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2015-2016学年高中数学 1.1.2导数的概念练习 新人教A版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 1.1.2 导数的概念练习 新人教 A 版选修 2-2
一、选择题 1.如果质点 A 按照规律 s=3t 运动,则在 t0=3 时的瞬时速度为( A.6 C.54 [答案] B [解析] ∵s(t)=3t ,t0=3, Δs 2 2 2 ∴Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0)=3(3+Δ t) -3·3 =18Δ t+3(Δ t) ∴ =18+3Δ t. Δt ∴Δ lim t→0 Δs = lim (18+3Δ t)=18,故应选 B. Δ t Δ t→0
2 2 2

)

B.18 D.81

2.已知 f(x)=x -3x,则 f ′(0)=( A.Δ x-3 C.-3 [答案] C [解析] f ′(0)=Δ lim x→0
2

) B.(Δ x) -3Δ x D.0
2

?0+Δ x? -3?0+Δ x?-0 +3×0 Δx

2

2

=Δ lim x→0

?Δ x? -3Δ x =Δ lim (Δ x-3)=-3.故选 C. x→0 Δx

3 .(2014·合肥一六 八中高 二期中 ) 若可导函数 f(x) 的图象过 原点,且满 足 Δ lim x→0

f?Δ x? =-1,则 f ′ (0)=( Δx
A.-2 C.1 [答案] B

) B.-1 D.2

[解析] ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0, ∴f ′(0)=Δ lim x→0 ∴选 B. 4.质点 M 的运动规律为 s=4t+4t ,则质点 M 在 t=t0 时的速度为( A.4+4t0 C.8t0+4 B.0 D.4t0+4t0
2 2

f?0+Δ x?-f?0? f?Δ x? =Δ lim =-1, x →0 Δx Δx

)

1

[答案] C [解析] Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0)=4(Δ t) +4Δ t+8t0Δ t, Δs =4Δ t+4+8t0, Δt
Δ t→0 2

lim

Δs =lim (4Δ t+4+8t0)=4+8t0. Δ t Δ t→0 )

2 1 5.已知 f(x)= ,且 f ′(m)=- ,则 m 的值等于( x 2 A.-4 C.-2 [答案] D [解析] f ′(x)=Δ lim x→0 B.2 D.±2

f?x+Δ x?-f?x? 2 =- 2, Δx x

2 1 2 于是有- 2=- ,m =4,解得 m=±2. m 2 3 2 6.某物体做直线运动,其运动规律是 s=t + (t 的单位是秒,s 的单位是米),则它在

t

4 秒末的瞬时速度为( A. 123 米/秒 16

) 125 B. 米/秒 16 67 D. 米/秒 4

C.8 米/秒 [答案] B

[ 解析 ]

3 3 -3Δ t 2 2 ?4+Δ t? + -16- ?Δ t? +8Δ t+ 4 + Δ t 4 4 ?4+ Δ t? Δs ∵ = = =Δ t Δt Δt Δt

3 +8- . 16+4Δ t ∴Δ lim t→0 Δs 3 125 =8- = . Δt 16 16

二、填空题 7.已知函数 f(x)=x+ ,f ′(1)=-2,则 k=________________. [答案] 3

k x

k kΔ x [解析] Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=(1+Δ x)+ -1-k=Δ x- 1+Δ x 1+Δ x
Δy k =1- Δx 1+Δ x

2

∵f ′(1)=-2,∴Δ lim x→0

Δy =1-k=-2,∴k=3. Δx

8.已知 y= x+4,则 y′|x=1=________________. [答案] 5 10

[解析] 由题意知 Δ y= 1+Δ x+4- 1+4= 5+Δ x- 5, ∴ Δy 5+Δ x- 5 = . Δx Δx 5+Δ x- 5 Δx 5 =Δ lim = . x→0 Δx 10 Δ x? 5+Δ x+ 5?

∴y′|x=1=Δ lim x→0

9.某物体做匀速运动,其运动方程是 s=vt+b,则该物体在运动过程中其平均速度与 任何时刻的瞬时速度关系是________________. [答案] 相等 [ 解析 ]

v0 = Δ lim t→0

Δs s?t0+Δ t?-s?t0? v?t0+Δ t?-vt0 = lim =Δ lim =Δ lim t→0 t→0 Δ t Δ t→0 Δt Δt

v·Δ t =v. Δt
三、解答题 10.下面是利用导数的定义求函数 f(x)= x+2在 x=2 处的导数的解题过程: 因为 Δ y= ?2+Δ x?+2- 2+2= 4+Δ x-2, Δy 4+Δ x-2 = , Δx Δx 所以 f ′(2)=Δ lim x→0 Δy = lim Δ x Δ x→0 4+Δ x-2 =0. Δx

试分析解题过程是否正确,如不正确请指出错误,并加以纠正. [解析] 解答过程有错误,最后一步不能直接得到 0,因为分母为 0 时,无意义. 正解:因为 Δ y= ?2+Δ x?+2- 2+2= 4+Δ x-2, Δy 4+Δ x-2 ? 4+Δ x-2?? 4+Δ x+2? 1 = = = . Δx Δx Δ x? 4+Δ x+2? 4+Δ x+2 所以 f ′(2)=Δ lim x→0 Δy = lim Δ x Δ x→0 1 = . 4+Δ x+2 4 1

一、选择题 11.(2014·枣阳一中,襄州一中,宜城一中,曾都一中期中联考)在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系 h(t)=-4.9t +6.5t+
2

3

10,则瞬时速度为 0m/s 的时刻是( A. C. 65 s 98 98 s 65

) 65 B. s 49 49 D. s 65

[答案] A 65 [解析] h′(t)=-9.8t+6.5,由 h′(t)=0 得 t= ,故选 A. 98 1 f?x?-f?a? 12.设 f(x)= ,则lim 等于( x→a x x-a 1 A.- )

a
1
2

2 B.

a
1

C.-

a

D.

a2

[答案] C

[解析]

lim x→a

x a f?x?-f?a? 1 1 =lim =-lim =- 2. x→a x-a x→a ax x-a a

1 1 -

[点评] 若令 x-a=Δ x,则当 x→a 时,Δ x→0, 1 ∴ lim x→a -1

f?x?-f?a? =Δ lim x→0 x-a
1 =- 2.

f?a+Δ x?-f?a? =Δ lim x→0 Δx

a+Δ x a =Δ lim x→0 Δx



1

a?a+Δ x?

a

13.(2013·北师大附中期中)已知 f ′(x0)=a,则Δ lim x→0 的值为( A.-2a C.a [答案] B [解析] ∵f ′(x0)=Δ lim x→0 ∴Δ lim x→0 =Δ lim x→0 ) B.2a D.-a

f?x0+Δ x?-f?x0-3Δ x? 2Δ x

f?x0+Δ x?-f?x0? =a, Δx

f?x0+Δ x?-f?x0-3Δ x? 2Δ x f?x0+Δ x?-f?x0?+f?x0?-f?x0-3Δ x? 2Δ x

1 f?x0+Δ x?-f?x0? 3 f?x0-3Δ x?-f?x0? = Δ lim + Δ lim x →0 x →0 2 Δx 2 -3Δ x

4

a 3a = + =2a,故选 B. 2 2
14.(2015·长春外国语学校高二期中)已知函数 f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0∈(a,

b),则lim h→0

f?x0+h?-f?x0-h? =( h

) B.2f′(x0) D.0

A.f′(x0) C.-2f′(x0) [答案] B [ 解 析 ] 由 lim h→0

f?x0+h?-f?x0-h? h



lim h→0

f?x0+h?-f?x0?+f?x0?-f?x0-h? h
=lim h→0

f?x0+h?-f?x0? f?x0-h?-f?x0? +lim =2f′(x0). h→0 h -h

故选 B. 二、填空题 1 15.函数 y=x+ 在 x=1 处的导数是________________.

x

[答案] 0
2 1 ? ? 1? 1 ?Δ x? ? 1 + [解析] ∵Δ y=?1+Δ x+ - = Δ x - 1 + = , ? ? ? 1+Δ x? ? 1? Δ x+1 Δ x+1 ?



Δy Δx Δx = .∴y′|x=1=liΔ m =0. x →0 Δ x Δ x+1 Δ x+1

16.球的半径从 1 增加到 2 时,球的体积平均膨胀率为____________________. [答案] 28π 3

4 4 28π 3 3 [解析] ∵Δ y= π ×2 - π ×1 = , 3 3 3 28π 3 Δy 28π ∴ = = . Δ x 2-1 3 三、解答题 17.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是 5.0×10 m/s ,枪弹从 枪口射出时所用时间为 1.6×10 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 1 2 [解析] 位移公式为 s= at , 2 1 1 2 1 2 2 ∵Δ s= a(t0+Δ t) - at0=at0Δ t+ a(Δ t) 2 2 2
5
-3 5 2



Δs 1 Δs ?at0+1aΔ t?=at , =at0+ aΔ t,∴Δ lim =Δ lim ? ? 0 t →0 t →0 2 Δt 2 Δt ? ?
5 2 -3

已知 a=5.0×10 m/s ,t0=1.6×10 s, ∴at0=800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800m/s. 18.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)=3t-t . (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在 t=2 时的瞬时速度; (3)求 t=0 到 t=2 时的平均速度. [解析] (1)当 t=0 时的速度为初速度. 在 0 时刻取一时间段[0,0+Δ t],即[0,Δ t], ∴Δ s=s(Δ t)-s(0)=[3Δ t-(Δ t) ]-(3×0-0 )=3Δ t-(Δ t) , Δ s 3Δ t-?Δ t? = =3-Δ t, Δt Δt
Δ t→0 2 2 2 2 2

lim

Δs =lim (3-Δ t)=3. Δ t Δ t→0

∴物体的初速度为 3. (2)取一时间段[2,2+Δ t], ∴Δ s=s(2+Δ t)-s(2)=[3(2+Δ t)-(2+Δ t) ]-(3×2-2 )=-Δ t-(Δ t) , Δ s -Δ t-?Δ t? = =-1-Δ t, Δt Δt
Δ t→0 2 2 2 2

lim

Δs =lim (-1-Δ t)=-1, Δ t Δ t→0

∴当 t=2 时,物体的瞬时速度为-1. (3)当 t∈[0,2]时,Δ t=2-0=2. Δ s=s(2)-s(0)=(3×2-2 )-(3×0-0 )=2. -
2 2

v=

Δs 2 = =1. Δt 2

∴在 0 到 2 之间,物体的平均速度为 1.

6


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