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山东省聊城三中2010届高三12月质量检测(数学文)


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2009—2010 学年度第一学期高三质量检测

数 学 试 题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分 审稿:李翠玲 钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知命题 p : ?x ∈ R , x > sin x ,则 p 的否定形式为 A. ?p : ?x ∈ R , x < sin x C. ?p : ?x ∈ R , x ≤ sin x 2.已知 sin(α ? A. ? B. ?p : ?x ∈ R , x ≤ sin x D. ?p : ?x ∈ R , x < sin x ( ) ( )

π
4

)=

1 π ,则 cos( + α ) 的值等于 3 4
B.

1 3

1 3

C. ?

2 2 3

D.

2 2 3
( )

3.函数 f ( x ) = ln( x + 1) ? A. (0 , 1)

2 的零点所在的大致区间是 x
C. ( 2 , e ) D. (3 , 4)

B. (1 , 2)

4.已知函数 f ( x ) = ?

?log 2 x ( x > 0) ?3
x

( x ≤ 0)
B. ? 9

,则 f [ f ( )] 的值是

1 4

( D. ?



A. 9

C.

1 9

1 9
( )

5.已知向量 a = (1 , 1) , b = ( 2 , n ) ,若 | a + b |= a ? b ,则实数 n 的值是 A. 1 B. ? 1 C. 3 D. ? 3

6.在等差数列 {a n } 中,若 a 4 + a6 + a8 + a10 + a12 = 120 ,则 2a10 ? a12 的值为





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A.24 7.若

B.22

C.20

D.18

b a 1 1 < < 0 ,则下列不等式:① a + b < ab ;② | a |>| b | ;③ a < b ;④ + > 2 中, a b a b
( B.②③ C.①④ D.③④ ( ) )

正确的不等式是 A.①②
3

8.若函数 f ( x ) = x ? 6bx + 3b 在 (0 , 1) 内有极小值,则实数 b 的取值范围是 A. (0 , 1) B. (?∞ , 1) C. (0 , + ∞ ) D. ( 0 ,

1 ) 2
H

9.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗 盛满液体,经 3 分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量, H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t (分)的函 数关系表示的图象只可能是 ( )

H

H

H

H

O A

3

t

O B

3

t

O C

3 t

O D

3

t

?x ? y + 1 ≥ 0 ? x+2 y 10.若实数 x , y 满足 ? x + y ≥ 0 ,则 z = 3 的最大值是 ?x ≤ 0 ?
A.0 B.1 C. 3 D. 9





11.设奇函数 f (x ) 在 (0 , + ∞ ) 上为增函数,且 f (1) = 0 ,则不等式 集为 A. ( ?1 , 0) ∪ (1 , + ∞ ) C. ( ? ∞ , ? 1) ∪ (1 , + ∞ ) B. ( ? ∞ , ? 1) ∪ (0 , 1) D. ( ?1 , 0) ∪ (0 , 1)

f ( x) ? f (? x) < 0 的解 x
( )

12.已知点 F 是双曲线

x2 y2 ? = 1( a > 0 , b > 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 a 2 b2

F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABF 是直角三角形,则该双曲线的 离心率是 ( ) A. 2 B. 2 C. 1 + 2 D. 2 +

2

第Ⅱ卷(非选择题
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共 90 分)
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注意事项: 1.第 II 卷用黑色中性笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填写在题中横线上。 13.准线方程为 x = 2 的抛物线的标准方程是 . 14.已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 S ?ABC =

a 2 + b2 ? c 2 ,那么 4

∠C =


2 2

15. 过点 M (1 , 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) + y = 9 分成两段弧, 其中的劣弧最短时, 直线 l 的 方程为 .

16. 已知函数 f ( x ) = sin(2 x ?

π
4

), 在下列四个命题中: f (x ) 的最小正周期是 4π ; f (x ) ① ②

的 图 象 可 由 g ( x ) = sin 2 x 的 图 象 向 右 平 移

π
4

个 单 位 得 到 ; ③ 若 x1 ≠ x 2 , 且

f ( x1 ) = f ( x 2 ) = ?1 ,则 x1 ? x 2 = kπ ( k ∈ Z且k ≠ 0) ;④直线 x = ?

π
8

是函数 f (x ) 图象

的一条对称轴,其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填 上) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 函数 g ( x ) = 记函数 f ( x ) = lg( x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A, (I)求 A∩B 和 A∪B; (II)若 C = {x | 4 x + p < 0} , C ? A ,求实数 p 的取值范围.

3? | x | 的定义域为集合 B.

18. (本小题满分 12 分) 数列 {a n } 的前 n 项和记为 Sn , a1 = 1 , a n +1 = 2 S n + 1( n ≥ 1) . (I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,且 T3 = 15 ,又 a1 + b1 , a 2 + b2 , a 3 + b3 成

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等比数列,求 Tn .

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 sin x (sin x + cos x ) ? 1 . (I)求函数 f (x ) 的最小正周期和最大值; (II)在给定的坐标系内,用五点作图法画出函数 f (x ) 在一个周期内的图象.

y
2 2 1
π 8 π 4 3π π 8 2 5π 3π 7π 8 4 8 π 9π 5π 8 4

O
-1 - 2 -2

x

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) =

1 2 x x e . 2

(I)求函数 f (x ) 的单调区间; (II)若当 x ∈ [?2 , 2] 时,不等式 f ( x ) < m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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21. (本小题满分 12 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米 . (I)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长度应在什么范围内? (II)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

N

P

D

C

A

B

M

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y =

1 2 x 的焦点, 4

离心率为

2 5 . 5

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 两点, y 轴于 M 点, MA = λ1 AF , B 交 若

MB = λ2 BF ,求 λ1 + λ2 的值.

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参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) CABCC ACDBD DB 二、选择题(每小题 4 分,共 16 分)
2 13. y = ?8 x ;

14.

π
4



15. x ? 2 y + 3 = 0 ; 16.③④

三、解答题 17.解: (I)依题意,得 A = {x | x ? x ? 2 = 0}, B = {x | 3? | x |≥ 0}
2 2 由 x ? x ? 2 > 0可得x < ?1或x > 2,∴ A = {x | x < ?1或x > 2}

………2 分

由 3? | x |≥ 0可得 ? 3 ≤ x ≤ 3 ∴ B = {x | ?3 ≤ x ≤ 3}, ……………………4 分 ∴A∩B = {x | ?3 ≤ x < ?1或2 < x ≤ 3} , …………………………………………6 分

A∪B=R. ……………………………………………………………………………8 分 (II)由 4 x + p < 0 ,得 x < ?

p p ,而 C ? A ,∴ ? ≤ ?1 ,∴ p ≥ 4 .……12 分 4 4

18.解: (I)由 a n +1 = 2 S n + 1 ,可得 a n +1 = 2 S n ?1 + 1 ( n ≥ 2) , 两式相减得 a n +1 ? a n = 2 a n , a n +1 = 3a n ( n ≥ 2) , ………………………………2 分 又 a 2 = 2 S1 + 1 = 3 , ∴ a 2 = 3a1 , ………………………………………………4 分

故 {a n } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ an = 3
n ?1



……………………………………………………………………6 分

(II)设 {bn } 的公差为 d , 由 T3 = 15 得 b1 + b2 + b3 = 15 ,于是 b2 = 5 , 故可设 b1 = 5 ? d , b3 = 5 + d , 又 a1 = 1 , a 2 = 3 , a 3 = 9 , 由题意可得 (5 ? d + 1)(5 + d + 9) = (5 + 3) 2 , 解得 d 1 = 2 , d 2 = ?10 , ∵等差数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 有最大值,
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…………………………………8 分

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∴ d < 0 , d = ?10 , ∴ Tn = 15n +

…………………………………………………………10 分

n ( n ? 1) × ( ?10) = 20n ? 5n 2 . ………………………………12 分 2

19.解: (I) f ( x) = 2 sin x(sin x + cos x) ? 1 = 2 sin 2 x + 2 sin x cos x ? 1

= sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin(2 x ?

……………………………………………………………2 分

π

4

) , ……………………………………………………………4 分

∴ f (x ) 的最小正周期为 T = π , f ( x ) 的最大值为 2 .… ………………6 分 (II)列表:
2xx π 4

0 π 8

π 2 3π 8 2

π 5π 8 0

3π 2 7π 8 - 2

2π 9π 8 0

f(x)

0

函数 f ( x ) 在一个周期内的图象如图: y 2
2 1

O
-1

π π 3π π 5π 3π 7π π 9π 5π 8 4 2

x

- 2 1 2 x 1 x 20.解: (I) f ′( x ) = -2 + x e = e x ( x + 2) , xe x

2

2

………………………………2 分

令 e x x ( x + 2) > 0 ,得 x > 0或x < ?2 , ∴ f ( x ) 的增区间为 ( ? ∞ , ? 2) 和 (0 , + ∞ ) , ……………………………………4 分 令 e x x ( x + 2) < 0 ,得 ? 2 < x < 0 , ∴ f ( x ) 的减区间为 ( ? 2 , 0) .………………………………………………………6 分
x (II)因为 x ∈ [ ?2 , 2] ,令 f ′( x ) = xe +

1 2 x ex x e = x ( x + 2) = 0 , 2 x

∴ x = 0, x = ?2

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∴ 由(I)知, x = 0 和 x = ?2 分别为 f (x ) 的极小值点和极大值点,
∵ f ( ?2 ) =

………8 分

2 , f ( 2 ) = 2e 2 , f ( 0) = 0 , e2
……………………………………11 分

∴ f ( x ) ∈ [0 , 2 e 2 ] , ∴ m > 2e .
2

……………………………………………12 分

21.解:设 AN 的长为 x 米 ( x > 2) ,

Q

| DN | | DC | 3x = ,得 | AM |= , …………………………………2 分 x?2 | AN | | AM | 3x 2 . x?2
……………………………4 分

∴ S 矩形AMPN =| AN | ? | AM |=

(I)由 S 矩形AMPN > 32 ,得

3x 2 > 32 , x?2

Q x > 2 ,∴ 3 x 2 ? 32 x + 64 > 0 ,即 (3 x ? 8)( x ? 8) > 0

8 ∴ 2 < x < 或x > 8 , 3
即 AN 长的取值范围为 ( 2 , (II) y =

8 ) ∪ (8 , + ∞ ) . …………………6 分 3

3x 2 3( x ? 2) 2 + 12( x ? 2) + 12 12 = = 3( x ? 2) + + 12 x?2 x?2 x?2

≥ 2 3( x ? 2) ?

12 + 12 = 24 , ………………10 分 x?2
12 3x 2 即 x = 4 时, y = 取得最小值 24, x?2 x?2

当且仅当 3( x ? 2) =

∴当 AN 的长度是 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米.……12 分 22.解: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 + = 1 (a > b > 0 ) , a 2 b2

抛物线方程化为 x 2 = 4 y ,其焦点为 (0 , 1) , 椭圆 C 的一个顶点为 (0 , 1) ,即 b = 1 , ………………………3 分

c a 2 ? b2 2 5 2 = ,得 a = 5 , 由e = = a a 5
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∴椭圆 C 的方程为

x2 + y 2 = 1 .…………………………6 分 5

(II)由(1)得 F ( 2 , 0) ,………………………7 分 设 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y 2 ) , M (0 , y 0 ) ,显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 2) ,代入
2 2 2 2

x2 + y 2 = 1 ,并整理, 5
…………………9 分

得 (1 + 5k ) x ? 20k x + 20k ? 5 = 0 , ∴ x1 + x 2 =

20k 2 20k 2 ? 5 , x1 x2 = . ………………………………………10 分 1 + 5k 2 1 + 5k 2

又 MA = ( x1 , y1 ? y 0 ) , MB = ( x 2 , y 2 ? y 0 ) ,

AF = ( 2 ? x1 , ? y1 ) , BF = (2 ? x2 , ? y 2 ) ,
而 MA = λ1 AF , MB = λ2 BF , 即 ( x1 , y1 ? y 0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) , ( x 2 , y 2 ? y 0 ) = λ2 ( 2 ? x 2 , ? y 2 ) , ∴ λ1 =

x1 x2 , λ2 = , 2 ? x1 2 ? x2

……………………………………12 分

∴ λ1 + λ2 =

x1 x2 2( x1 + x 2 ) ? 2 x1 x 2 + = ?10 . ………………14 分 2 ? x1 2 ? x 2 4 ? 2( x1 + x2 ) + x1 x2

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