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广东省揭阳三中2015届高三数学上学期第一次月考试卷 文(含解析)


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广东省揭阳三中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是()

A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 2. (5 分)设集合 A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是() 2 2 A. f:x→y=x B. f:x→y=3x﹣2 C. f:x→y=﹣x+4 D. f:x→y=4﹣x 3. (5 分)命题“? x∈R,x ﹣2x+4≤0”的否定为() 2 2 A. ? x∈R,x ﹣2x+4≥0 B. ? x∈R,x ﹣2x+4>0 2 2 C. ? x?R,x ﹣2x+4≤0 D. ? x?R,x ﹣2x+4>0 4. (5 分)已知集合 M={x|x<3},N={x|log2x>1},则 M∩N=() A. ? B. {x|0<x<3} C. {x|1<x<3}
2

D. {x|2<x<3}

5. (5 分)设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 线 对称.则下列判断正确的是() B. ¬q 为假

;命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直

A. p 为真

C. p∧q 为假

D. p∨q 为真

6. (5 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A. y=﹣x ,x∈R
3

B. y=sinx,x∈R

C. y=x,x∈R

D.

7. (5 分)当 0<a<b<1 时,下列不等式中正确的是() A. >(1﹣a)
b

B. (1+a) >(1+b)
a b

a

b

C.

(1﹣a) >

b

D. (1﹣a) >(1﹣b)

8. (5 分)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密) ,接受方由密文 →明文(解密) ,已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如 明文 1,2,3,4 对应加密文 5,7,18,16,当接受方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得 明文为() A. 7,6,1,4 B. 6,4,1,7 C. 4,6,1,7 D. 1,6,4,7 9. (5 分)函数 f(x)=2x ﹣mx+3,当 x∈ 10. (5 分)己知 x∈,则方程 2
﹣|x| 2

D. (﹣∞,8]

=cos2π x 所有实数根的个数为()
-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 11. (5 分)函数 y=log2(x﹣1)的定义域是. 12. (5 分)函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= (5)=. ,若 f(1)=﹣5,则 f

13. (5 分)计算:

=.

14. (5 分)设 g(x)=

,则 g(g( ) )=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知 U=R,A={x||x﹣3|<2},B={x| >0},求 A∩B,CU(A∪B) .

16. (12 分)已知函数 f(x)=

,x∈R,

(1)求 f(x)+f( )的值; (2)计算 f(1)+f(2)+?+f+f( )+f( )+?+f( ) .

17. (14 分)设函数 y=f(x)且 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3﹣x) . (Ⅰ)求 f(x)的解析式及定义域. (Ⅱ)求 f(x)的值域.

18. (14 分)已知函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间上单调递增,求实数 a 的取值范围.

19. (14 分)函数

的定义域为(0,1](a 为实数) .

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求函数 y=f(x)的值域; (Ⅱ)若函数 y=f(x)在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 y=f(x)在 x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

20. (14 分) 已知函数 f (x) =ax +bx+1 (a, b 为实数) , x∈R, (1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 m>0,n<0,m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能否大于零?

2

广东省揭阳三中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是() A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 考点: 并集及其运算. 分析: 根据题意,分析可得,该问题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题,再由集合 的元素数目与子集数目的关系可得答案. 解答: 解:A={1,2},A∪B={1,2,3}, 则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题, 2 所以满足题目条件的集合 B 共有 2 =4 个. 故选择答案 C. 点评: 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想. 2. (5 分)设集合 A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是() 2 2 A. f:x→y=x B. f:x→y=3x﹣2 C. f:x→y=﹣x+4 D. f:x→y=4﹣x 考点: 映射. 专题: 应用题. 分析: 按照映射的定义,一个对应能构成映射的条件是,A 中的每个元素在集合 B 中都有唯 一的确定的一个元素与之对应. 判断题中各个对应是否满足映射的定义,从而得到结论. 2 2 解答: 解:对于对应 f:x→y=x ,当 1≤x≤2 时,1≤x ≤4,在集合 A={x|1≤x≤2}任取一 个值 x, 在集合 B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个 y 值与之对应,故 A 中的对应能构成映射. 对于对应 f:x→y=3x﹣2,当 1≤x≤2 时,1≤3x﹣2≤4,在集合 A={x|1≤x≤2}任取一个值 x,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 在集合 B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个 y 值与之对应,故 B 中的对应能构成映射. 对于对应 f:x→y=﹣x+4,当 1≤x≤2 时,2≤﹣x+4≤3,在集合 A={x|1≤x≤2}任取一个值 x, 在集合 B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个 y 值与之对应,故 B 中的对应能构成映射. 2 对于对应 f:x→y=4﹣x ,当 x=2 时,y=0,显然 y=0 不在集合 B 中,不满足映射的定义, 故 D 中的对应不能构成 A 到 B 的映射. 故选 D. 点评: 本题考查映射的定义,一个对应能构成映射时,必须使 A 中的每个元素在集合 B 中 都有唯一的确定的一个元素 与之对应. 3. (5 分)命题“? x∈R,x ﹣2x+4≤0”的否定为() 2 2 A. ? x∈R,x ﹣2x+4≥0 B. ? x∈R,x ﹣2x+4>0 2 2 C. ? x?R,x ﹣2x+4≤0 D. ? x?R,x ﹣2x+4>0 考点: 全称命题;命题的否定. 专题: 计算题. 分析: 本题中的命题是一个全称命题,其否定是特称命题,依据全称命题的否定书写形式 写出命题的否定即可. 2 解答: 解:∵命题“? x∈R,x ﹣2x+4≤0”, 2 ∴命题的否定是“? x∈R,x ﹣2x+4>0” 故选 B. 点评: 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则,全称命 题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的变化. 4. (5 分)已知集合 M={x|x<3},N={x|log2x>1},则 M∩N=() A. ? B. {x|0<x<3} C. {x|1<x<3} 考点: 交集及其运算. 分析: 解出集合 N,结合数轴求交集. 解答: 解:N={x|log2x>1}={x|x>2}, 用数轴表示可得答案 D 故选 D.
2

D. {x|2<x<3}

点评: 考查知识点有对数函数的单调性,集合的交集,本题比较容易

5. (5 分)设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 线 对称.则下列判断正确的是() B. ¬q 为假

;命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直

A. p 为真

C. p∧q 为假

D. p∨q 为真

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 复合命题的真假;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 由题设条件可先判断出两个命题的真假,再根据复合命题真假的判断规则判断出选 项中复合命题的真假即可得出正确选项. 解答: 解:由于函数 y=sin2x 的最小正周期为 π ,故命题 p 是假命题;函数 y=cosx 的图象 关于直线 x=kπ 对称, k∈Z, 故 q 是假命题. 结合复合命题的判断规则知: ¬q 为真命题, p∧q 为假命题,p∨q 为是假命题. 故选 C. 点评: 本题考查复合命题的真假判断,解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌 握复合命题的真假判断规则,本题属于 2015 届高考常考题型也是对命题考查的常规题型,知 识性强,难度不大. 6. (5 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A. y=﹣x ,x∈R
3

B. y=sinx,x∈R

C. y=x,x∈R

D.

考点: 函数的图象与图象变化;奇函数. 分析: 根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析. 解答: 解: A 在其定义域内既是奇函数又是减函数; B 在其定义域内是奇函数但不是减函数; C 在其定义域内既是奇函数又是增函数; D 在其定义域内是非奇非偶函数,是减函数; 故选 A. 点评: 处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质,其处理的方法是逐一 分析各个函数,排除掉错误的答案. 7. (5 分)当 0<a<b<1 时,下列不等式中正确的是() A. >(1﹣a)
b

B. (1+a) >(1+b)
a b

a

b

C.

(1﹣a) >

b

D. (1﹣a) >(1﹣b)

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 分析: 根据指数的单调性,即当底数大于 1 时单调递增,当底数大于 0 小于 1 时单调递减, 对选项逐一验证即可得到答案. 解答: 解析:∵0<a<1,∴0<1﹣a<1, x y=(1﹣a) 为减函数, 又∵0<b<1,∴ >b,b> ,∴ <(1﹣a) ,
b

(1﹣a) <

b

,∴A、C 均错,
a a b

又∵1<1+a<1+b,∴(1+a) <(1+b) <(1+b) ,∴B 错.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 对于 D, (1﹣a) >(1﹣a) , b b a b 而(1﹣a) >(1﹣b) ,∴(1﹣a) >(1﹣b) . 故选 D 点评: 本题主要考查指数函数的单调性.属基础题. 8. (5 分)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密) ,接受方由密文 →明文(解密) ,已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如 明文 1,2,3,4 对应加密文 5,7,18,16,当接受方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得 明文为() A. 7,6,1,4 B. 6,4,1,7 C. 4,6,1,7 D. 1,6,4,7 考点: 加密和数字签名的方法. 专题: 计算题. 分析: 利用接收方收到密文 14,9,23,28 及题目提供的加密规则,建立关于 a,b,c,d 的方程组,从而可解得解密得到的明文. 解答: 解:设明文为 a,b,c,d, ∴4d=28,2c+3d=23,2b+c=9,a+2b=14, ∴d=7,c=1,b=4,a=6, 则解密得明文为 6,4,1,7. 故选 B. 点评: 本题主要考查了加密和数字签名的方法,同时考查实际应用能力等数学基本能力, 要加强新的信息与创新题,是个基础题. 9. (5 分)函数 f(x)=2x ﹣mx+3,当 x∈
2 a b

D. (﹣∞,8]

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 先求出函数 f(x)=2x ﹣mx+3 对应抛物线的对称轴,再由函数在上单调递增,则对 称轴在区间的左侧求解. 2 解答: 解:函数 f(x)=2x ﹣mx+3, ∴其对称轴为:x= 又∵函数在上单调递增 ∴ ≤﹣2,∴m≤﹣8. 故选 C. 点评: 本题主要考查二次函数的性质,涉及了二次函数的对称性和单调性,在研究二次函 数单调性时,一定要明确开口方向和对称轴. 10. (5 分)己知 x∈,则方程 2 A. 2 B. 3
﹣|x|

=cos2π x 所有实数根的个数为() C. 4 D. 5

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 数形结合;函数的性质及应用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 在同一坐标系内作出函数 f(x)=2 ,g(x)=cos2π x 的图象,根据图象交点的个 数,可得方程解的个数. ﹣|x| 解答: 解:在同一坐标系内作出函数 f(x)=2 ,g(x)=cos2π x 的图象
﹣|x|

根据函数图象可知,图象交点的个数为 5 个 ﹣|x| ∴方程 2 =cos2π x 所有实数根的个数为 5 个 故选 D. 点评: 本题考查方程解的个数,考查函数图象的作法,考查数形结合的数学思想,属于中 档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 11. (5 分)函数 y=log2(x﹣1)的定义域是(1,+∞) . 考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 由函数的解析式知,令真数 x﹣1>0 即可解出函数的定义域. 解答: 解:∵y=log2(x﹣1) ,∴x﹣1>0,x>1 函数 y=log2(x﹣1)的定义域是(1,+∞) 故答案为(1,+∞) 点评: 本题考查求对数函数的定义域,熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的 关键. 12. (5 分)函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= (5)=﹣5. 考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据条件可得函数是周期为 4 的周期函数,然后利用函数的周期性即可得到结论. 解答: 解:∵f(x+2)= , , ,若 f(1)=﹣5,则 f

∴f(x)≠0,且 f(x+4)=f(x+2+2)=

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 即函数的周期为 4. ∵f(1)=﹣5, ∴f(5)=f(1+4)=f(1)=﹣5. 故答案为:﹣5; 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键,要求 熟练掌握函数周期性的应用.

13. (5 分)计算:

=12.

考点: 专题: 分析: 解答:

有理数指数幂的化简求值. 规律型. 利用有理数指数幂的性质进行运算. 解: =

. 故答案为:12. 点评: 本题主要考查有理数指数幂的化简和求值,比较基础.

14. (5 分)设 g(x)=

,则 g(g( ) )= .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的解析式,先求出 g( )的值,再求 g(g( ) )的值.

解答: 解:∵g(x)=



∴g( )=ln =﹣ln2<0, ∴g(g( ) )=g(﹣ln2) =e = =2
﹣1 ﹣ln2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com = . 故答案为: . 点评: 本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知 U=R,A={x||x﹣3|<2},B={x| >0},求 A∩B,CU(A∪B) .

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据绝对值的性质和不等式的解法分别解出集合 A,B,再根据交集和并集、补集的 定义进行求解; 解答: 解:∵U=R,A={x||x﹣3|<2},B={x| ∴A={x||x﹣3|<2}={x|1<x<5}, >0},

∴A∩B={x|1<x<2 或 4<x<5}, ∵A∪B=R, ∴CU(A∪B)=?; 点评: 此题主要考查不等式的解法,以及集合交、并、补的运算法则,是一道基础题;

16. (12 分)已知函数 f(x)=

,x∈R,

(1)求 f(x)+f( )的值; (2)计算 f(1)+f(2)+?+f+f( )+f( )+?+f( ) .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)由函数 f(x)=

,x∈R,能求出 f(x)+f( )=

+

=1.

(2)由 f(x)+f( )=1,能求出 f(1)+f(2)+?+f+f( )+f( )+?+f( 值. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ,x∈R,

)的

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∴f(x)+f( )=

+

=1.

(2)由(1)得: f(1)+f(2)+?+f+f( )+f( )+?+f( = = . )

点评: 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 17. (14 分)设函数 y=f(x)且 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3﹣x) . (Ⅰ)求 f(x)的解析式及定义域. (Ⅱ)求 f(x)的值域. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用对数的运算法则,结合对数式与指数式的互化,可得函数的解析式,利 用真数大于 0,可得函数的定义域; (Ⅱ)根据定义域,确定指数的范围,再利用指数函数的单调性,可求 f(x)的值域. 解答: 解: (Ⅰ)∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3﹣x) . ∴lg(lgy)=lg ∴lgy=3x(3﹣x) 3x(3﹣x) ∴y=10 ∵ ,∴0<x<3,即函数的定义域为(0,3) ;

(Ⅱ)令 t=3x(3﹣x)=﹣3 ∵x∈(0,3) ,∴t∈(0,
t

]

∴10 ∈ ∴函数的值域为 .

点评: 本题考查对数的运算法则,考查函数的解析式与值域,正确运用对数的运算法则是 关键.

18. (14 分)已知函数 f(x)=

是奇函数.

- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间上单调递增,求实数 a 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题. 分析: (1)根据函数 f(x)为奇函数,设 x<0 得到 f(﹣x)=﹣f(x) ,进而的 f(x)的 解析式,求得 m 的值. (2)根据(1)中的解析式,可画出 f(x)的图象,根据图象可知要使 f(x)在上单调递增, 则需 a﹣2>﹣1 且 a﹣2≤1,进而求得 a 的范围. 2 2 解答: 解: (1)设 x<0,则﹣x>0,所以 f(﹣x)=﹣(﹣x) +2(﹣x)=﹣x ﹣2x, 2 2 又 f(x)为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) ,于是 x<0 时,f(x)=x +2x=x +mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在上单调递增,结合 f(x)的图象知 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用.属基础题.

19. (14 分)函数

的定义域为(0,1](a 为实数) .

(Ⅰ)当 a=﹣1 时,求函数 y=f(x)的值域; (Ⅱ)若函数 y=f(x)在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 y=f(x)在 x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值域;函数的单调性与导数的关系. 专题: 综合题. 分析: (I)将 a 的值代入函数解析式,利用基本不等式求出函数的值域. (II)求出导函数,令导函数大于等于 0 在定义域上恒成立,分离出 a,构造函数,通过求函 数的最小值,求出 a 的范围. (III)通过对 a 的讨论,判断出函数在(0,1)上的单调性,求出函数的最值. 解答: 解: (Ⅰ)显然函数 y=f(x)的值域为 (Ⅱ)∵
2



在定义域上恒成立

而﹣2x ∈(﹣2,0) ∴a≤﹣2 (II)当 a≥0 时,函数 y=f(x)在(0.1]上单调增,无最小值, 当 x=1 时取得最大值 2﹣a; 由(2)得当 a≤﹣2 时,函数 y=f(x)在(0.1]上单调减,无最大值, 当 x=1 时取得最小值 2﹣a; 当﹣2<a<0 时,函数 y=f(x)在 无最大值, 当 时取得最小值 . 上单调减,在 上单调增,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 求函数的单调性常借助导数,当导函数大于 0 对应的区间是函数的单调递增区间; 当导函数小于 0 对应的区间是函数的单调递减区间. 求含参数的函数的性质问题时, 一般要对 参数讨论.

20. (14 分) 已知函数 f (x) =ax +bx+1 (a, b 为实数) , x∈R, (1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 m>0,n<0,m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能否大于零? 考点: 二次函数的性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)f(﹣1)=0? a﹣b+1=0,又值域为 点评: 本题是对二次函数性质的综合考查.其中(1)考查了二次函数解析式的求法.二次 函数解析式的确定,应视具体问题,灵活的选用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待 定系数法来求解.在具体问题中,常常会与图象的平移,对称,函数的周期性,奇偶性等知识 有机的结合在一起.

2

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