 , 当 非 零 实 数 口, b 满 足4  一   2  + 4 6 2 _ c = 0 , 且使 u = 2 a + b 最大时 ,  =  

第( 1 ) 问利 用 正 弦 定 理 表 示 出三 角  
形 另 两 边 关 于 角B的 函数 关 系 : 第 

( 2 ) 问利 用三 角公 式 进行 恒 等 变换 ,  
将 函数 化 为 
再 求 最值 .  

三一 一一 _ 一+ 4+ 三 的最小值为 一 最, J 、 但刀  
口   b   c  

s i n (  

)   的形 式 ,  
A  图 2  

思 索

奉 越   以 迈 州 三 角 代 抉 

的 方 法 .把 它 化 归 为 三 角 函 数 的 最 
值 问题 .  

破 解  ( 1 ) AABC ̄ 内 角和A+  
B+C= 1 T , 由 A =_ ' = i T _


B> 0, C > 0  ̄- 0 < B<  
.  

( 2 ) 如 图2 , 要求t a n 0 的最大值 ,  

破 解  4  一 2 n 6 + 4 6   一 c = 0  5 ( 0 一  

2 " r r


即 求P Q : Q A的 最 大值 ,注 意 到 c Q =  
应用正 弦定理 . 知 Ac:  




3  

s i nA 

、 / 3即 ,所 以原 问题 转 化 为 : 在 
△A Q C 中 。 求 两边 长 的 比 Q C : Q A的  
最大 值. 已知  C p 为定值 , 因此可选择 

+ 3   c 。 +   ,   = z c   【  
l 【  _  
俨   一 C 

] 。 +  

s i n B :— 2X /3  s i 吡 : 4 s i m . AB:   .   s i n 一 , I T   i n A  


J l   = 1 一 , 所 ’ 以 可 ’ 令 ’    
.  
. 

3  

Q A C =   为 目标 函 数 的 变 量 ,然后 
把 t a n O 表 示 成 的 函数 .进 而 求 出  
t a n 0 的最 大值 .  

俨b =X /  ̄一 0  cOS O n '

s i n c = 4 s i n t  ̄ - x 1 . 因 为  B + B c +  
2  

解得 
叶 6 :   s i n  .  

所  ̄ X   y = 4 s i 眦  i n (  一   『 +  f T A B C , 连接AQ , 则  
( 2 ) 因 g # y = 4 ( s i   + _ V - Y     c 。   +  

破解

作P Q I B C f - Q, 则P Q上平   Q 为 直线A P  

、 / 了 
x /C  
C # =一  

和 平 面AB C 所成的角  
由 已知 , B C = 2 0 m, 所以s i n 厶4   c j  

( 、 / 了  i n  、 / 了c 0 s 0 ) ,   ( 、 / 了  i n  、 / 了c o s   ) .  
( 3   s i n 8 +  

、 / 3 O  
6 :   三 

÷ , 令  Q A c =   , 在A A Q C q " , 由正弦   ) 
理 可 知  :   :  

、 / 3 0   所 以u : 2 8 + 6 :  

2   s i 似 ) /   + 2  = 4 N / - g - s i n  6 \  / )   +  定
2 8  

s i m p  

s i n  Q C A  

、 /  

、 / —  c o s   ) : _ =  _ _   一 ( — 、 / 1  s i n   + c 0 s   ) :  
、 / 1 0  


詈  一   4 V - g - , 此  瑚 =  
cos  =


以. s : 一 3 " 4


T O 三: — 2 X /


6 4 vT





+一


:  

a   b   c  
2v To


c  

vq - 0\ 4   s i n ( 0 +  ̄ p ) ( 其

( V T s . s i n 0 + 1 。 。 s   1 - — 4 X / — 7 .   4   / vT0  
 ̄ o = a r c s i n   ) .所 以 +  

一 孚, c o s 0 = s i n  ̄ = 丢 . 由 此 可  一


√ c  

十 一 : f I   ~ 一 . V .   ‘ l 一  l  
+  :

c   \ x /c  

/  

得口 = — 一 、 / /  , 6 :  
2 、 / 1 0  

、 /  , 所 

x / 1 0  

以   =   , 辄: 妻 时 ,  一 2  

1 .若 AAB C的 内 角 满 足 s i n A+  

、 /  s i n B = 2 s i n C , S J l c o s C  ̄

&值是 

圆 心 角   P D Q =   0 <   < 詈 ) , 求 扇 形   A  Dc o t a= Rs i n 0 c o t a. 所 以CD=O D— OC=  
的 内接 矩形 的面积S 的最 大值 .  
Q  
C D?  
c o   咖  =   ?  

Rc o s O .在 R t   AB OC中 . O C= B C c o t o t =  

Rc o s 0 一 Rs i n 0 c o t a. 其 面积 S   ( 0) :  
=   ( s i n 0 e o s 0一 c o 衄s i n   )=  

2 已 知 函 数   ) —  i n   (   + 孑 ) +  
6 s i n x c o s x - 2 c o s 2 x +1 .   ∈R  

( 1 ) 拟   ) 的最小正周期 ;  

( s i n 2 0 s i n   十 c 。 s   . c 。 s 2   _ c 。 s   ) : — . ! ! 一.  
0   2 s i n a 
P 

( 2 )  ) 在 区 间 [ 0 , 詈 ] 上 的 最  
大值 和 最 小值 .  

图 4  

c o s  一 2 0 ) - C O S O  ̄ ] , 所 以 
1 R: 1 - c o s a
_

时, s  

3 。如 图3 , A是 单 位 圆 与  轴正 半 

1   Rh
: .

轴 的交点 , 点曰 , 尸 在单 位 圆上 , 且 已知 

参 考 答 案 
1 .—

an 

.  

V- g- x / T 


( - ÷ , ÷ ) ,   A 卯   , 厶 t  ( 0 <  
竹 ) , - o - O - = - o - X +  ̄, 四 边形 o A 9 P 的 面  
积 为&  

4 

2 .( 1 ) 函 数 (   ) 的最 小. i f r _ 周 期 
为叮 r .  

( 1 ) 求c o s a + s i n a;   ( 2 ) 求  .   的值 
J  

( 2 ) 函数厂 (   ) 的最 小值 为一 2 , 最 
大值 为2 、 /  .  

D 

的最大值 及 此时 

图 5  

图 6  

Q  
一  

2 ) 3 - 内接 矩形 有且 仅 有 两个顶  " 3 . ( 1 ) 因 B ( 一 了 3 , 詈 ) ,   A ∞ =   ,   点在 ( 弧P Q 上时( 如 图6) , 设 弧  的 中  点 为 , A, 曰 在0   上 的 射 影 分 别 为F.   C O S   = 一 — 5 —   .   S l 1 1   = 詈 — 5 —   , . i  ̄ c o s a + s i n a = 了 — 5 1 —   .   E, 则 矩 形AB E 服 扇形O T P 的 内接 矩  
c。 s   =一  , ‘  

( 2 ) 由 已知 得 , A( 1 , 0 ) , P( c o s O ,  

形 ,且 仅 有 一 个 顶 点 在 孤  上 ,  

s i n O ) , 所以o - - 0 = ( 1 + c o s O , s i n   ) ,   .   / _ _ . P O T = 昙. 由 ( 1 ) 可 知, 矩 形 A 舾  - 0 - 0 = l + c o s 8 .  ̄ S = s i n 0 , 所以  .  +  
S = s i n   + c 0 s 0 + 1 :   s i n   f 0 +   _1 r + 1  
\ 4 /  

的 面积 的 最 大值 为1 R h a n  


2 

4  

所 以 

4 . 已 知 向  ( c o s  s i n  ,  
西 = ( c o s 詈 , . s i n 詈  ( 1 ’ - 1 ) , 其 中  


( 0 <   < 叮 T ) , 则  ? - o 0 + s e最大 值为  
、 /  + 1 . 此时   .  

矩 形 AB C D的 面 积 的 最 大 值 S  =  
2 t a n  

R h a n 兰 由于 t a n 旦: ——   > 2 t a n  .  
4   2   1  
an  

4 ’  

4 .最 大 值 为 为  _ 三 r . 最 小值 为一 8 .  

4  

詈 ≤   ≤ 詈 ,  ) = ( J 口   J 2 - 3 ) ( J   +  
5 .如 图4 . 扇形D 肋 的半 径 为R.  

5 .( 1 ) 3 内接 矩 形 仅 有 一 个 顶  - " 点 在 弧P Q上 时 ( 如 图5 ) , 设  AO P =  
0, 在 R t △AO D   e e. A D: R s i n O. O D:  

c   I   2 - 3 ) , 拟   ) 的最大值和最小值.  

所 以 ÷ ,   R 2 t a “   O ’ /   > R  ̄ t a n 号 4   . 由 ( 、   1 ) ( 2 )  
- -  ̄, q4 S   2 t a n 旦


曰 


赞助商链接
相关文章:
4.4(2015文)三角函数的最值与综合应用(知识点)
4.4(2015文)三角函数的最值与综合应用(知识点) - 4.4 三角函数的最值与综合应用 1.用三角方法求三角函数最值常见的函数形式 可转化为只有分母含有 sinx 或 ...
三角函数的最值和综合应用_图文
三角函数的最值和综合应用 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 三角函数的最值和综合应用 作者:吴文尧 来源:《数学金刊· 高考版》2015 年第 10 期 最...
2019版高考数学一轮复习习题:三角函数的最值与综合应用(word版含...
2019版高考数学一轮复习习题:三角函数的最值与综合应用(word版含答案) - §4.3 三角函数的最值与综合应用 考纲解读 考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测...
04三角函数的最值及综合应用
04三角函数的最值及综合应用 - 三角函数最值及综合应用 一、知识要点 考查由三角函数式确定的函数的周期性、单调性,应先将解析式化为 一个三角函数的形式。...
三角函数的最值与综合应用
三角函数的最值与综合应用_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数的最值与综合应用_数学_高中教育_教育专区。三角函数的最值与...
三角函数三 三角函数的最值与综合应用
第三课时 三角函数的最值与综合应用 考点一 三角函数的最值内容:理解基本模型的最值; 方法:求三角函数最值的各种方法; 题集 2 (2010?湖南)已知函数 f(x)=...
4 三角函数的最值与综合应用
4 三角函数的最值与综合应用_数学_高中教育_教育专区。精品题库试题 理数 1. (2014 四川,3,5 分)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x...
4.3 三角函数的最值与综合应用
4.3 三角函数的最值与综合应用_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 4.3 三角函数的最值与综合应用_数学_高中教育_教育专区。4.3 三角...
...复习试题:第4章 三角函数的最值与综合应用
2015高考(理)二轮复习试题:第4章 三角函数的最值与综合应用_数学_高中教育_教育专区。精品题库试题 理数 1. (2014 四川,3,5 分)为了得到函数 y=sin(2x+1...
三角函数的最值及综合应用
-中小学 1 对 1 课外辅导专家---龙文,值得信赖 三角函数的最值及综合应用 教师: 教师:袁封余高考要求新新新 新新新 源源源源源源源源 源源th源/:w 源k...
更多相关文章: