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2015-2016学年福建省师大附中高一下学期期末考试数学试题


福建师大附中 2015-2016 学年第二学期模块考试卷

高一数学必修 4
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.

第I卷

共 60 分

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求) 1. 角 ? 的终边过点 P(?4k ,3k ),(k ? 0) ,则 cos ? 的值是(******* ) A.

3 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.-

4 5

2. sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(******* )
A. B. C. D.

3.设向量 a =(m,1), b =(1,2),且| a + b |2=| a |2+| b |2,则 m=(******* ) A. ? 1 B.1 C. ?2 D. 2 4. 下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是(******* ) A.y=sin(2x+ ) B.y=cos(2x+ ) C.y=sin2x+cos2x =x +y ,且 D.y=sinx+cosx =3 ,则(******* )

5.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点, A.x= ,y= C.x= ,y= B.x= ,y= D.x= ,y=

? 3 6. 若 cos( ? ? ) ? ,则 sin 2? ? (******* ) 4 5 7 7 1 A. B. ? C. ? 25 5 25

D.

1 5

π 1 7.将函数 y=2sin (2x+6)的图像向右平移4个周期后,所得图像对应的函数为(******* ) π A.y=2sin(2x+4) π B.y=2sin(2x+3) π C.y=2sin(2x–4) π D.y=2sin(2x–3)

8. 函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则(******)

? A. y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? C. y ? 2sin(2 x+ ) 6

? B. y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? D. y ? 2sin(2 x+ ) 3

9. ?1 ? tan180 ??1 ? tan 27 0 ? 的值是(******* )
A. 3 B. 1 ? 2 C.2
0 0 D. 2 tan18 ? tan 27

?

?

10.在 ?ABC 中,若 BA ? BC ? AC ,则 ?ABC 一定是(******* )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定

? ( x? ? ? ) c o? s( x ?? ? ) (? 11 . 设 函 数 f ( x) ? s i n
f (? x) ? f ( x) ,则(******* )
A. f ( x ) 在 ? 0,

? ? 0 ,? 的 最 ) 小正周期为 ? ,且
2

? ?

??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

B. f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

C. f ( x) 在 ? 0,

? ?

??

D. f ( x ) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递增 ?4 4 ?

12.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在[-3,-2]上是减函数,若 ? , ? 是 锐角三角形的两个内角,则(******* ) A. f ? sin ? ? ? f ?sin ? ? C. f ? sin ? ? ? f ? cos ? ? B. f ? sin ? ? ? f ? cos ? ? D. f ? cos ? ? ? f ? cos ? ?

第Ⅱ卷

共 90 分

二、填空题: (每小题 4 分,共 28 分.请把答案填在答卷上)

13. 设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a ? b,则 x= ******** . ??? ? ??? ? ??? ? 14.已知向量 OA ? ? k ,12 ? , OB ? ? 4,5? , OC ? ? ?k ,10 ? ,且 A, B, C 三点共线,
则 k ? ******** .

15.已知

?
2

? ? ? ?,0 ? ? ?

?
2

, tan ? ? ? .

3 5 , cos ? ? ? ? ? ? , 4 13

则 sin ? 的值为 ********

16.函数 f ( x) ? sin(2x ? ) ? sin( x ? ) ( x ? R) 的值域为 ********
6 6

?

?

.

17.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并延 长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为 ******** .

18 .已知函数 f ( x) ?

3 sin(2x ?

5? ? ),方程 f ( x) ? m 在区间 [0, ] 上有两个不同的实数 6 2
.

根,则实数 m 的取值范围是 ********

π π ? ? ), x ? ? 为 f ( x) 的零点, 19.已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0, 2 4 x? π π 5π 为 y ? f ( x) 图像的对称轴, 且 f ( x ) 在 ( , ) 单调, 则 ? 的最大值为 ******** . 4 18 36

三、解答题: (本大题共 5 题,满分 62 分) 20. (本题满分 12 分) 已知| |=2,| |=3, (2 ﹣3 )?(2 + )=3. (1)求 与 的夹角的余弦值; (2)求| + |; (3)求 在 + 方向上的投影.

21. (本题满分 16 分) (1)已知 ,求 的值.

(2) 已知 cos(

?

3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x ? x) ? , ?x? ,求 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x

22.(本题满分为 10 分) 如图所示, 某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设, 现拟在边长为 1 千米的正方形地块 ABCD 上划出一片三角形地块 CMN 建设美丽乡村生态公园,给村民休闲健身提供去处.点 M,N AD 上. 分别在边 AB, 由于村建规划及保护生态环境的需要, 要求△ AMN 的周长为 2 千米, 请探究∠MCN 是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由.

23.(本题满分为 12 分) 已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)将函数 f(x)的图象向左平移

(ω>0)的最小正周期为 π.

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)

的图象,若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.

24.(本题满分为 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? a ? b cos x ? c sin x 的图像经过点 A(0,1) 及 B( ,1)
2

? (1)已知 x ? (0, ) 时, | f ( x) |? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(2)当 a 取上述范围内的最大整数 值时,若有实数 m, n, ? ,使得 mf ( x) ? nf ( x ? ? ) ? 1 对于 ....

x ? R 恒成立,求 m, n, ? 的值.

福建师大附中 2015-2016 学年第二学期模块考试卷解答
一、选择题:BDCBD; BDACC; AC 二、填空题:

13.

?

2 3

14. ?

2 3

15.

63 9? 16. ? ? ?2,8 ? ? ? 65

17.

1 8

18. (? 3, ?

3 ] 19.9 2

三、解答题: (本大题共 5 题,满分 62 分) 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵| |=2,| |=3, (2 ﹣3 )?(2 + )=3, ∴4| | ﹣3| | ﹣4 ? =3, ∴ ? =﹣ ,
2 2

∴cos< ? >= (2)| + |=

=

=﹣ =

; = ;

(3) 在 + 方向上的投影为 21. (本小题满分 16 分) 21.解: (1)由 ,

=

=

=









原式=

=



由以上知 cosx﹣sinx≠0, 所以上式= =

1 ? tan x = tan x

= .

sin 2 x ? 2sin 2 x 2sin x cos x ? 2sin 2 x 2sin x cos x(sin x ? cos x) ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 1 ? tan x ? 17? 7? 5? ? ? 3 ? sin 2 x ? sin 2 x ? tan( ? x),由 ?x? ,? ? x ? ? 2? , 又 cos( ? x) ? 1 ? tan x 4 12 4 3 4 4 5 ? 4 ? 4 ? sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? . 4 5 4 3 (2)

? ? 2 7 2 7 28 cos x ? cos[( ? x) ? ] ? ? ,sin x ? ? ,sin 2 x ? , 原式=4 4 10 10 25 75
22. (本小题满分 10 分)

解:设∠BCM=α,∠DCN=β,AM=x,AN=y,则 BM=1﹣x,DN=1﹣y, 在△ CBM 中,tanα=1﹣x,在△ CDN 中,tanβ=1﹣y, 所以:tan(α+β)= △ AMN 的周长为 2 千米,所以 x+y+ = = ,(5 分)

=2,化简得 xy=2(x+y)﹣2,

代入(*)式,可得 tan(α+β)= 由于 α+β ? (0,

=

=

=1,

?
2

) ,所以 α+β=

,所以∠MCN 是定值,且∠MCN=

.﹣﹣﹣(10 分)

23. (本小题满分 12 分)

23.解: (1)由题意得 f(x)=2sinωxcosωx+2 ﹣ 所以 由 所以函数 f(x)的单调增区间是 (2)将函数 f(x)的图象向左平移 图象,所以 g(x)=2sin2x+1, 令 g(x)=0,得 或 ) ,由最小正周期为 π,得 ω=1, ,

sin2ωx﹣

=sin2ωx﹣

cos2ωx=2sin(2ωx

,整理得 .



个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y=2sin2x+1 的



所以在[0,π]上恰好有两个零点, 若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零点, 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为 4π+ 24.(本题满分为 12 分) = .

解:由f (0) ? 1, f ( ) ? 1可得a ? b ? 1, a ? c ? 1? b ? c ? 1 ? a 2 ? f (x) ? (1 ? a )( sin x ? cos x) ? a ? 2(1 ? a ) sin (x ? ) ? a 4 (1)设 sin (x ? ) ? t , 则y ? 2(1 ? a)t ? a 4 ? ? ? 3? 2 ? x ? (0, ) ? x ? ? ( , ) ? t ? ( ,1] 2 4 4 4 2 I、当1 ? a ? 0时,f (x) ? (1, 2(1 ? a ) ? a ] 此时 | f (x) |? 2恒成立,只需 2(1 ? a ) ? a ? 2, 可得a ? [ ? 2,1) II、当1 ? a ? 0时,f (x) ? 1,此时满足题意 III、当1 ? a ? 0时,f (x) ? [ 2(1 ? a ) ? a,1) 此时 | f (x) |? 2恒成立,只需 2(1 ? a ) ? a ? ?2, 可得a ? (1, 4 ? 3 2] 综上所述,a的取值范围是[ ? 2, 4 ? 3 2] (2)可得a ? 8, 则f (x) ? 8 ? 7 2 sin (x ? ) 4

?

?

?

?

由mf (x) ? nf (x ? ? ) ? 1得8(m ? n) ? 7 2m sin (x ? ) ? 7 2n sin (x ? ? ?) ?1 4 4 令x ?

?

?

?

4

? X , 得8(m ? n) ? 7 2(m ? n cos ? ) sin X ? 7 2n sin ? cos X ? 1

? ? sin ? ? 0 ? 8(m ? n) ? 1 ? ? 要使上式对任意X 恒成立,则有 ?m ? n cos ? ? 0 解得 ? cos ? ? ?1 ? n sin ? ? 0 ? 1 ? ?m ? n ? 16 ? 1 1 ? m ? , n ? , ? ? 2 k? ? ? , k ? Z 16 16


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