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高中数学函数解题技巧与方法


专题 1
一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念.

函数 (理科)

2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解 反函数的概念 及互为 反函数的函数 图象间的 关系,会求一 些简单函 数的反函数 . 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理 解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断 和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深 化.具体要求是: 1. 正确理解函数单调性和奇偶性的定义, 能准确判断函数的奇偶性, 以及函数在某一区间的单调性, 能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总 结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问 题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数 y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区 间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单 调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义 域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具 备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任 意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方 法解决问题,是对学生能力的较高要求.

-1-

函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此,掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意 以下方面。 1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法. 2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题. 3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力. 以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本节的 重点. 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线 连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究 要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种 函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点. 例 1 设 a>0,求函数 f ( x) ?

x ? ln( x ? a) (x∈(0,+∞))的单调区间.

分析:欲求函数的单调区间,则须解不等式 f ?( x) ? 0 (递增)及 f ?( x) ? 0 (递减)。 解: f ?( x) ?

1 2 x

?

1 ( x ? 0) . x?a

当 a>0,x>0 时 f ?(x)>0?x2+(2a-4)x+a2>0, f ?(x)<0?x2+(2a-4)x+a2<0. (ⅰ)当 a > 1 时,对所有 x > 0,有 x2+(2a-4)x+a2>0, 即 f ?(x)>0,此时 f(x)在(0,+∞)内单调递增. (ⅱ)当 a=1 时,对 x≠1,有 x2+(2a-4)x+a2>0, 即 f ?(x)>0,此时 f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递增. 又知函数 f(x)在 x=1 处连续,因此,函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增. (ⅲ)当 0<a<1 时,令 f ?(x)>0,即 x2+(2a-4)x+a2>0, 解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a ,或 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .

2 ? 因此,函数 f(x)在区间 (0 , ? a ? 2 1 ? a) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a , ?) 内也单调递
-2-

增. 令 f ?(x)<0,即 x2+(2a-4)x+a2 < 0, 解得 : 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .

2 因此,函数 f(x)在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a , ? a ? 2 1 ? a) 内单调递减.
点评:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 例 2 已 知 a ? 0 , 函 数 f ( x) ?

1 ? ax 2 , x ? (0,??) 。 设 0 ? x1 ? , 记 曲 线 y ? f (x) 在 点 x a

M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l 。
(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)设 l 与 x 轴交点为 ( x 2 ,0) 。证明: ① 0 ? x2 ? ② 若 x1 ?

1 ; a

1 1 ,则 x1 ? x 2 ? a a

(Ⅰ)分析:欲求切线 l 的方程,则须求出它的斜率,根据切线斜率的几何意义便不难发现,问题归结为求 曲线 y ? f (x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 的一阶导数值。 解:求 f (x) 的导数: f ( x) ? ?
'

1 ,由此得切线 l 的方程: x2

1 ? ax1 1 y?( ) ? ? 2 ( x ? x1 ) 。 x1 x
(Ⅱ)分析: ①要求 x2 的变化范围, 则须找到使 x2 产生变化的原因, 显然,x2 变化的根本原因可归结为 x1 的 变化,因此,找到 x2 与 x1 的等量关系式,就成;② 欲比较 x2 与 x1 的大小关系,判断它们的差的符号即 可。 证:依题意,切线方程中令 y=0,

x2 ? x1 (1 ? ax1 ) ? x1 ? x1 (2 ? ax1 ),其中0 ? x1 ?
① 由 0 ? x1 ?

2 . a

2 1 1 , x2 ? x1 (2 ? ax1 ), 有x2 ? 0, 及x2 ? ?a( x1 ? ) 2 ? a a a 1 1 1 ?〈x2 ? ,当且仅当x1 ? 时,x2 ? . 0 a a a 1 1 ② 当x1 ? 时,ax1 ? 1 ,因此,x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ? x1,且由①,x2 ? a a 1 所以x1 ? x2 ? 。 a
点评:本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法,考查不等式的基本性质,以及分析和解决问题的 能力。
-3-

例 3、 函数 y=1-

1 的图象是( x ?1

)

解析一: 该题考查对 f(x)=

1 1 1 图象以及对坐标平移公式的理解, 将函数 y= 的图形变形到 y= , x x x ?1 1 1 即将前面图形沿 x 轴翻转,再变形到 y=- +1,从而 x ?1 x ?1

即向右平移一个单位,再变形到 y=- 得到答案 B.

解析二:可利用特殊值法,取 x=0,此时 y=1,取 x=2,此时 y=0.因此选 B. 答案:B 点评:1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。 2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为:先判断出函数的标准模型,并用换元 法将问题复合、化归为所确定的标准模型。 考点二:二次函数 二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数, 可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机 联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系,使得围绕二次函数可以 编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,

是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出 现,也就不足为奇了. 学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的 代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形 的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 例4 设 二 次 函 数 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? , 方 程 f ? x ? ? x ? 0 的 两 个 根 x1 , x 2 满 足
2

0 ? x1 ? x2 ?

1 . 当 x ? ?0, x1 ? 时,证明 x ? f ? x ? ? x1 . a

分析:在已知方程 f ? x ? ? x ? 0 两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数 f ?x ? ? x 的 表达式,从而得到函数 f (x) 的表达式.

-4-

证明:由题意可知

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) .

? 0 ? x ? x1 ? x2 ?
∴ ∴

1 , a

a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 ,
当 x ? 0, x1 时, f ( x) ? x .

?

?

又 f ( x) ? x1 ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x ? x1 ? ( x ? x1 )( ax ? ax2 ? 1) ,

x ? x1 ? 0, 且ax ? ax2 ? 1 ? 1 ? ax2 ? 0,


f ( x) ? x1 ,

综上可知,所给问题获证. 点评:本题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式 y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ?. 。 例 5 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 和
2

x2 .
(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f (x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x 0 ? ?1 ; (2)如果 x1 ? 2 , x 2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围. 分析:条件 x1 ? 2 ? x2 ? 4 实际上给出了 f ( x) ? x 的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上 述图像特征去等价转化. 解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1 ,则 g ( x) ? 0 的二根为 x1 和 x 2 .
2

(1)由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,可得

? g (2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ,即 ? ,即 ? ?16 a ? 4b ? 3 ? 0 ? g (4) ? 0

b 3 ? 3 ? 3? ? ? 0, ? ? 2a 4a ? ?? 4 ? 2 ? b ? 3 ? 0, ? 2a 4a ?

b ? 1 ,所以, x0 ? ?1 ; 2a b ?1 2 4 2 (2)由 ( x1 ? x 2 ) ? ( ) ? , 可得 2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 . a a 1 又 x1 x 2 ? ? 0 ,所以 x1 , x 2 同号. a ? ? ?0 ? x1 ? 2 ? x2 ? x2 ? ?2 ? x1 ? 0 ∴ x1 ? 2 , x 2 ? x1 ? 2 等价于 ? 或? , ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? ?
两式相加得
-5-



? g (2) ? 0 ? g (?2) ? 0 ? ? ? ? 或 ? g (0) ? 0 ? g (0) ? 0 ? ? ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ?2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 ? ?

解之得

b?

1 7 或b ? . 4 4

点评:在处理一元二次方程根的问题时,考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问 题的关键。 考点三:抽象函数 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函 数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高 等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困 难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那 么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法, 等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, (一)函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只 有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用 的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知 4;利用对称性数 形结合;5,借助特殊点,布列方程等. (二)特殊化方法 1、在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将 x 换成-x 等; 2、在求函数值时,可用特殊值代入; 3、研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供 思路和方法. 总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究, 采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快 感. 例 6、 A 是由定义在 [ 2,4] 上且满足如下条件的函数 ? (x) 组成的集合:①对任意 x ? [1,2] ,都有

? (2 x) ? (1,2)



② 存 在 常 数 L(0 ? L ? 1) , 使 得 对 任 意 的 x1 , x2 ? [1,2] , 都 有

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
(Ⅰ)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A
-6-

(Ⅱ)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x 0 是唯一的; (Ⅲ)设 ? ( x) ? A ,任取 xl ? (1,2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn ), n ? 1,2,? ? ?, 证明:给定正整数 k,对任意的正整数 p, 成立不等式 | x k ?l ? x k |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L
3

解 : 对 任 意 x ? [1,2] , ? (2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] ,

3 ? ? ( 2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 , 所 以

? (2 x) ? (1,2)
对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x 2 ) |?| x1 ? x 2 |

2
3

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x 2 ? ? 3 ?1 ? x 2 ?

2



3?

3

?1 ? 2 x1 ?2
3

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,

所以 0<

2

?1 ? 2 x1 ?2
2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2
2

2

?

2 , 3


3

?1 ? 2 x1 ?

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

= L , 0 ? L ? 1,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
所以 ? ( x) ? A

? ? ? ? 反证法:设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 则
由 | ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 ) |? L | x 0 ? x 0 | ,得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | ,所以 L ? 1,矛盾,故结论
/ /

/

/

成立。

x3 ? x 2 ? ? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,所以 x n ?1 ? x n ? Ln ?1 x 2 ? x1

| xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ? ? ??xk ?1 ? xk ? ?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k ? Lk ? p ? 2 x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1 +?

Lk ?1 x 2 ? x1 ?

LK ?1 x 2 ? x1 1? L

点评:本题以高等数学知识为背景,与初等数学知识巧妙结合,考查了函数及其性质、不等式性质,考查 了特殊与一般、化归与转化等数学思想。 考点四:函数的综合应用
-7-

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.函数描述了自然界中量的依 存关系,是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象 其数学特征,建立函数关系.因此,运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓,掌握有关函数知 识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法研究函数的能力,树立运用函数思想解决有关数学问 题的意识是运用函数思想的关键. 例 7 设函数 f ( x) ? tx ? 2t x ? t ? 1( x ? R,t ? 0) .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值 h(t ) ; (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2) 解:(Ⅰ)? f ( x) ? t ( x ? t ) ? t ? t ? 1( x ? R,t ? 0) ,
2 3

?当 x ? ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) ? ?t 3 ? t ? 1 ,
即 h(t ) ? ?t ? t ? 1 .
3

(Ⅱ)令 g (t ) ? h(t ) ? (?2t ? m) ? ?t ? 3t ? 1 ? m ,
3

由 g ?(t ) ? ?3t ? 3 ? 0 得 t ? 1, t ? ?1 (不合题意,舍去).
2

当 t 变化时 g ?(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:

t
g ?(t ) g (t )

(0,1)

1
0
极大值

(1,2)

?
递增

?

1? m

递减

? g (t ) 在 (0, 内有最大值 g (1) ? 1 ? m . 2) h(t ) ? ?2t ? m 在 (0, 内恒成立等价于 g (t ) ? 0 在 (0, 内恒成立, 2) 2)
即等价于 1 ? m ? 0 , 所以 m 的取值范围为 m ? 1. 点评:本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题 的能力. 例 8 甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知汽车每 小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比, 比例系数为 b;固定部分为 a 元. ① 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域;
-8-

② 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最 小值. 解:(读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间, (建模)有 y=(a+bv 2 )

S v

(解题)所以全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数关系式是:

a +bv),其中函数的定义域是 v∈(0,c] . v a a b 整理函数有 y=S( +bv)=S(v+ ), v v k 由函数 y=x+ (k>0)的单调性而得: x
y=S( 当

a a <c 时,则 v= 时,y 取最小值; b b a ≥c 时,则 v=c 时,y 取最小值. b a a a <c 时,行驶速度应为 v= ;当 ≥c 时,行驶速度 b b b



综上所述,为使全程成本 y 最小,当 应为 v=c.

点评:1.对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值 或最小值,其中要特别注意蕴涵的制约关系,如本题中速度 v 的范围,一旦忽视,将出现解答不完整.此 种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型.

方法总结与 2008 年高考预测 (一)方法总结 本专题主要思想方法: 1. 数形结合 2. 分类讨论 3. 函数与方程 (二)2008 年高考预测 1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题,从试题上看,抽象函数和具体函数都有,有向抽象函数发展 的趋势,另外试题注重对转化思想的考查,且都综合地考查单调性与奇偶性. 2.考查与函数图象有关的试题,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移变换、伸缩变换、对
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称变换,注意函数的对称性、函数值的变化趋势,培养运用数形结合思想来解题的能力. 3.考查与反函数有关的试题,大多是求函数的解析式,定义域、值域或函数图象等,一般不需求出反 函数,只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决. 4.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查, 大多以基本函数的性质为依 托,结合运算推理来解决. 5 加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题,引进变量建立函数,运用变化的 方法、观点解决数学试题以提高数学意识,发展能力. 6 注意与导数结合考查函数的性质. 一、强化训练 (一) 选择题(12 个) 1.函数 y ? e
x ?1

( x ? R) 的反函数是(

) B. y ? 1 ? ln x( x ? 0) D. y ? ?1 ? ln x( x ? 0)

A. y ? 1 ? ln x( x ? 0) C. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 2.已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ? log a x, x ? 1
(B) (0, )

(A) (0,1)

1 3

(C) [ , )

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

3.在下列四个函数中,满足性质: “对于区间 (1, 2) 上的任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x2 ? x1 | 恒 成立”的只有 (A) f ( x) ?

1 x

(B) f ? x ? ?| x |

(C) f ( x) ? 2

x

(D) f ( x) ? x

2

4.已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 (A) a ? b ? c 5.函数 f ( x) ? A. (? , ??) (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b

6 5

3 2

5 2

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是
B. (? ,1)

1 3

1 3

C. (? , )

1 1 3 3

D. (??, ? )

1 3

6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x3 , x ? R B. y ? sin x , x ? R C. y ? x , x ? R D. y ? ( ) x , x ? R

y
7、函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像与 y 轴交于点

1 2

P(0,2) (如右图所示),则方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上的根是 x ?
A.4 B.3 C. 2 D.1

4 2 ?1 O 3

y ? f ?1 ( x)

x

- 10 -

8、设 f ( x) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 (B) f ( x) f (? x) 是奇函数 (D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数

x 9、已知函数 y ? e 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,则

A. f ? 2 x ? ? e ( x ? R)
2x

ln B. f ? 2 x ? ? ln 2? x( x ? 0)
D. f ? 2 x ? ? ln x ? ln 2( x ? 0)

C. f ? 2 x ? ? 2e ( x ? R )
x

10、设 f ( x ) ? ? (A)0

? 2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?
(B)1 (C)2 (D)3

11、对 a,b ? R,记 max{a,b}= ?

?a , a ? b ,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x ? R)的最小值是 ?b, a<b
(C)

(A)0

(B)

1 2

3 2

(D)3

2 2 2 12、关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 其中假命题的个数是 . A.0 B.1 C.2 D.3

(二) 填空题(4 个) 1. 函 数

f ? x ? 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ? x ? 2? ?

1 , 若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

f ? f ? 5 ? ? ? _______________。
? e x , x ? 0. 1 2 设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.
3.已知函数 f ? x ? ? a ?

1 , ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

2 4. 设 a ? 0, a ? 1 , 函 数 f ( x) ? log a ( x ? 2 x ? 3) 有 最 小 值 , 则 不 等 式 log a ( x ? 1) ? 0 的 解 集




- 11 -

(三) 解答题(6 个) 1. 设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2)设集合 A ? ? x f ( x) ? 5 ?, 证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上方.

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系, 并给出

2、设 f(x)=3ax ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
b

(Ⅰ)a>0 且-2<

a <-1; b

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根. 3. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

c2 , 其中 a 为实数. 4.设函数 f(x)= 2 x ? ax ? a
(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间. 5. 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a 2 ln x ? b , 其 中 a ? 0 . 设 两 曲 线 2

y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ). 6. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x)的导数;设 a1 ? 1 ,
an ?1 ? an ? f (an ) (n=1,2,??) f '(an )

(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 an >a; (3)记 bn ? ln
an ? ? (n=1,2,??),求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 an ? a

- 12 -

(四) 创新试题 1. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口 A, B, C 的机动车辆数如图 所示,图中 x1 , x2 , x3 分别表示该时段单位时间通过路段 在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 (A) x1 ? x2 ? x3 (B) x1 ? x3 ? x2 (C) x2 ? x3 ? x1 (D) x3 ? x2 ? x1 、 、 的机动车辆数(假设:单位时间内,

2. 设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。 若实数 a、 c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对任意实数 x 恒成立, b、 则 的值等于( A. ? ) B.

b cosc a

1 2

1 2

C. ?1

D. 1

解答: 一、选择题 1 解:由 y ? e
x ?1

得: x ? 1 ? ln y,即x=-1+lny ,所以 y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 为所求,故选 D。

2解: 依题意, 0?a?1 且 3a-1?0, 有 解得 0?a? 所以 7a-1?0 解得 x? 3解: |

1 , 又当 x?1 时, (3a-1)x+4a?7a-1, x?1 时, ax?0, 当 log 3

1 故选 C 7

x -x 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? - |=| 2 1 |= |x1-x 2 |? x1,x 2 ? 1,) x1x 2 ?1 ? ?1? | - |?|x1 - x1 x 2 x1 x 2 |x1x 2 | x1x 2 x1 x 2

x2|故选 A 4解:已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) ,

6 5

4 5

4 5

3 1 1 5 1 b ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , c ? f ( ) ? f ( ) <0,∴ c ? a ? b ,选 D. 2 2 2 2 2
5解:由 ?

?1 ? x ? 0 1 ? ? ? x ? 1 ,故选 B. 3 ?3x ? 1 ? 0
- 13 -

6解:B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不 是奇函数,是减函数;故选 A. 7解: f ( x) ? 0 的根是 x ? 2,故选 C 8解:A 中 F ( x) ? f ( x) f (? x) 则 F (? x) ? f (? x) f ( x) ? F ( x) , 即函数 F ( x) ? f ( x) f (? x) 为偶函数,B 中 F ( x) ? f ( x) f ( ? x) , F (? x) ? f (? x) f ( x) 此时 F ( x) 与

F (? x) 的关系不能确定,即函数 F ( x) ? f ( x) f ( ? x) 的奇偶性不确定,
C 中 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? ? F ( x) ,即函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为奇函数,D 中

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? F ( x) ,即函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为偶函数,故选
择答案 D。
x 9解:函数 y ? e 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,所以

f ( x) 是 y ? e x 的反函数,



f ( x) = ln x ,∴ f ? 2 x ? ? ln 2 x ? ln x ? ln 2( x ? 0) ,选 D.

10解:f(f(2))=f(1)=2,选 C 11解:当 x?-1 时,|x+1|=-x-1,|x-2|=2-x,因为(-x-1)-(2-x)=-3?0,所以 2-x?-x -1; 当-1?x?

1 1 时, |x+1|=x+1, |x-2|=2-x, 因为(x+1)-(2-x)=2x-1?0, x+1?2-x; 当 ?x?2 2 2

时,x+1?2-x;当 x?2 时,|x+1|=x+1,|x-2|=x-2,显然 x+1?x-2;

? 2 ? x( x ? ( ??, ?1) ? ? 2 ? x( x ? [ ?1, 1 )) 3 ? 2 故 f ( x) ? ? 据此求得最小值为 。选 C 2 ? x ? 1( x ? [ 1 , 2)) ? 2 ? x ? 1( x ? [2, ?? )) ?
2 2 2 (2 1? 0 1 ?(1) 12解:关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 可化为 x ? 1 ? x -) k ? (x ? 1或x ? -)
2 2 ) 或 x ? 1 +(x -1 ? k ? 0 (-1?x?1)????(2)

?

?

2

?

?

2

?

?

2

① 当 k=-2 时,方程(1)的解为? 3 ,方程(2)无解,原方程恰有 2 个不同的实根

② 当 k=

6 2 1 时,方程(1)有两个不同的实根? ,方程(2)有两个不同的实根? ,即原方程恰有 4 个不 2 2 4

同的实根 ③ 当 k=0 时,方程(1)的解为-1,+1,? 2 ,方程(2)的解为 x=0,原方程恰有 5 个不同的实根

- 14 -

④ 当 k= 实根 选A

15 2 3 3 6 2 时,方程(1)的解为? ,? ,方程(2)的解为? ,? ,即原方程恰有 8 个不同的 3 3 3 3 9

二、填空题。 1解:由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2?

f ? f ? 5 ? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

1 ln 1 1 1 2解: g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 2 ? . 2 2 2

3解:函数 f ( x) ? a ?

1 1 1 . 若 f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 ,即 a ? 0 ? 0 ,a= . 2 ?1 2 ?1 2
x
2

4解:由 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ? 2 x ? 3) 有最小值可知 a?1,所以不等式 log a ( x ? 1) ? 0 可化 为 x-1?1,即 x?2. 三、解答题 1解:(1)

(2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 4 和 2 ? 14 , 由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1] 和 [ 2, 5 ] 上单调递 减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14 , ? ? .
由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A .

?

?

?

?

- 15 -

(3)[解法一] 当 x ?[ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 .

g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4 x ? 5) ? x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5)

4?k? k 2 ? 20k ? 36 ? ??x ? ? , ? 2 ? 4 ?

2

? k ? 2, ?

4?k ? 1. 又 ?1? x ? 5 , 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k2 ? 2 0 ?3 6 k 1 ?2 g (x) m i n? ? ? ? ?k ? 1 0 ? 6 4 . 4 4

?

?

? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 ,
则 g ( x) m i n ? 0 . ② 当

4?k ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , 2

g (x) m i n= 2k ? 0 .

由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ?[ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方. [解法二] 当 x ?[ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 .

? y ? k ( x ? 3), 由? 得 x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , y ? ? x 2 ? 4 x ? 5, ?
令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 18 , 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图像与函数 f (x) 的图像没有交点. 如图可知, 由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) , k ? 2 时, 当 直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线 y ? 2( x ? 3) 绕 点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此, 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方. 2(I)证明:因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?

b ? ?1 . a
2

b 3ac ? b 2 , ), (II)抛物线 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (? 3a 3a

- 16 -

在 ?2 ?

b 1 1 b 2 ? ?1 的两边乘以 ? ,得 ? ? ? . a 3 3 3a 3
b a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0, 3a 3a

又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (? 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ?

b b ) 与 (? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a

故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根.

3 解:(Ⅰ)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1
1 ? 2x 1 1 ?? ? x (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? ,易知 f ( x) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1
为减函数。又因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:
2 2 2

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,因 f ( x) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3




2


? 2t





(
2


?k

)



f ( x) ?

1 ? 2x 2 ? 2 x ?1



















1 ? 2t 2 ? 2t
即 整理得

2

? 2 t ?1

?

1 ? 22t 2 ? 22t

2

? k ?1

? 0,
) ? (2t
2

: (2

2 t 2 ? k ?1

? 2)(1 ? 2t

2

? 2t

? 2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

) ? 0,

23t

2

? 2t ? k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 4 解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 R ,? x ? ax ? a ? 0 恒成立,?? ? a ? 4a ? 0 ,
2 2

1 3

? 0 ? a ? 4 ,即当 0 ? a ? 4 时 f ( x) 的定义域为 R .
(Ⅱ) f ?( x) ?

x( x ? a ? 2)e x ,令 f ?( x) ≤ 0 ,得 x( x ? a ? 2) ≤ 0 . ( x 2 ? ax ? a) 2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ,又? 0 ? a ? 4 ,

- 17 -

? 0 ? a ? 2 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? a ;
当 a ? 2 时, f ?( x) ≥ 0 ;当 2 ? a ? 4 时,由 f ?( x) ? 0 得 2 ? a ? x ? 0 , 即当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 的单调减区间为 (0,? a) ; 2 当 2 ? a ? 4 时, f ( x) 的单调减区间为 (2 ? a, . 0) 5 解:(Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 3a 2 ? 即? 由 x0 ? 2a ? 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去). 3a 2 x0 ? x0 ? 2a ? , ? x0 ?

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
即有 b ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .
1 1 3

? 故 h(t ) 在 ? 0,e 3 ? 为增函数,在 ? e 3, ∞ ? 为减函数, ? ? ? ? ? 1? 3 2 于是 h(t ) 在 (0, ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ? e 3 . ? ? ? 2
(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

?

1

?

?

1

?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . 则 F ?( x) ? x ? 2a ? x x
故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ∞) 为增函数, ? 于是函数 F ( x) 在 (0, ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 . ? 故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) . 6 解析:(1)∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , ∴? ?
?1 ? 5 ?1 ? 5 ; ,? ? 2 2

- 18 -

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 4 4 ? an ? ? an ? 2 2an ? 1 2an ? 1

5 5 ?1 5 ?1 1 1 = (2an ? 1) ? 4 ? ,∵ a1 ? 1 ,∴有基本不等式可知 a2 ? 时取等号),∴ ? 0 (当且仅当 a1 ? 2 2 4 2an ? 1 2
a2 ?
5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,??, an ? ? 0 同,样 a3 ? ? ? (n=1,2,??), 2 2 2 (a ? ? )(an ? ? ) an ? ? (3) an ?1 ? ? ? an ? ? ? n ? (an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ?? , 2an ? 1 2an ? 1
(an ? ? ) 2 (a ? ? )2 1? ? 3? 5 3? 5 ,同理 an ?1 ? ? ? n , bn ?1 ? 2bn ,又 b1 ? ln ? ln ? 2ln 2an ? 1 2an ? 1 1?? 2 3? 5

an ?1 ? ? ?

Sn ? 2(2n ? 1) ln

3? 5 2

四、 创新试题 1解:依题意,有 x1=50+x3-55=x3-5,?x1?x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10?x1?x2,同理, x3=30+x2-35=x2-5?x3?x2 故选 C 2 解:令 c=π,则对任意的 x∈R,都有 f(x)+f(x?c)=2,于是取 a ? b ? af(x)+bf(x?c)=1,由此得

1 ,c=π,则对任意的 x∈R, 2

b cos c ? ?1 。选C。 a

二、复习建议 基本函数:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数,它们的图象与性质是函数的基 石.求反函数,判断、证明与应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周期性)是高考命题的切入点,有单一 考查,也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点,应用函数知识解其他问题,特别是解应用题 能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力,这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数 法、数形结合法、分类讨论等,这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性, 这均符合高考试题改革的发展趋势. 特别在“函数”这一章中,数形结合的思想比比皆是,深刻理解和灵活运用这一思想方法,不仅会给 解题带来方便,而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现. 复习本章要注意: 1.深刻理解一些基本函数,如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质,对数与形的基本关系能 相互转化. 2.掌握函数图象的基本变换,如平移、翻转、对称等. 3.二次函数是初中、高中的结合点,应引起重视,复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次 不等式有着密切的联系,要沟通这些知识之间的内在联系,灵活运用它们去解决有关问题.
- 19 -

4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点,复习时应适当加强这方面的训练,做到条理清楚、 分类明确、不重不漏. 5.利用函数知识解应用题是高考重点,应引起重视.

- 20 -


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