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2011年华中师大一附中高考数学知识专题检测--- 函数


知识专题检测二
一、选择题(共 10 题,每小题 3 分,共 30 分) 1. (06 安徽)函数 y ? ?

函数

? 2 x, x ? 0 2 ?? x , x ? 0

的反函数是

? x ? ,x ? 0 A. y ? ? 2 ? ? x, x ? 0 ?
2.已知

f ( x ) ? ? A.(1,+ ? )

? 2 x, x ? 0 B. y ? ? ? ? x, x ? 0

? x ,x ? 0 ? C. y ? ? 2 D. y ? ?? ? x , x ? 0 ?

? 2 x, x ? 0 ? ?? ? x , x ? 0

?(3 ? a ) x ? 4a, x<1, 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1
B.(- ? ,3) C.[

3 ,3) 5

D.(1,3)

3. (06 北京)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间 (1, 2) 上的任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x2 ? x1 | 恒成立”的只有
A. f ( x) ?

1 x

B. f ? x ? ?| x |

C. f ( x) ? 2

x

D. f ( x) ? x

2

4.已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C.. c ? b ? a 5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x3 , x ? R B. y ? sin x , x ? R
?1

6 5

3 2 D.. c ? a ? b
1 2

5 2

C. y ? x , x ? R

D. y ? ( ) x , x ? R

y 4 2
y ? f ?1 ( x)

6. (06 广东)函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ( x) 的图像与 y 轴交于点 P(0,2) (如图 2 所示) ,则方程 f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上的根是 x ? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2? x x 2 7.设 f ( x) ? lg ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x
A. (?4, 0) ? (0, 4) B. (?4, ?1) ? (1, 4) C. (?2, ?1) ? (1, 2)

?1 O 3
图2 D. (?4, ?2) ? (2, 4)

x

8. (06 全国 II)如果函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y? ? 3 ? 2 x 的图像关于坐标原点对称,则 y ? f ( x) 的表 达式为 A. y ? 2 x ? 3
3 2

B. y ? 2 x ? 3

C. y ? ?2 x ? 3

D. y ? ?2 x ? 3

9. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是 A . -2 B. 0
?1

C. 2

D. 4

10. (06 重庆)设函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f

1 ( x) , y ? f ( x ? 的图像过点 ( ,1) , y ? f ?1 ( x) 且 则 2 1 ) 2
1

的图像必过 A. ( ,1)

1 2

B. (1, )

1 2

C. (1, 0)

D. (0,1)

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.函数 y ? 2 在 [0,1] 上的最大值与最小值之和为_______________.
x

12. (06 安徽) 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?


1 5 , , f ?1? ? ? 若 f ? x?
- -

f ? f ? 5 ? ? ? _______.

13.(06 江西)设 f(x)=log3(x+6)的反函数为 f 1(x) ,若〔f 1(m)+6〕 1(n)+6〕=27, 则 〔f f(m+n)=_______________. 14.(06 湖北)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则( ? r2)` 1 1 =2 ? r ○,○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 1 2 2 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式子:_______________○,○式可以用语言叙述为: _______________. 15. 已知函数 f ? x ? ? a ?

1 , ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? _______________. z ?1
x

16. 已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则



x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ? _______________.
三、解答题(共 4 小题,10+12+12+12=46,共 46 分) 17. (06 浙江)设 f(x)=3ax ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
b

(Ⅰ)a>0 且-2<

a <-1; b

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根.

18. (06 重庆)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a, b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
2 2

19.(06 江苏)设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (Ⅱ)求 g(a) 20. (06 广东) A 是定义在 [2, 4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意的 x ?[1, 2] ,都有

? (2 x) ? (1,2) ;②存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ?[1, 2] ,都有 | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 | .
(I) 设 ? (2 x) ? 3 1 ? x , x ?[2,4] ,证明: ? ( x) ? A (II) 设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1, 2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (III) 设 ? ( x) ? A ,任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn) , n ? 1,2,? ,证明:给定正整数 k ,对任意的正整
2

数 p ,成立不等式 | xk ? p ? xk |?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

参考答案
1.C ;有关分段函数的反函数的求法,选 C。也可用特殊点排除法,原函数上有(1,2)和(-1,-1) 两点,反函数上有(2,1)和(-1,-1) ,检验知 C。 2. ; D 依题意, a?1 且 3-a?0, 有 解得 1?a?3, 又当 x?1 时, (3-a) x-4a?3-5a, x?1 时, ax?0, 当 log 所以 3-5a?0 解得 a? 3.A ; |

3 ,所以 1?a?3 故选 D 5

x -x 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? ?1? | - |?|x1 - |=| 2 1 |= |x1-x 2 |? x1,x 2 ? 1,) x1x 2 ?1? x1 x 2 x1 x 2 |x1x 2 | x1x 2 x1 x 2

-x2|故选 A 4.D ;已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) ,

6 5

4 5

4 5

3 1 1 5 1 b ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , c ? f ( ) ? f ( ) <0,∴ c ? a ? b ,选 D. 2 2 2 2 2
5.A ;B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内 不是奇函数,是减函数;故选 A. 6.C ; f ( x) ? 0 的根是 x ? 2,故选 C 7.B ;f(x)的定义域是(-2,2) ,故应有-2?

x 2 ?2 且-2? ?2 解得-4?x?-1 或 1?x?4 2 x

8.D ;以-y,-x 代替函数 y? ? 3 ? 2 x 中的 x, y ? ,得表达式为 y ? ?2 x ? 3 ,选 D 9.C ; f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当-1?x?0 时, f ?( x) ?0,
2

当 0?x?1 时, f ?( x) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。选 C 10.C ;当 x=

1 ?1 时,2x-1=0,即 y=f(x)的图象过点(0,1) ,所以 y ? f ( x) 的图像必过(1,0) 2
x

11.3 ;函数 y ? 2 在 [0,1] 上是增函数,所以最大值为 2,最小值为 1,它们之和为 3。 12. ?

1 1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 ;由 f ? x ? 2 ? ? 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2? 5

f ? f ? 5 ? ? ? f (?5) ? f (?1) ?


1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5
- - +n

13.2 ;f 1(x)=3x-6 故〔f 1(m)+6〕?〔f 1(x)+6〕=3m?3n=3m +n)=log3(3+6)=2。

=27,?m+n=3?f(m

? ? 14. ? R ) =4? R ;V 球= ? R ,又 ? R ) =4? R ( (
3 2 3 3

4 3

4 3

4 3

2

2 ? 故○式可填 ( ? R3) =4? R 2 ,用语言叙

4 3

述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。” 15.

1 1 1 1 ;函数 f ( x) ? a ? x . 若 f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 ,即 a ? 0 ? 0 ,a= . 2 2 ?1 2 ?1 2
3

16.-x-x4 当 x∈(0,+∞) 时,有-x∈(-∞,0),注意到函数 f(x) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数,于是,有

f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 .从而应填-x-x4. 17.证: (I)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 .,由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得

a ? c ? 0 ;由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 .故 ?2 ?
(II)抛物线 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (?
2

b ? ?1 . a

b 3ac ? b 2 b 1 , ) ,在 ?2 ? ? ?1 的两边乘以 ? , 3a 3a a 3



b a 2 ? c 2 ? ac 1 b 2 ? 0, 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 ? ? ? .又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (? ) ? ? 3a 3a 3 3a 3

(0, ?

b b ) 与 (? ,1) 内分别有一实根。故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根. 3a 3a
b ?1 1 ? 2x ,又由 f(1) ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

18.解: (Ⅰ)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

1 1? 2 = -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 1?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?
2

1 ? 2x 1 1 ,易知 f ( x) 在 (??, ??) 上为减函数。又因 f ( x) 是 ?? ? x x ?1 2?2 2 2 ?1
2 2 2 2

奇函数, 从而不等式: f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) , f ( x) 因 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,从而判别式
2 2 2

1 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3

1 ? 2t ? 2 t 1 ? 22t ? k 1 ? 2x ? ? 0, 解法二:由(Ⅰ)知 f ( x) ? .又由题设条件得: 2 2 2 ? 2 x ?1 2 ? 2t ? 2t ?1 2 ? 22 t ? k ?1
2 2

即: (2

2 t 2 ? k ?1

? 2)(1 ? 2t

2

? 2t

) ? (2t

2

? 2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

) ? 0 ,整理得 23t

2

? 2t ? k

? 1,因底数2>1,故:

1 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3
19.解: (Ⅰ)令 t ? 1 ? x ? 1 ? x 要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2, 4], t≥0
2 2

2 ①,t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x ?

1 2 t ?1 2

∴m(t)=a(

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] 2 2 1 2 1 (Ⅱ)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。注意到直线 t ? ? 是抛物线 2 a 1 2 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 2
4

(1)当 a>0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,由 t ? ?

1 <0 知 m(t)在 a

[ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当 a=0 时,m(t)=t, t ? [ 2, 2] ,∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,若 t ? ?

1 ? [0, 2] ,即 a

a??

2 2 1 1 1 1 则 g (a) ? m( 2) ? 2 ,若 t ? ? ? ( 2, 2] ,即 ? ? a ? ? 则 g (a) ? m(? ) ? ?a ? 2 2 2 a a 2a

若t ? ?

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 。 a 2
a?? 1 2

?a ? 2, ? 2 1 1 ? ?a?? , 综上,有 g (a ) ? ?? a ? , ? 2 2 2a ? ? 2, 2 ? a?? 2
20.解: (1)对任意 x ? [1,2] , ? (2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1,2] , 3 3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以

? (2 x) ? (1,2) ,对任意的 x1 , x2 ? [1,2] , | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |?| x1 ? x2 |
3 ? 3 ?1 ? 2 x1 ? ? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,所以 0<
2

2
3

?1 ? 2 x1 ?2
2

?

3

?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?
2

2



3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

?

2 ,令 3

2
3

?1 ? 2 x1 ?

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

2

= L , 0 ? L ? 1 , | ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 | ,所以 ? ( x) ? A

? ? ? ? (2)反证法:设存在两个 x0 , x0 ? (1,2), x0 ? x0 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? (2 x0 ) 则,由
| ? ( 2 x 0 ) ? ? ( 2 x 0 ) |? L | x 0 ? x 0 | ,得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | ,∴ L ? 1,矛盾,∴结论成立。
/ /

/

/

(3) x3 ? x 2 ? ? (2 x 2 ) ? ? (2 x1 ) ? L x 2 ? x1 ,所以 x n ?1 ? x n ? L

n ?1

x 2 ? x1

| xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p ?1 ? xk ? p ?2 ? ? ??xk ?1 ? xk ? ?

Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k ? Lk ? p ? 2 x 2 ? x1 ? Lk ? p ?3 x 2 ? x1 +…

Lk ?1 x 2 ? x1 ?

LK ?1 x 2 ? x1 1? L

5


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